2010年湖南高考数学理科试卷带详解-

0年高考理科数学试题 湖南卷一、选择题：本大题共一项是符合题目要求的

8小题，每小题 5分，共 0分．在每小题给出的四个选项中，只有已知集合M 3,N 4 ，则 （ ）A．M N .N M .M N } .M N {1【测量目标】集合的基本运算 .【考查方式】直接给出两个集合先通过交、并、补集运算得出两个集合之间的关系，得出正确结论.【难易程度】简洁【参考答案】 C【试题解析】∵ M {1}, N } ,∴M N } ，故选 ．下列命题中的假命题是A． x R, x1 B.2 0

（ ）*2x N ,(x 1) 0*2C． x R,gx 1 . x R,nx 2【测量目标】全称量词与存在量词 .【考查方式】给出含有全称量词与存在量词的命题，推断真假得出结论 .【难易程度】简洁【参考答案】 B【试题解析】易知 A、C、D都对，而对于 B，当x 1时，有x 2 0，不对，故选 B．x 1 极坐标方程 cos 和参数方程 y 2 3t

（t为参数）所表示的图形分别是（ ）A.圆、直线 B.直线、圆C.圆、圆 D.直线、直线【测量目标】极坐标方程和参数方程与一般方程的互化 .【考查方式】给出极坐标方程与参数方程先转化为一般方程再推断其表示的图形 .【难易程度】简洁【参考答案】 A【试题解析】由极坐标方程 s 可得 2 s , x2 y2 x 0表示的是圆；由参数方程

x 1 y 2

推得直线 3x y 1 0，故选 A．在Rt△ABC中， C=90，AC 4，则等于 ( )A. 6 B. 8 C.8 D【测量目标】平面对量在平面几何中的应用 .【考查方式】在三角形中通过向量数量积的定义运算求解三角形两条边的数量积 .【难易程度】简洁【参考答案】 D【试题解析】

ABAC |AB||AC|cos BAC |AC|

2D．412 xdx5.等于 （ ）2ln22ln2

ln2 D.ln2【测量目标】定积分的运算 .【考查方式】直接给出定积分的式子求值 .【难易程度】简洁【参考答案】 D1【试题解析】由微积分易知，

41 n4 n2 n2 ，故选 D．Q(lnx) ，x dx2 在△ABC中，角 A,B,C所对的边长分别为 a,b,c，若 C 1202

a,则( )A. a b B. a b【测量目标】余弦定理 .

a b D. a与b的大小关系不能确定【考查方式】给出三角形中一个角和两条边的关系运用余弦定理推断选项的正误 .【难易程度】简洁【参考答案】 A【试题解析】由余弦定理得 2 2 2c a b

2 b

2 2 2 2a a b ab，则有2 2a b ab，而△ABC的边长a,b均大于零，因而有 a b，故选 A．在某种信息传输过程中，用 4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有同的信息个数为A.10 B.11【测量目标】排列组合 .

0和1，则与信息 0110至多有两个对应位置上的数字相( )2 【考查方式】给出一个实际问题运用排列组合的相关学问求解 .【难易程度】中等【参考答案】 B【试题解析】易知数字

0和1无限制排列时有 24

16种；与信息 0110四个对应位置上的数字都相同的只有１个 :0110；三个相同的有４个，分别为： 0111,0100,0010,1110,由间接法可得符合条件的有

C 1=11个，故选B．43443mina表示a,b两数中的最小值．若函数1

f(x) min{| x|,|x t|}的图像关于直线xA． 2

对称，则2

的值为2

（ ）1 D．1【测量目标】函数图像的性质 .【考查方式】给出函数 ,画出其图像，通过对其图像的推断求解未知参数 .【难易程度】中等【参考答案】 Dt【试题解析】本题考查了数形结合思想的运用 .画出图形，知对称轴为 xt 1，选 2

1，因此2第8题图二、填空题：本大题共 7小题，每小题 5分，共35分.把答案填在答题．卡．．中对应题号后的线上.加入量可以是【测量目标】黄金分割点 .

g到g之间若用8法支配试验，则第一次试点的g【考查方式】运用黄金分割点的相关性质解决实际问题 .【难易程度】简洁【参考答案】 g或【试题解析】 由 8 法求得第一次 试点的加入量为0 0 8 2g

0 0 8 8g 或如图所示，过 O外一点 P作一条直线的切线长 PT=4，则弦 AB的长为

O交于B两点．已知，点P到 O．第10题图【测量目标】切割线定理 .【考查方式】运用切割线定理求解圆中的弦的长度 .【难易程度】中等2【参考答案】 62【试题解析】由切割线定理知

