核电子学参考资料拉普拉斯变换在电路分析中的应用课件

重提基本结构

一个假设→集总模型（电阻电路和动态电路）两类约束→VCR+KCL、KVL三大基本方法

---模型的类比(第三篇)

模型的化简

3.变换域方法

1.叠加方法

2.分解方法第十二章拉普拉斯变换在电路分析中的应用重提基本结构一个假设→集总模型（电阻电路和动变换与类比变换动态电路的时域模型→适用于正弦稳态分析→适用于线性时不变电路的一般分析类比①相量模型1②

s域模型2模型变换的数学理论基础:

欧拉恒等式

拉普拉斯变换21、两种模型均与电阻模型作类比，从而得以充分利用熟知的电阻电路分析方法。这是一种手段，较简便地得到客观存在的动态电路时域响应。21变换与类比变换动态电路的时域模型→适用于正弦稳态分析→适用于12-1供教师参考的意见

习题课§1基本概念

§2s域模型§3反变换—赫维赛德展开定理§4网络函数与叠加方法

本章分为12-1供教师参考的意见习题课§1基本概念§2s

12-2

§1

基本概念

(1)变换方法的基本步骤

(a)

变换如相量法中，正弦的t函数→相量(复数)(b)

在变换域运算如相量法中对相量进行复数运算

(c)

反变换回归到时域(2)拉氏变换方法的三个步骤

(c)反变换回归到时域(方法的难点所在)(a)变换把函数f(t)→F(s)(拉氏变换)(b)在s域中运算(利用s域模型)12-2§1基本概念(1)变换方法的基本(3)拉氏变换12-3其中s为复变数(复频率)f(t)则假定具有下列性质定义式

例题(3)拉氏变换12-3其中s为复变数(复频率)f(t)则假12-4(4)数学家已表明拉氏变换可用来简化线性常系数常微分方程的求解。

数学家已对各类的f(t)求得相应的F(s)，制成手册，供查阅，如同查对数表。如12-4(4)数学家已表明拉氏变换可用来简化12-5§2

s域模型

使用相量法，可不必从列电路微分方程做起，根据两类约束的相量形式，利用相量模型，仿照电阻电路的解法，即可解决问题，关键在于引入Z、Y。拉氏变换法也可根据两类约束的s域形式，利用s域模型，仿照电阻电路的解法，即可解决问题，关键在于引入广义(generalized)阻抗Z(s)、导纳Y(s)。12-5§2s域模型使用相量法，12-6(1)两类约束的s域表达式(a)拉氏变换的线性性质由此可推广运用得KCL、KVL的s域形式：其s域形式为

类似地，KVL的s域形式为提问：

的s域形式？12-6(1)两类约束的s域表达式(a)拉氏变换的线性性12-7(b)拉氏变换的积分性质由此可得电容、电感VCR的s域形式。电容VCR的s域形式电容的广义阻抗提问：

△若，s域模型如何？

△与相量模型区别何在？时域模型s域模型12-7(b)拉氏变换的积分性质由此可得电容、电感VCR的s12-8(b)拉氏变换的积分性质由此可得电容、电感VCR的s域形式。电感VCR的s域形式电感的广义阻抗提问：

△若，s域模型如何？时域模型s域模型12-8(b)拉氏变换的积分性质由此可得电容、电感VCR的s12-9求所示时域电路的相量模型和零初始状态的s域模型。解答解答练习12-9求所示时域电路的相量模型和零初始状态的s域模型。解12-10(2)

例题开关在t=0时闭合，求i(t)、，用s域分析法。解

(a)求40V直流激励的拉氏变换。初始条件：(b)作s域模型，得注意：本例为非零初始状态！易犯的错误：

s域模型中未考虑初始电流源！5s12-10(2)例题开关在t=0时闭合，求i(t)、12-11(c)反变换——比较系数法

为利用拉氏变换表反查，先将I(s)分解为部分(分项)分式之和。得比较系数后得反查拉氏变换表当部分分式多于2项时，使用比较系数法不方便！∴12-11(c)反变换——比较系数法为利用拉氏变换表12-12§3反变换——赫维赛德展开定理(1)上例也可解答如下

