《高等数学一》期末复习题及答案

《 高 等 数 学 （ 一 ） 》 期 末 复 习 题一、选择题x2x2xx

x)的结果是（ C）（A）0 （B） （C）

1（D）不存在22、方程x33x10在区间(0,1)内 （B ）无实根 （B）有唯一实根 （C）有两个实根（D）有三个实根3、f(x)是连续函数,则3、f(x)是连续函数,则f(x)dx是f(x)的（C）（A）一个原函数；(B)一个导函数；(C)全体原函数；(D)全体导函数；4ysinx(0xy0所围的面积是（C）（A）1/2(B)1(C)2(D)5yx2y|x02的特解是(D)（A）x3（B）13x3（C）x32（D）13x326、下列变量中，是无穷小量的为（A）(A)lnx(x(B)ln (x0)1x(C)cosx(x0)(D)x2x24(x2)7、极限lim(xsin11sinx)x0（A）0x x（B）1的结果是（C）（C）1（D）不存在8、函数yexarctanx在区间1,1上（A）（A）单调增加（B）单调减小（C）无最大值（D）无最小值9、不定积分xdx=（D）arctanx2C (B)ln(x21)C

11arctanxC (D) ln(x21)C12 210、由曲线yex(0x和直线y0所围的面积是（A ）（A）e1 (B)1 (C)2 (D)e11、微分方程dyxy的通解为 （ B ）dx（A）

Ce2x （B）

1x2yCeyCe

yeCx

（D）

yCex212、下列函数中哪一个是微分方程y3x20的解( D)yx2

yx3

y3x2

yx313、函数ysinxcosx1 是 （ C）奇函数；(B)偶函数；(C)非奇非偶函数；(D)既是奇函数又是偶函14、当x0时，下列是无穷小量的是 （ B ）（A）e

(B)ln(x(C)sin(x(D) x115、当x时，下列函数中有极限的是 （ A）x1（A）

cosx

1

arctanxx21 ex16、方程x3px10(p0)的实根个数是（ B）（A）零个 （B）一个（C）二个（D）三个17、( 1

)dx（ B ）（A）

1x21

1（B）

C （C）arctanx （D）arctanxc1x2 1x218、定积分a

f(x)dx是 （ C）一个函数族 （B）f(x)的的一个原函数（C）一个常数（D）一个非负常数19、函数yln x

x21是（ A ）奇函数 （B）偶函数 （C）非奇非偶函数（D）既是奇函数又是偶函数20、设函数fx在区间,上连续，在开区间内可导，且fx0，则( B(A)f00 (B)ff0 (C)f0 (D)ff021y

21ex

，则下列选项成立的是（ C ）没有渐近线 (B)仅有铅直渐近线(C)既有水平渐近线又有铅直渐近线 (D)仅有水平渐近22、(cosxsinx)dx( D )（A）sinxcosxC （B）sinxcosxC（C）sinxcosxC （D）sinxcosxC23、数列

{n(1)nn

的极限为（ （A）1 (B)1 (C)0 (D)不存24、下列命题中正确的是（ B）（A）有界量和无穷大量的乘积仍为无穷大量（B）有界量和无穷小量的乘积仍为无穷小量两无穷大量的和仍为无穷大量 （D）两无穷大量的差为25、若f(x)g(x)，则下列式子一定成立的有（ C ）(A)f(x)g(x) (B)df(x)dg(x)(C)(df(x))(dg(x)) (D)f(x)g(x)126、下列曲线有斜渐近线的是( C )yxsinx (B)yx2sinx1 1yx二、填空题

yx2sinx x1、lim1cosx 1x0 x2 22、若f(x)e2x2，则f'(0) 2311

(x3cosx5x 24

etdx etxC5、微分方程yy0满足初始条件y| 2的特解为 y2exx0limx246、x2

x3 07、极限limx2x2 3x2 x24 48、设yxsinx1,则f() 129、11

(xcosx 210、

31x2

dx 3arctanxC11、微分方程ydyxdx的通解为 y2

x2C1211

5x4dx 2xsin2x13、lim 1x x14、设ycosx2，则dy 2xsinx2dx15、设yxcosx3,则f() -116、不定积分

exdex

1e2xC217、微分方程ye2x的通解为 y

e2xC12118、微分方程lnyx的通解是 yexC19、2)3x＝ e6x x20、设函数yxx,则y xx(lnx1)1 2 n 121、lim(nn

n2

)的值是n2 2lim

x(x1)(x2) 122、

x

2x3x3 223、设函数yxx,则dy xx(lnx1)dx24、

limx0

2x23x1 1x4 425fx)e2

sin6

，则f'(0) 226、a2(1sin5x)dx (a为任意实数).a27、设yln(ex1)，则微分dy ex

dx .ex128

2(cosx2

x31x2

)dx 2三、解答题x12x1（本题满分9分）求函数yx12xx102x0x1解得x2所以函数的定义域为[1，2]2（10）fx)xx1)(x2)