T AB，得,因此，在区间 [ 1,2]上随机取一个数 则|x1的概率为 ．【测量目标】几何概型 .【考查方式】运用几何概型的相关学问求解区间内长度值率 .【难易程度】简洁2【参考答案】32.【试题解析】因x

2，所以|x|

1剟x 1的概率为3222如图是求 1 2 3222

⋯ 0 2n．的值的程序框图，则正整数n．第2题图【测量目标】循环结构的程序框图【考查方式】给出程序框图，阅读并运行程序得出结果 .【难易程度】简洁222【参考答案】 100222【试题解析】因第一次循环

s 1 ，第二次循环 s 1

2 +⋯

结果为2 2 2 2s 1 2 3 ⋯ 0 ，所以循环了 0次，则正整n 0.图中的三个直角三角形是一个体为 20

3的几何体的三视图，则

h cm．第13题图【测量目标】三视图 .【考查方式】直接给出一个几何体的三视图已知其体.【难易程度】简洁【参考答案】 4【试题解析】本题考查了三视图，考查了锥体体算式直角长5和6的锥体，由正视图得锥体的h4.

.由三视图得几何体底为1 1 5 6 h 0，解得3 2过抛物线 2x

2 ( py的焦点作斜率为 1的直线与该抛物线于 A,B两点，A,B在xx轴上的正射影分

D,C．若梯形 ABCD的

2 2，则p ．【测量目标】抛物线的一般方程，抛物线的简洁几何性质 .【考查方式】先求抛物线的解析式在运用其简洁几何性质求解知参数 .【难易程度】中等【参考答案】 2【试题解析】设直线方程为 y x

p，设A点纵标为2

y、 点纵标为 y（yB1 2 1B

y，22（步1）又得2

B 2D 即 (y 1

2

2p) y2

y（步2）又由于梯形11面为 2 2，则得 (y1

y)(y2 2

y) 4 2（2步）由（ 1（2）联立得(y y)(y y1 2 1

) 2

（*

2 21x py 得1p y2 32y x

p202）由韦达4定理得 y1若数列

y2 p代入（*）解得 p 2（）mna 满足：对任意的 n N，只有有限个正整数 m使得a＜n成立，记的mnm的个数为 (an)，则得到一个新数列

(a) ．例如，若数列n

a 是3⋯ ，,⋯ ，则n数列 a ) 是⋯ ，n ⋯ ．已知对任意的 n N，n((a)) ．n

a n 2n2

(a) ，5【测量目标】数列的创新运用 .【考查方式】给出一个数列赐予其新性质求解数列中的项【难易程度】中等2【参考答案】 2 n2222【试题解析】 a a a a22211, 2, 3, 4,12 3 4 5

a ⋯ a25, ,2n

n，易知其中小于 5的只2有 两 个 a21

1,a2

4 ， 故 (a5

2 ；（ 步1 ）推 得 ：(a)1

0,(a) (a2 3

(a) 1,(a4 5

(a)6

a) ,a ) 9 101）故a)) 1

((a) 2

4 2

((a) 232

9 3

,((a)) n.22n22（步3）

(a)5

2，a

)) n24）三、解答题：本大题共 6小题，共 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数（Ⅰ）求函数 f(最大值；（I）求函数 f(零点的集合 .

f(x)3sin22six2．2【测量目标】诱导公式，三角函数的最值，函数的零点 .【考查方式】给出一个三角函数先运用诱导公式化简再求解其最大值和零点所在的集合 .【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）由于

πf(x)3sin1cos2x)2sin(2x)1（步骤）6π π π所以，当2x

即 x (k 时6 2 6函数f)最大值 步骤（

解法1 由（Ⅰ）及 f得

π 1sin(2x （步骤所以6 2πππ5π2x2kπ6或62x6,6即x

πx 步骤3故函数 f(

点的集合为

πx|或x ，k Z步骤3解法2 由f得 22

sinx0,，（步骤3）于是或 3cossinxtn 3（步骤）由sinx0可知x ；由

3

πx 步骤3故函数 故函数 f(x的零点的集合或x ，k Z步骤317．（本小题满分12分）如图是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量（单位：吨）的频率分布直方图（Ⅰ）求直方图中 x的值（I）若将频率视为概率，从这个城市随机抽取水量在3至4吨的居民数 X的分布列和数学期望