与比较系数法所得结果相同。此处系根据赫维赛德定理所提供的方法求解。12-12§3反变换——赫维赛德展开定理(1)上例也可12-13

对线性时不变电路，在如教材表12-1所示各类f(t)激励下，所得F(s)为s的有理函数，可表为

即两s多项式之比。如同上例，可将F(s)表为部分分式之和，以便运用赫维赛德定理得出所需结果。为此需对B(s)进行因式分解。(2)对线性时不变电路情况12-13对线性时不变电路，在如教材表112-14(a)

B(s)=0为不等根情况已知

例题解

B(s)=0的三个不等根为-1、-2、-3。12-14(a)B(s)=0为不等根情况已知例题12-15(b)

B(s)=0含有重根情况

例题F(s)→f(t)，

解

12-15(b)B(s)=0含有重根情况例题12-16(c)F(s)为假分式情况

例题F(s)→f(t)，本题F(s)为假分式，先用长除法，化为真分式后再做。解12-16(c)F(s)为假分式情况例题F(s)→12-17§4网络函数与叠加方法回顾(1)(b)相量模型的网络函数

(§10-3)(c)共同的特点单一激励下定义。与叠加方法相结合。(§3-1)(a)电阻模型的网络函数H=K12-17§4网络函数与叠加方法回顾(1)(b)相量模12-18(2)s域模型的网络函数H(s)单一激励下，网络函数的定义即①12-18(2)s域模型的网络函数H(s)单一激励下，网12-19(3)三个例题(a)求图所示电路的网络函数。解作零初始状态s域模型。求网络函数，必须明确：何者为响应，何者为激励。12-19(3)三个例题(a)求图所示电路的网络函数12-20解(b)接续上题，若，试求u(t)、即冲激响应h(t)。另外，由本例可知：t=0时，冲激电流通过C，引起电容电压由零到V的跃变。注意：由本例可知网络函数的另两个性质：②网络函数的极点是网络的固有频率②①③12-20解(b)接续上题，若，12-21(c)求图所示电路i(t）、。作s域模型解12-21(c)求图所示电路i(t）、。12-22解得

本题i(t)为零状态响应，含暂态响应与正弦稳态响应。

可得来自电路的极点s=-4，固有频率，即时间常数

可得来自激励的极点s=4312-22解得本题i(t)为零状态响应，含暂态响应与正弦12-23(4)非零初始状态时的处理——叠加方法

当时，s域模型中含初始状态等效电源，它们所产生的零输入响应可单独算出，与零状态响应构成全响应。

例题接续上例，设，试求

作s域模型。求初始电流源的零输入响应，U(s)处短路，由分流关系得()括号部分可视为网络函数(转移电流比)的扩展(初始状态作为一种激励)上例得零状态响应解12-23(4)非零初始状态时的处理——叠加方法当习题课习题1答案12-24已知某电路的网络函数激励i(t)为单位阶跃电流，则阶跃响应u(t)在t=0时之值为单位均为V(a)1(b)

(c)

(d)0选()习题课习题1答案12-24已知某电路的网络函数激励i(

习题1

答案12-25解答

选(b)习题1答案12-25解答选(b)习题课习题212-26答案试求图所示电路的s域戴维南等效电路，已知习题课习题212-26答案试求图所示电习题2

答案12-27解答

由叠加原理可得由阻抗并联公式得习题2答案12-27解答由叠加原理可得由阻抗并联公式得习题课习题3

12-28电路如图，t=0时开关闭合，求，已知初始状态为零。答案习题课习题312-28电路如图，t=0时开关闭合，求12-29习题3答案解答由s域模型12-29习题3答案解答由s域模型12-30习题课习题4答案电路如图，t=0开关打开，此时电路早已进入稳态，试求12-30习题课习题4答案电路如图，t=0开关打开，12-31习题4

答案解答t<0时，相量法12-31习题4答案解答t<0时，相量法12-32习题4

答案(续)解答t≥0时s域模型。其中初始电流源与电感的并联电路已等效为电压源与电感

的串联电路。12-32习题4答案(续)解答t≥0时s域模型。其中初始电12-33习题课习题5答案

所示电路中开关闭合于a处已久，t=0时突然向b闭合，试求12-33习题课习题5答案所示电路中12-34习题5

答案解答

t=0时电容电压均发生跃变：100V→20V，0V→20V。s域分析中初始状态可用时之值，不必用值，t=0时的跃变自动计入响应。t>0时s域模型12-34习题5答案解答t=0时电容电压均发生跃变：1012-35供教师参考的意见

1.