的定义域。(x2014)，求f(0)。f(0)x0

f(x)f(0)x01 13（10）y

x3 x23 2

6x1,求曲线在点1处的切线方程。解：方程两端对x求导，得yx2x6将x0代入上式，得y 6(0,1)从而可得：切线方程为y16(x0) 即y6x14（10）yxyx2所围成的平面区域的面积。解：作平面区域，如图示yx

y1y=x=x2y01x解方程组yx

（，011）x2 x31 1所求阴影部分的面积为：S1(xx2)dx= =0 2 3 603x x5（本题满分10分讨论函数f(x)x2 x1 在x3x x解： limf(x)limx23f(1)x1 x1fx)x1处是连续的dy

2x36（本题满分10分）求微分方程dx 的特解。y|解：将原方程化为dy(2x3)dx

3x1两边求不定积分，得

dy

(2x，于是yx23xC将y| 3代入上式，有313C，所以C1，x1yx

3x1。7（本题满分9分）求函数y2 x4cos 5x 的定义域。x405x0x4解得x5所以函数的定义域为[4，5]8（10）fx)xx1)(x2)

(xn) (n2)f(0)。f(0)x0

f(x)f(0)x09（10）x

2xy3y

3，求曲线在点（2，1）处的切线方程。x2xyxy6yy0将点（2，1）代入上式，得y 1(2,1)从而可得：切线方程为y1(x2) 即xy3010（本题满分10分）求由曲线yex及直线y1和x1所围成的平面图形的面积（如下图．解：所求阴影部分的面积为S

1(e0

x x011（10讨论函数fx)ex1 x0

在x0处的连续性。解： limf(x)limex10f(0)x0 x0fx)x0处是连续的。12（10求方程y2)dxx2)dy0的通解。由方程y2)dxx2)dy0，得

dy 1y2

dx1x2得arctanyarctanxCarctanyarctanxCytan(arctanxC)13（10）x

7x4在区间(1,2内至少有一个实根。Fxx57x4，Fx在F(1)100，

上连续由零点定理可得，在区间(1,2)内至少有一个 ，使得函数F()5740，x

7x40在区间(1,2内至少有一个实根。14（10）fx)xx1)(x2)

(x2015)，求f(0)。解：f(0)lim

f(x)f(0)lim(x1)(x2)

(x2015)2015!x0

x0

x015（10）求曲线e

xye在点（0，1）处的法线方程。解：方程两端对x求导，得eyyyxy0将点（0，1）代入上式，得y

(0,1)

1e从而可得： 法线方程为yex1及16（10）ycosxy2,x及22

y=2轴所围成平面图形的面积。解：作平面图形，如图示 x2S

2(2cosx)dx (2xsinx)20 0 cosx x0

y=cosxx17（10讨论函数fx)x1 x0

在x0处的连续性。解： limf(x)limcosx1f(0)x0 x0fx)x0处是连续的。 1xy2xy18（本题满分10分）求微分方程dx 的特解。y|dy

1x0dy解：将原方程化为dx

y21

1y

(1x)dx两边求不定积分，得arctanyx x2C2y

x0

1得到C4

1 1 故原方程的特解为arctanyx x2 或ytan(x x2 ).2 4 2 419（20）曲线a2yx2 (0a1)将边长为1的正方形分成A、B两部分如图所示其中A 绕x 轴旋转一周得到一旋转体,记其体积为V

，B绕y,记其体积为V.A B问当a取何值时,V V的值最小.A B解：A由以[0,a为底、高为由切片法可得：

x2的曲边梯形和a2

ya2yx2F(aF(a)1a或

F(a).BA又F(a)

0, a4a5

4为极小值点，亦最小值点， o5

a1 x20（20）465.22解：由题意可得张角x满足d60令 0，得到驻点x60dx

(不合题意，舍)及x 60.由实际意义可知,所求最值存,驻点只一个,故所求结果就是最好的选择.即该球员应在离底线60米处射门才能获得最大的射门张5.2dx5.2.在距离球门两米处射门张角的变化率为：dtdddtx2

ddxddx

dxdtdxdt

24016 5.2)0.28/(436)(4100)21（10）fx)

ln(1t)xdt (x

0)fx

1f( )dtx dt1dtx dt1f( F(x)f(x)1f(

1 xln(1t)

ln(1t

F(1)01

xln(1t)

