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试卷第=page22页,共=sectionpages44页2023届河南省普高联考高三上学期考数学(理)测评卷(二)一、单选题1.设全集,,,则(

)A. B. C. D.【答案】A【分析】由集合的运算计算即可.【详解】,,故选:A2.若,则(

)A. B. C. D.【答案】B【分析】利用诱导公式得到,再利用二倍角公式计算得到答案.【详解】,故,.故选:B3.设向量,均为单位向量,则“”是“”的(

)A.充分不必要条件 B.充要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【分析】由数量积的运算性质与充分条件与必要条件的定义求解即可【详解】向量,均为单位向量,由化简可得,所以,所以,即.向量,均为单位向量,当时,则,,,所以,所以“”是“”的充要条件,故选:B4.已知实数a,b满足,在下列各式有意义的前提下,一定成立的是(

)A. B. C. D.【答案】D【分析】对于ABC,举例判断,对于D,利用基本不等式判断.【详解】对于A,若,则满足,而,所以A错误,对于B,若,则满足,而,所以B错误,对于C,若,则满足,而,所以C错误,对于D,因为,所以,当且仅当,即时取等号,所以一定成立,所以D正确,故选:D5.设函数,命题“,”是假命题,则实数a的取值范围为(

)A. B. C. D.【答案】C【分析】由命题“”是假命题可得其否定为真命题,结合不等式恒成立问题的解决方法可求的取值范围.【详解】因为命题“”是假命题,所以是真命题,又可化为,即,当时,,所以在上恒成立,所以其中,,当时有最小值为,此时有最大值为,所以,故实数的取值范围是故选:C6.已知数列,满足,,其中是等差数列,且,则(

)A.2022 B.-2022 C. D.1011【答案】B【分析】根据条件,可以推出.然后,根据等差数列的性质,可得结果;也可以直接根据前n项和公式求和.【详解】解法1:由已知,得,则,根据等差数列的性质有,所以,有解法2:由已知,得,则,根据等差数列的性质有,所以,.故选:B.7.函数的大致图像为(

)A. B.C. D.【答案】A【分析】由奇偶性判断BD,由判断AC.【详解】,,即函数在上单调递增,且,即函数的定义域为,定义域关于原点对称.,即函数是奇函数,图像关于原点对称,故BD错误;因为,所以C错误.故选:A8.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,则A=(

)A. B. C. D.【答案】C【分析】利用正弦定理将原式边化角,再根据和角公式和辅助角公式化简即可.【详解】或(舍)故选:C.9.意大利画家达·芬奇提出:固定项链的两端,使其在重力的作用下自然下垂,那么项链所形成的曲线是什么?这就是著名的“悬链线问题”,其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数,其函数表达式为,相应的双曲正弦函数的表达式为.设函数,若实数a满足不等式,则a的取值范围为(

)A. B.C. D.【答案】D【分析】根据题意,写出函数的解析式,由函数的奇偶性和单调性列出不等式,解之即可.【详解】由题意可知:的定义域为,因为,所以函数为奇函数,又因为,且在上为减函数,由复合函数的单调性可知:在上为增函数,因为,所以,所以,解得:或,所以实数的取值范围为,故选:D.10.已知函数的最小正周期为,将函数的图象向左平移个单位长度后,再将图象上的所有点的纵坐标缩短为原来的,得到函数的图象,则函数的最小值为(

)A.4 B.-4 C. D.【答案】D【分析】先由恒等变化化简,再结合的最小正周期可得,进而由图象变换得到,即可得到,结合二次函数的性质即可求解【详解】因为的最小正周期为,,所以,所以,所以,又将函数的图象向左平移个单位长度后,再将图象上的所有点的纵坐标缩短为原来的,得到函数的图象,所以,所以,当时,有最小值,且为,故选:D11.已知,,,则a,b,c的大小关系为(

)A. B.C. D.【答案】C【分析】构造,,求导,结合函数单调性分析,即可判断.【详解】令,则,令,有,令,有,故函数在单调递增,在单调递减,故,即,,令,则,令,有,令,有,故函数在单调递增,在单调递减,故,即,,综上:.故选:C二、多选题12.各项均为正数的等比数列的前n项积为,若,公比,则下列命题错误的是(