3位居民（看作有放回的抽样） ，求月均用第17题图【测量目标】频率分布直方图，分布列与数学期望 .【考查方式】给出一个与实际问题有关的频率分布直方图先观看图求出未知参数， 再运用分布列与数学期望的相关学问求解答案 .【难易程度】中等【试题解析】 （Ⅰ）依题意及频率分布直方图知，

2 1 x 7 9 解得x 2．（II）由题意知，

B(3,0.1)．（步骤1）因此0 3 1 2P(X

0)

0.932

92

P(X 1) C 0.1 0.933

3，3P(X

)

0.13

9 7， (X ) C 3

1，（步骤）故随机变量 X的分布列为X 012 3P 7 X的数学期望为或X 1 EX23 0.1 0.3．7 3 0.3．（步骤3）．（本小题满分 2分）如图所示，在正方体 D ACD中，E是棱

的中点.1111 1（Ⅰ）求直线 BE与平面 ABB1A1所成的角的正弦值使B1F//平面 A1BE?证明你的结论 .

（II）在棱 1上是否存在一点 F，【测量目标】线面角，线面平行的判定

第8题图.【考查方式】给出空间几何体运用线面角及线面平行的性质求解 .【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）解法 1 设正方体的棱长为基底建立空间直角坐标系． （步骤 1

如图所示，以 AB,AD,AA为单位正交1为单位正交1

B(1,0,0)E(0,1, A(0,0,0),D(0,1,0)所以2

E ( , ,D （2骤2在正方体 A

ABCD 中，由于 AD1 1 1 1

平面ABB1

A，所以 AD是平面1ABBA的一个法向量．（步骤 设直线 BE和平面 ABB

所成的角为 ，则111 1sin |BEADBE AD

13 2 3 ．即直线 E和平面 BA所成的角的正弦值为1 1 12

2．（步骤34）第8题（1）图1（II）依题意，得

A(0,0,1), ( 1,0,1),

( 1,1, ).1 1BA

设n x,2

是平面1ABE步骤nBA1

0,nBE 0

x z 0,1

所以x z，1 x y z 0.21y z取z 2n

, 骤 设F是棱C

上的点，则F(t,1,1)(0剟t 1).2B所以

11BF t （步骤 而 BF

平面 ABE，于是BF//平面 ABE11 ( 1,1,0).1

1 11 11 CD 的 中BF n 01点．（步骤）

t )

0 t ) 1 0 t F 为 1 12这说明在棱 CD上存在点 F（CD的中点），使BF//平面ABE．（步骤9）1 1 1 11 1解法 2 （Ⅰ）如图（a）所示，取 A的中点 M，连结 ，M．由于 E是D1的1中点，四边形 ADDA为正方形，所以EM //AD骤 又在正方体 ABCD AD11111 1中，AD 平面 ABBA，所以EM

平面 ABBA，从而BM为直线 BE在平面 ABBA上11 111 1的射影，（步骤 EBM为 BE 和平面M D 2，（步骤7）

ABBA所成的角．设正方体的棱长为1 1

2，则2 2 E 2 2 1 3．于是，在 t△2 2

sin EBM

M 2.BE 31即直线 BE和平面 1

A所成的角的正弦值为1

2．（步骤）3第8题图（a） 第8题图（b）（II）在棱 CD上存在点 F，使BF//平面ABE．1 11 1事实上，如图（ b）所示，分别取 CD和 CD的中点 F,G，连结 EG,BG,1

,FG．1 1因AD//BC//BC，且 AD BC，所以四边形 A

为平行四边形，（步骤 10）1 1 11 1 1 1 1因此DC//AB．又E,G分别为 DD，CD的中点，1 1 1所以EG//DC，从而 EG//AB.这说明 A,B,G,E共面．（步骤11）1 11所以BG 平面 ABE．因四边形 CCDD与B

皆为正方形，1 1 1 1111F,G分别为 CD和CD的中点，所以 FG/1 1

C/1

B且 FG CC,1 1,

BB，（步骤2）因此四边形 BBGF为平行四边形，所以 BF//BG．1 1而BF 平面 ABE，BG 平面 ABE，故BF//平面ABE骤 1 1 1 11（本小题满分3分）为了考察冰川的溶化状况，一支科考队在某冰川上相距 m的两点各建一个考察基地视冰川面为平面形，以过B两点的直线为x轴，线段B的的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，在直线x2的右侧，考察范围为到点B的距离不超6 5 m区域；在直线 x 2的左侧，考察范围为到 B两点的距离之和不超过 4 5m区3域.（Ⅰ）求考察区域边界曲线的方程；（Ⅱ）如图所示，设线段 PPP23是冰川的部分边界线（不考虑其他边界线） ，当冰川溶化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动 ,后每年移动的距离为前一年的 2倍，求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间 .第19题图【测量目标】函数与圆锥曲的实际运用 .【考查方式】给出一个实际问题运用函数模型和圆锥曲的关质解问题 .【难易程度】中等【题解析（Ⅰ）设边曲上点 P的坐标为(,)．当 x⋯ 2时，由题意知2 2 ( 4)x