1令t1u

t 1ln(11)x u

txln(1

xlnu2

f( ) xx 1

dt t 1

duu 1

du duu 1 uxlntd(lnt)

1 xln2t

ln2x .11 2 1 2122、证明题（本题满分10分）f(x在上连续,在0,3内可导,f(0)f(1)f(2)3f(3)1。试证必存在一点0,3f0.证明:f(x)在上连续，故在0,2上连续，且在0,2上有最大值M 和最小值m，故f(0)f(1)f(2)mf(0),f(1),f(2)Mm M30,2f

f(0)f(1)f(2)13ff(3)1f(x在,3上连续,在,3内可导，由罗尔定理可知，必存在(0,3)f023、（本题满分20分）一火箭发射升空后沿竖直方向运动，在距离发射台4000m处装有摄像机，摄像机对准火箭。用h表示高度，假设在时刻t0

，火箭高度h=3000m，运动速度等于300m/s,（1）用L表示火箭与摄像机的距离，求在t0

时刻L的增加速度.（1）设时刻t高度为h(t，火箭与摄像机的距离为L(tL(t)

h2(t)40002h240002dth240002dtdt

h dhdh dL代入h=3000m， =300m/s，得 180m/sdt dt（2）用表示摄像机跟踪火箭的仰角（弧度，求在t0时刻??（2）设时刻t摄像机跟踪火箭的仰角（弧度）为(t)，则有tan h4000两边关于t求导得sec2

d 1 dt 4000dth=3000msec5dh=300m/s，故

d0.048rad/s d

6 rad/s)4 dt dt dt 125《高等数学（一）》期末复习题答案一、选择题1、C解答：第一步，先分子有理化；第二步，分子利用平方差公式，第三步，分子分母同时除以第四步化简即可。2、Bfx)x33x1，f(0)1,f(1)1，f(x)在区间(0,1)内存在实数fx)3x230，可知函数具有单调性，所以有唯一的实根。3、C本题考察不定积分的概念，不定积分是所有原函数的全体。4、C解答：利用定积分的几何意义，所求面积为sinxdx2015、D解答：直接积分法y1

3x3C，代入已知点坐标可得C26、A解答：因为limlnxln10，所以此时是无穷小量。x17、Clim(xsin11sinx011x0 x x18、Ayex

1x2

0，所以单调增加。9、D解答： x

dx1

dx21

1 d(x21)

ln(x21)C11x21 2 x21 2 x21 21110、A解答：利用定积分的几何意义，所求面积为1exdxex0

1e1011、B解答：先分离变量，两端再积分yCe1x2所求通解为 212、D解答：直接积分法yx3C，当C0时有yx313、C解答：ysinxcosx1是奇函数加上偶函数，所以是非奇非偶函数。14、B解答：limln(x1)ln10，所以此时是无穷小量。x015、A解答：limx1lim x1 lim 1 0 其它三项极限都不存在。xx21 x(x1)(x1) x(x1) ，16B解答：f(x)x3px1f(0)1,f(1)p0，f(x在区间(1,0)内存f(x3x2p0，可知函数具有单调性，所以有唯一的实根。17、B解答：求导与求积分是互逆的运算，先求导再求积分，是所有原函数所以选B18、C解答：考察定积分的概念，定积分计算完以后是一个确切的常数，可能是正数，也可能是0可能是负数。 yf(xln x x21 则20、Bfx0ff021、C解答：lim

2 =2y2 lim

2 =x0x是铅直渐近线。

1ex2

x01ex222、D(cosxsinxdxsinxcosxCn(1)n23、A解答：分子分母同时除以n可以得到lim 1n n24、B解答：考查无穷小量的重要性质之一，有界量和无穷小量的乘积仍为无穷小量，其它选项都不一定正确。25、Cf(xg(xdf(xdg(x(df(x))(dg(x))，其它选项都有反例可以排除。26、C解答：有求解斜渐近线的方法可得xsin1yxsin1klimylim

xlim101x xx x

xblim(ykx)lim(xsin1x)