如有可能，建议阅读《简明》P.639，了解教材和教案在处理本章内容的基本思路。

关于拉氏变换，教材和教案都不希望把本章成为一次对高数或复变函数课程有关内容的重复、复习，况且还有后续课“信号与系统”。本课程只对拉氏变换在电路分析的应用作一最简单的介绍，以加强对变换方法的认识。12-35供教师参考的意见1.如有可能，建议阅读《12-36供教师参考的意见（续1）

2.拉氏变换和运算术既有联系又有区别。例如，对常数A，前者为A/s，而后者中，其象函数即为A。教材和教案摈弃了与运算术有关的名词，如象函数、运算阻抗、运算电路等，以求叙述简明、利索。

关于s域方法的单位问题。美国教材一般有三种处理方式：①包括电压、电流在内，一概不注单位，如Bobrow，Siebert等；②只在电阻注Ω为单位，其他一概不注，如Nilson、Irwin等；③依变换前的单位加注，电压的变换式仍注V，如Hayt。以①居多，本教材、教案属①，且元件除非特别指出，一般均以广义阻抗表示。教案12-9页练习解答中为便于比较，s域模型中元件加注了单位。12-36供教师参考的意见（续1）2.拉氏变换和运供教师参考的意见（续2）12-37

3.L的s域模型先导出电流源并联形式，仅需用积分性质就能得出，且与教材图5-15相似。这一形式，较易理解。需要时再化为电压源形式。这是本教材的处理方式，希望保持一贯。供教师参考的意见（续2）12-373.L的s域供教师参考的意见（续3）12-38END4.反变换是s域分析的难点所在。在教案中除了特征根为共轭复数的情况外，都已涉及(包含习题课)。共轭复数情况可视学时数、学生水平，由教师自行处理。有些演算过程，利用板书效果可能会好些。分散处理各种情况，可能比集中为好。5.如只讲教案§1、§2的内容，2学时可能就够，足以说明s域分析方法的大概。供教师参考的意见（续3）12-38END41、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。12月-2212月-22Tuesday,December13,20222、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。03:34:1903:34:1903:3412/13/20223:34:19AM3、越是没有本领的就越加自命不凡。12月-2203:34:1903:34Dec-2213-Dec-224、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。03:34:1903:34:1903:34Tuesday,December13,20225、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。12月-2212月-2203:34:1903:34:19December13,20226、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。13十二月20223:34:19上午03:34:1912月-227、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。。十二月223:34上午12月-2203:34December13,20228、业余生活要有意义，不要越轨。2022/12/133:34:1903:34:1913December20229、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。3:34:19上午3:34上午03:34:1912月-2210、你要做多大的事情，就该承受多大的压力。12/13/20223:34:19AM03:34:1913-12月-2211、自己要先看得起自己，别人才会看得起你。12/13/20223:34AM12/13/20223:34AM12月-2212月-2212、这一秒不放弃，下一秒就会有希望。13-Dec-2213December202212月-2213、无论才能知识多么卓著，如果缺乏热情，则无异纸上画饼充饥，无补于事。Tuesday,December13,202213-Dec-2212月-2214、我只是自己不放过自己而已，现在我不会再逼自己眷恋了。12月-2203:34:1913December202203:34谢谢大家1、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。12月-2212月41重提基本结构

一个假设→集总模型（电阻电路和动态电路）两类约束→VCR+KCL、KVL三大基本方法

---模型的类比(第三篇)

模型的化简

3.变换域方法

1.叠加方法

2.分解方法第十二章拉普拉斯变换在电路分析中的应用重提基本结构一个假设→集总模型（电阻电路和动变换与类比变换动态电路的时域模型→适用于正弦稳态分析→适用于线性时不变电路的一般分析类比①相量模型1②

s域模型2模型变换的数学理论基础:

欧拉恒等式

拉普拉斯变换21、两种模型均与电阻模型作类比，从而得以充分利用熟知的电阻电路分析方法。这是一种手段，较简便地得到客观存在的动态电路时域响应。21变换与类比变换动态电路的时域模型→适用于正弦稳态分析→适用于12-1供教师参考的意见

习题课§1基本概念

§2s域模型§3反变换—赫维赛德展开定理§4网络函数与叠加方法

本章分为12-1供教师参考的意见习题课§1基本概念§2s

12-2

§1

基本概念

(1)变换方法的基本步骤

(a)

变换如相量法中，正弦的t函数→相量(复数)(b)