51）当x 2时，由|

|PB| 4 5知，点P在以AB为焦点，轴 a 4 5的椭圆上．）此时半

2 2b 2 ) 4 2．22因而其方程为x y 1220 4

3）故考察区域界曲（如图）的方程为22C :(x 4) y22

36x⋯)和

x y22C: x )4）2212 0 415第19题（Ⅰ）图（Ⅱ）设过点 P,P的

l，过点 P,P的

l，则直

1 2 1 2 3 2 1 2y 3x 14（步6设平行于直，其方程为 1

3x m代yx2 2yx入椭圆方程 1消去y，

216x 10 3mx 2

24) 020 42由 100 3m 4 16 5(m 2

20，解得 m 8，或2

．8）从图中可以看出， 当m 8时，直l与 C 的公共点到 l的距离最近，此时直2 1的方程y

x l与

l1

4 8|3）1 3又直线l

C

6 5的最短距离到 1 22

d 6 ,5

3，所以考察区域边界到冰川边界线的最短距离3．设冰川边界线移动到考察区域所n年，n则由题设及等比数列求和公式，得n

1) ⋯3，所以 n⋯ 4．2 12故冰川边界线移动到考察区域所的时间4年.（步9）2（本小题满分 3分）已知函数

f(x) x

bx b,c R),对任意的 x R，恒有f x , f(x).( )（Ⅰ）证明：当 x⋯ 0时（Ⅱ）

f(x), (x c) ；2b，c，不等式2

2 f(c) f(b Mc b2 M的最小值.【测量目标】函数的最值与不等式证明 .【考查方式】给出函数解析式证明函数的最值范围与不等式成立的条.【难易程度】难2【试题解析】易知 f (x)2

x b．由题设，对任意的 x R，x b, x2 x ,即2 ( x b x c b⋯

0 b 恒成立，（）所以

4(c b), 0，从而2bc⋯ 1）4于是c⋯1

c⋯

b21 b|，因此 c b c c ) 0）故2当 x⋯ 0时，有

4)2 f) c )x c ⋯0．即当 x⋯ 0时，2fx), (x 2（Ⅱ）由（Ⅰ）知， c⋯|b|．当c |b|时，有2 2 2M ⋯f( ) f( ) c b bc b 2

b.（步2222c b c b b c2222令t b，则 1 t ， c c b c3

12 ．而函数 t) 21 t3

1( 1 t 1)1 t的值域是

, ) ．因此，当 c |b时，M的取值集( , ).2

（步当c |b|时，知3

c .此时 f) f

8或，c2 b2 0，3 7）从而2 2f(c) f(b), (c b)恒成立．综上所述， M的最小值为中，2 2中，．（本小满

13分）数列 a (n N)n

a aa 是函数,1 n1,f(x)

1 13x (3a

2 2 2n )x 3nax的微小值.n n n3 2（Ⅰ）当 a 0时，求通项 a ；n（Ⅱ）是否存在请说明由

a，使数列 an

是等比数列？若存在，求 a的取值范围；若不存在，【测量目标】数列的通项与等比数列的性质 .【考查方式】给出数列的函数形式运用数列的通项与等比数列的性质求解【难易程度】难2f(x)x2(3a2n)x 3n2f(x)x2(3a2n)x 3na(x3a)(xn)．nnnn令f (x) 0，2n2

x 3a,x1 n

n（1）（1）

3a n则n当x 3a时， fn(x) 0, f(x)单调增n n时，当a x n n时，

f (x) 0,n

递nx 当 x 时，

f (x) 0,n

(x)n

单调）故f (x)在 x 2n2

2（步3）2（）若 2

n仿（１）

f

x

（步4）n（若 3an

n

f (x) 0,f n

n n无极值．（）2n2当a 0时， a1

0,则 3a1

1由（1）知，

a 1 1.222因a 3 22

2则由

1）知，

a 2 232因a

242 3,则由（）知，4

3a 3 4.332 2又由于3a4

6 4,则由（2）知

a 3a5

3 4.（6）由此猜想：当 n⋯3时，an

4 3 n下面先用数学归纳法证

n⋯ 3

2.a n