10，所求斜渐近线为yx。其它选项都没有。x x二、填空题

x x x1 1cosx

12x2 11、 解答：1cosx~1x2 lim lim 2 2 x0

x2x0

x2 2或者用罗比达法则也可以求解。2、2 解答： f(x)e2x2，则f(x)2e2xf(0)23、2 解答：应用奇函数在关于原点对称区间上的积分为04、etxC 分析：被积函数et

相对于积分变量来说是常数，所以

etdxetxC5、y2exy2ex

解答：yy0yCex代入初始条件y| 2得到2x0

C2所求特解为6、0解:limx24lim224lim00x2x3 x223 x2537、 解:

x2x2lim(x2)(x1)

lim(x1)

lim2134 x2

x24

x2(x2)(x2) x2(x2) x222 48、1yxsinx1ysinxxcosx则

f( 2

sin2

cos 2 29、2解：应用性质，奇函数在对称区间上的积分为0103arctanxC解：由基本的积分公式

31x2

dx3arctanxC11y2

x2C解对方程ydyxdx两端积分ydyxdxy2x2C12、2解：利用偶函数的积分性质

15x4dx215x4dx2x1 0

12013、1 解：

xsin2x

1sin2xx lim101x

x 1

x 1142xsinx2dx解：由微分的定义dyydx，先求出导数，再求微分15、1 解：yxcosx3ycosxxsinxf()cossin116、

1e22

C 解：将ex看成一个整体，利用凑微元法得exdex e2xC12117y

e22

C 解：先分离变量，再积分得通解18、yex

C 解：先整理，再分离变量求通解e6

2 2(x)(6)19、

解：利用重要极限进行恒等变形，再求解lim(1 )3xlim(1 ) 2

e6x x x x20、xx(lnx1) 解：本题是幂指函数，利用对数求导法来求导数121、2

解：分母相同，分子先通分，分子分母最高次幂都是

次幂，自变量趋于无穷大，极限等于最高次幂的系数之比122、2

解：分子分母最高次幂都是3次幂，自变量趋于无穷大，极限等于最高次幂的系数之比limx

x(x1)(x2)12x3x3 23、xx(lnx1)dx解：由微分的定义dyydx，先求出导数，再求微分，本题是幂指函数可以利用对数求导法来求导数1 2x23x1 01 124、 解：lim lim 4 x0

x

x004 425、2 解：先求导数，再代入具体数值f(x)2e2xf(0)2e0226、2 解：利用奇函数与偶函数的积分性质a2(1sin5x)dxa21dx227、

ex dx

解：由微分的定义

dy

a a，先求出导数，再求微分ex128、2 解：利用奇函数与偶函数的积分性质2(cosx2

x31x

)dx222

cosxdx2

2cosxdx2.0三、解答题1（9）x10解：由题意可得，2x0x1解得x2所以函数的定义域为[2（10）f(0)x0

f(x)f(0)x03（10）解：方程两端对x求导，得yx2x6将x0代入上式，得y(0,1)6从而可得：切线方程为y16(x0) 即y6x14（10）解：作平面区域，如图示yx

y1y=x=x2y0 1x解方程组yx2（，011）x2 x31 10所求阴影部分的面积为：S1(xx2)dx= =005（10）

2 3 6解： limf(x)limx23f(1)x1 x1fx)x16（10）解：将原方程化为dy(2x两边求不定积分，得

dy

(2x，于是yx23xC将y| 3代入上式，有313C，所以C1，x1yx23x17（9）x405x0x4解得x5所以函数的定义域为[8（10）f(0)x0

f(x)f(0)x09（10）x2xyxy6yy0将点（2，1）代入上式，得y 1(2,1)从而可得：切线方程为y1(x2) 即xy3010（10）解：所求阴影部分的面积为S11（10）

1(ex1)dx0解： limf(x)limex10f(0)x0 x0fx)x012（10）由方程y2)dxx2)dy0，得

dy1y

dx1x2得arctanyarctanxCarctanyarctanxCytan(arctanxC)13（10）Fxx57x4，Fx在F(1)100，

上连续由零点定理可得，在区间(1,2)内至少有一个 ，使得函数F()5740，x57x40在区间(1,2内至少有一个实根。14（10）解：f(0)lim

f(x)f(0)lim(x1)(x2)

(x2015)2015!x0

x0

x015（10）解：方程两端对x求导，得eyyyxy0将点（0，1）代入上式，得y

(0,1)

1e从而可得： 法线方程为yex116（10）解：作平面图形，如图示17（本题满分10分） 2解： limf(x)limcosx1f(0)

y=2x2x0

x0

y=cosxx∴f(x)在x0处是连续的。 018（10）dy dy解：将原方程化为d