)A.若,则必有 B.若,则必有是中最大的项C.若,则必有 D.若,则必有【答案】AD【分析】由等比数列的性质可判断AB,由等比数列的单调性可判断CD.【详解】对于A,若,则,即有,根据等比数列的性质,则,即有,A正确;对于B,若,则等比数列单调递减,因为,所以,则是中最大的项;若,则等比数列单调递增,因为,所以,则是中最小的项,B错误;对于C,若,则,而,所以数列单调递减,若,则,所以;若,则,所以,C错误;对于D,,而,所以数列单调递减,所以,所以,即,D正确.故选:AD三、填空题13.若各项均不为零的数列满足,,且,则______.【答案】【分析】由,可知为等差数列,从而可以求出的通项公式,进而可求出的值.【详解】由,得,∴为等差数列.又,,所以,∴,∴.∴.故答案为:.14.已知向量,,若,则实数k=______.【答案】-1【分析】先求得的坐标,再根据求解.【详解】解:因为向量,,所以,因为,所以,解得,故答案为:-115.设函数,若函数的图象关于点对称,且在区间上的最大值为2,则实数m的值为______.【答案】.【分析】由题意可得,,求出,然后由,得,再结合函数的最大值为2,可得,从而可求得结果.【详解】因为函数的图象关于点对称,所以,,所以,得,因为,所以,所以,由,得,因为区间上的最大值为2,所以的最大值为,所以,得,故答案为:.16.若关于x的不等式在上恒成立,则实数a的取值范围是______.【答案】【分析】不等式转化为,构造函数,判断函数单调递增得到,转化为,构造函数,根据函数的单调区间计算最大值即得到答案.【详解】,即,设,恒成立,故单调递增.原不等式转化为,即,即,设,,当时,,函数单调递增;当时,,函数单调递减;故,故.故答案为:.【点睛】本题考查了利用函数的单调性求最值解决参数问题,意在考查学生的计算能力,转化能力和综合应用能力,其中通过变形构造函数,利用单调性解决问题是答题的关键.四、解答题17.已知正项数列的前项和为,且满足.(1)求数列的通项公式;(2)求数列的前n项和.【答案】(1)(2)【分析】(1)根据,作差得到,即可得到是以为首项,为公差的等差数列,从而求出其通项公式;(2)由(1)可得,利用裂项相消法计算可得.【详解】(1)解:因为,即①,当时,解得或(舍去),当时②,①②时,即,即,即,因为,所以,即,所以是以为首项,为公差的等差数列,所以.(2)解:由(1)可得,所以.18.已知函数.(1)求的最小值,并写出此时x的取值集合;(2)若,求的单调递减区间.【答案】(1),此时x的取值集合为;(2)的单调递减区间为和【分析】(1)利用二倍角和辅助角公式化简函数得,再利用再由余弦函数的最值求解即可;(2)由,求出,再结合对取值即可求解【详解】(1).当,即时,取得最小值,且,所以,此时x的取值集合为;(2)由,得,所以,所以的单调递减区间为,又因为,所以的单调递减区间为和19.设函数.(1)若曲线在处的切线与直线平行,求实数a的值;(2)讨论的单调性并判断有无极值,若有极值,求出的极值.【答案】(1)(2)详解见解析【分析】(1)求导得,根据条件可得,列出方程即可求得的值.(2)由(1)可得,通过对的大小讨论即可得到其单调区间即极值.【详解】(1)因为且曲线在处的切线与直线平行,所以,即故(2)由(1)知当时,,所以函数在上单调递增;当时,令,解得或不妨令(是与中较小的一个,是较大的一个)列表如下:单调递增极大值单调递减极小值单调递增当时,即,取,其单调区间如表格所示,极大值为,极小值为.当时,即,取,其单调区间如表格所示,极小值为,极大值为.20.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,,且.(1)求角C的大小;(2)若△ABC为锐角三角形,且,求△ABC面积的取值范围.【答案】(1);(2).【分析】(1)由正弦定理和辅助角公式可化简原式为,结合求解即可;(2)由三角形的面积公式结合正弦定理得:,因为为锐角三角形,求出角的范围,即可求出的值域,即可求出面积的取值范围.【详解】(1)由以及,可得,即,即,即,即,由于,故,又,故,故或,解得或(舍去),故.(2)由正弦定理得,即,.所以的面积,.因为为锐角三角形,所以,所以,所以,故面积的取值范围是.21.在边长为2的等边△ABC中,D为BC边上一点,且.(1)若P为△ABC内一点(不包含边界),且PB=1,求的取值范围;(2)若AD上一点K满足,过K作直线分别交AB,AC于M,N两点,设,,△AMN的面积为,四边形BCNM的面积为,且,求实数k的最大值.【答案】(1)(2)【分析】(1)取的中点,则,所以,根据PB=1,可以得到,进而求出结果;(2)根据得到,利用题干已知条件进行转化,再利用三点共线可以得出,然后将比值化为一个二次函数求最值问题即可求解.【详解】(1)取的中点,所以,因为为的中点,所以,所以,又因为PB=1,所以,故,故的取值范围.(2)因为,所以,因为,,,所以,也即,因为点三点共线,所以①因为,所以,所以,又因为,所以,所以②,由①得:,将其代入②式可得:,所以当时,取最大值.22.已知函数,函数的最大值为.(1)求实数m的值;(2)设,若函数有2个零点,求实数a的取值范围.【答案】(1);(2).【分析】(1)根据导数的性质,结合函数的最大值进行求解即可;(2)根据导数的性质,结合函数零点的定义分类讨论进行求解即可.【详解】(1)由,当时,当时,单调递减,当时,单调递增,所以当时,函数有最大值,即,满足;当时,当时,单调递增,当时,单调递减,所以当时,函数有最小值,无最大值,不符合题意,综上所述:;(2),,若,当时,单调递增,当时,单调递减,所以,当时,,当时,,所

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