在变换域运算如相量法中对相量进行复数运算

(c)

反变换回归到时域(2)拉氏变换方法的三个步骤

(c)反变换回归到时域(方法的难点所在)(a)变换把函数f(t)→F(s)(拉氏变换)(b)在s域中运算(利用s域模型)12-2§1基本概念(1)变换方法的基本(3)拉氏变换12-3其中s为复变数(复频率)f(t)则假定具有下列性质定义式

例题(3)拉氏变换12-3其中s为复变数(复频率)f(t)则假12-4(4)数学家已表明拉氏变换可用来简化线性常系数常微分方程的求解。

数学家已对各类的f(t)求得相应的F(s)，制成手册，供查阅，如同查对数表。如12-4(4)数学家已表明拉氏变换可用来简化12-5§2

s域模型

使用相量法，可不必从列电路微分方程做起，根据两类约束的相量形式，利用相量模型，仿照电阻电路的解法，即可解决问题，关键在于引入Z、Y。拉氏变换法也可根据两类约束的s域形式，利用s域模型，仿照电阻电路的解法，即可解决问题，关键在于引入广义(generalized)阻抗Z(s)、导纳Y(s)。12-5§2s域模型使用相量法，12-6(1)两类约束的s域表达式(a)拉氏变换的线性性质由此可推广运用得KCL、KVL的s域形式：其s域形式为

类似地，KVL的s域形式为提问：

的s域形式？12-6(1)两类约束的s域表达式(a)拉氏变换的线性性12-7(b)拉氏变换的积分性质由此可得电容、电感VCR的s域形式。电容VCR的s域形式电容的广义阻抗提问：

△若，s域模型如何？

△与相量模型区别何在？时域模型s域模型12-7(b)拉氏变换的积分性质由此可得电容、电感VCR的s12-8(b)拉氏变换的积分性质由此可得电容、电感VCR的s域形式。电感VCR的s域形式电感的广义阻抗提问：

△若，s域模型如何？时域模型s域模型12-8(b)拉氏变换的积分性质由此可得电容、电感VCR的s12-9求所示时域电路的相量模型和零初始状态的s域模型。解答解答练习12-9求所示时域电路的相量模型和零初始状态的s域模型。解12-10(2)

例题开关在t=0时闭合，求i(t)、，用s域分析法。解

(a)求40V直流激励的拉氏变换。初始条件：(b)作s域模型，得注意：本例为非零初始状态！易犯的错误：

s域模型中未考虑初始电流源！5s12-10(2)例题开关在t=0时闭合，求i(t)、12-11(c)反变换——比较系数法

为利用拉氏变换表反查，先将I(s)分解为部分(分项)分式之和。得比较系数后得反查拉氏变换表当部分分式多于2项时，使用比较系数法不方便！∴12-11(c)反变换——比较系数法为利用拉氏变换表12-12§3反变换——赫维赛德展开定理(1)上例也可解答如下

与比较系数法所得结果相同。此处系根据赫维赛德定理所提供的方法求解。12-12§3反变换——赫维赛德展开定理(1)上例也可12-13

对线性时不变电路，在如教材表12-1所示各类f(t)激励下，所得F(s)为s的有理函数，可表为

即两s多项式之比。如同上例，可将F(s)表为部分分式之和，以便运用赫维赛德定理得出所需结果。为此需对B(s)进行因式分解。(2)对线性时不变电路情况12-13对线性时不变电路，在如教材表112-14(a)

B(s)=0为不等根情况已知

例题解

B(s)=0的三个不等根为-1、-2、-3。12-14(a)B(s)=0为不等根情况已知例题12-15(b)

B(s)=0含有重根情况

例题F(s)→f(t)，

解

12-15(b)B(s)=0含有重根情况例题12-16(c)F(s)为假分式情况

例题F(s)→f(t)，本题F(s)为假分式，先用长除法，化为真分式后再做。解12-16(c)F(s)为假分式情况例题F(s)→12-17§4网络函数与叠加方法回顾(1)(b)相量模型的网络函数

(§10-3)(c)共同的特点单一激励下定义。与叠加方法相结合。(§3-1)(a)电阻模型的网络函数H=K12-17§4网络函数与叠加方法回顾(1)(b)相量模12-18(2)s域模型的网络函数H(s)单一激励下，网络函数的定义即①12-18(2)s域模型的网络函数H(s)单一激励下，网12-19(3)三个例题(a)求图所示电路的网络函数。解作零初始状态s域模型。求网络函数，必须明确：何者为响应，何者为激励。12-19(3)三个例题(a)求图所示电路的网络函数12-20解(b)接续上题，若，试求u(t)、即冲激响应h(t)。另外，由本例可知：t=0时，冲激电流通过C，引起电容电压由零到V的跃变。注意：由本例可知网络函数的另两个性质：②网络函数的极点是网络的固有频率②①③12-20解(b)接续上题，若，12-21(c)求图所示电路i(t）、。作s域模型解12-21(c)求图所示电路i(t）、。12-22解得

本题i(t)为零状态响应，含暂态响应与正弦稳态响应。

可得来自电路的极点s=-4，固有频率，即时间常数

可得来自激励的极点s=4312-22解得本题i(t)为零状态响应，含暂态响应与正弦12-23(4)非零初始状态时的处理——叠加方法

当时，s域模型中含初始状态等效电源，它们所产生的零输入响应可单独算出，与零状态响应构成全响应。

例题接续上例，设，试求

作s域模型。求初始电流源的零输入响应，U(s)处短路，由分流关系得()括号部分可视为网络函数(转移电流比)的扩展(初始状态作为一种激励)上例得零状态响应解12-23(4)非零初始状态时的处理——叠加方法当习题课习题1答案12-24已知某电路的网络函数激励i(t)为单位阶跃电流，则阶跃响应u(t)在t=0时之值为单位均为V(a)1(b)

(c)

(d)0选()习题课习题1答案12-24已知某电路的网络函数激励i(

习题1

答案12-25解答

选(b)习题1答案12-25解答选(b)习题课习题212-26答案试求图所示电路的s域戴维南等效电路，已知习题课习题212-26答案试求图所示电习题2

答案12-27解答

由叠加原理可得由阻抗并联公式得习题2答案12-27解答由叠加原理可得由阻抗并联公式得习题课习题3

12-28电路如图，t=0时开关闭合，求，已知初始状态为零。答案习题课习题312-28电路如图，t=0时开关闭合，求12-29习题3答案解答由s域模型12-29习题3答案解答由s域模型12-30习题课习题4答案电路如图，t=0开关打开，此时电路早已进入稳态，试求12-30习题课习题4答案电路如图，t=0开关打开，12-31习题4

答案解答t<0时，相量法12-31习题4答案解答t<0时，相量法12-32习题4

答案(续)解答t≥0时s域模型。其中初始电流源与电感的并联电路已等效为电压源与电感

的串联电路。12-32习题4答案(续)解答t≥0时s域模型。其中初始电12-33习题课习题5答案

所示电路中开关闭合于a处已久，t=0时突然向b闭合，试求12-33习题课习题5答案所示电路中12-34习题5

答案解答

t=0时电容电压均发生跃变：100V→20V，0V→20V。s域分析中初始状态可用时之值，不必用值，t=0时的跃变自动计入响应。t>0时s域模型12-34习题5答案解答t=0时电容电压均发生跃变：1012-35供教师参考的意见

1.

如有可能，建议阅读《简明》P.639，了解教材和教案在处理本章内容的基本思路。

关于拉氏变换，教材和教案都不希望把本章成为一次对高数或复变函数课程有关内容的重复、复习，况且还有后续课“信号与系统”。本课程只对拉氏变换在电路分析的应用作一最简单的介绍，以加强对变换方法的认识。12-35供教师参考的意见1.如有可能，建议阅读《12-36供教师参考的意见（续1）

2.拉氏变换和运算术既有联系又有区别。例如，对常数A，前者为A/s，而后者中，其象函数即为A。教材和教案摈弃了与运算术有关的名词，如象函数、运算阻抗、运算电路等，以求叙述简明、利索。

关于s域方法的单位问题。美国教材一般有三种处理方式：①包括电压、电流在内，一概不注单位，如Bobrow，Siebert等；②只在电阻注Ω为单位，其他一概不注，如Nilson、Irwin等；③依变换前的单位加注，电压的变换式仍注V，如Hayt。以①居多，本教材、教案属①，且元件除非特别指出，一般均以广义阻抗表示。教案12-9页练习解答中为便于比较，s域模型中元件加注了单位。12-36供教师参考的意见（续1）2.拉氏变换和运供教师参考的意见（续2）12