行列式的性质及应用

唐山师范学院本科毕业论文题目行列式的性质及应用学生王峰指导教师陈军副教授年级2006级专业数学与应用数学系别数学与信息科学系唐山师范学院数学与信息科学系2008年5月郑重声明本人的毕业论文（设计）是在指导教师陈军老师的指导下独立撰写完成的。如有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权的行为，本人愿意承担由此产生的各种后果，直至法律责任，并愿意通过网络接受公众的监督。特此郑重声明。毕业论文作者：王峰2008年5月1日目录题目…………1摘要…………1正文…………1•问题的提出 1.排列……………………1三•行列式…………………1•n阶行列式具有的性质………………2•行列式的计算…………3（一）数字型行列式的计算 3（二）行列式的概念与性质的例题………6（三）抽象行列式的计算…………………6（四）含参数行列式的计算………………7（五）关于|A|0的证明 7（六）特殊行列式的解法…………………8（七）拉普拉斯定理………9参考文献……………………10致谢…………11外文页………………………12行列式的性质及计算王峰摘要在线性代数中,行列式是一个重要的基本工具,直接计算行列式往往是困难和繁琐的,特别当行列式的元素是字母时更加明显,因此熟练地掌握行列式的计算方法是非常重要的。行列式的重点是计算，应当在理解n阶行列式的概念，掌握行列式性质的基础上，熟练正确地计算三阶,四阶行列式，也会计算简单的n阶行列式的值.计算行列式的基本方法是:按行（列）展开公式,通过降阶来实现。但在展开之前往往先通过对行列式的恒等变形，以期新的行列式中能构造出较多的零或有公因式，从而可简化计算,行列式计算的常用技巧有，三角化法，递推法，数学归纳法，公式法。关键词三角化法递推法数学归纳法公式法一.问题的提出在实践中存在许多解n元一次方程组的问题，如fax+ax=b①<1111221Iax+ax=b2112222a x+a x H Fa x=b111 122 1nn1a x+a x H Fa x=b②< 12 1 22 2 2nn2ax+axH Fax=bn11 n22 nnnn对于①我们可以解出，但对于②，我们有什么方法解出呢?我想可以用行列式的知识。二.排列定义1由1.2……n组成的一个有序数组称为一个n级排列。n级排列的总数为n-（n—1）-（n—2） 2-1=n!（n的阶乘个）。定义2在一个排列中，如果一队数的前后位置与大小顺序相反，即前面的大于后面的数，那么它们就称为一个逆序。一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。定义3逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列称为奇排列。例1决定以下9级排列的逆序数，从而决定它们的奇偶性134782695解逆序数为10，是偶排列。aa•…a11121naa•…a21222n・・・… aa•…an1n2nnn阶行列式IA=n阶行列式IA=定义（设为n阶）：=工 (—1尸(j1j2…j”)aa•…a1j1 2j2 njnj1厶…丿”

是取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和，它由n!项组成，其中带正号与带负号的项各占一半，e（jjj）表示排列jj…j的逆序数。12•…n 12 n四．n阶行列式具有的性质aa….aaa・aii121nii21n1aa….aaa・a21222naa….aaa・aii121nii21n1aa….aaa・a21222n=1222n2・・・… ・・・・・・aa•…aaa・an1n2nnin2nnn1．性质（1）行列互换，行列式不变。即O一行的公因子可以提出来或以一数乘行列式的一行就相当于用这个数乘此行列式）aa….aaa….aiii2iniii2in・・・・ ・・・・ kaka…ka=kaa•…aiii2iniii2in・・・・・・・・・・・・・・ aa•…aaa•…anin2nnnin2nn特殊形式（如果行列式中一行为零，2．性质（2）即那么行列式为零）。aa…. aaa….aaa・aiii2iniii2iniii2in・・・・・・・・・・・・・・ ・・・・・・b+cb+c…b+c=bb…b+cc・ci i22n ni2ni2n・・・・・・・・・・・・・・ ・・・・・・aa•… aaa•…aaa・anin2nnnin2nnnin2nnO性质如果行列式中两行相同，4）4．3．性质（3）如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外与原行列式的对应行一样0即那么行列式为零。（两行相同就是说两行对应元素都相同）。5．那么行列式为零。即aiiai2・ainaiiai2...ainaiiai2・ainaiiai2・ain・・・・・・・・=k・・・・・kaiikai2・kainaiiai2・ain・・・・・・・・・・・・・・・・anian2・annanian2・ann性质如果行列式中两行成比例。6．性质（6）把一行的倍数加到另一行，行列式不变0即a11a12・a1na11a12・a1na11a・12a1na+caa+ca・a+caaa・acaca ・cai1 k1i2 k2inkni1i2ink1k2kn・・・・・・・♦・・・・・・・・+・・・・・・・・aa・aaa・aaa・ak1k2knk1k2knk1k2kn・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・aa・aaa・aaa・an1n2nnn1n2nnn1n2nna a…a11121n・・・・・・ aa…ai1 i2in...・・♦ aa…ak1 k2kn・・・・・・ aa…an1 n2nn7．性质（7）对换行列式中两行的位置，行列式反号。即a a …-aaa・aaa・a11121n11121n11121n・・・ ・・・・・・・・・・・・・・・・aa …-aa+aa+a・a+aa+aa+a・a+ai1 i2ini1 k1i2 k2inkni1k1i2 k2in kn・・・ ♦・・♦・・・・・・・・・・・・aa …-aaa・a_a_a・_ak1 k2knk1k2kni1i2in・・・ ・・・・・・・・・•・・・•aa …-aaa・aaa・an1 n2nnn1n2nnn1n2nnaa•…aaa•…a11121n11121n・・・・・・・・・・・・・・ aa•…aaa•…ak1k2knk1k2kn・・・・・・・・・・ ...・ _a_a•… _aaa•…ai1i2ini1i2in・・・・・・・•・・・・・・・•aa….aaa….an1n2nnn1n2nn五.行列式的计算（一）数字型行列式的计算（四种方法）1.三角化法解把每行均加至第一行，提出公因式x+(n-l)a，再把第一行的-a倍分别加到第二行至第n行，得111…1111…1axa…ax-aD=[x+(n-1)a]naax…a=h+(n-1)a]x-a =[x+(n-1)a](x-a)aaa…xx-a2．递推法1—aa-1 1-aa例4计算行列式D=-1 1-aa 之值。-11一aa-1 1一a解把各列均加至第1列，并按第1列展开，得到递推公式1 a1—aaD=-11-aa=D—a(-1)5+1a45-11-aa4-11—a例2计算行列式D=1-1b11-b1-1b2例2计算行列式D=1-1b11-b1-1b21-b2-1b31-b之值。1b1b1b1111b1b1b2=2=2-11-bb1b1b2333-11-b-11-b1解从第1行开始,依次把每行加至下一行,得D=33xaaa3例3计算行列式D=之值。继续使用这个递推公式，有D=D+a4 D=D-a34 3 3 2而初始值D=1-a+a2，所以D=1-a+a2-a3+a4-a525例5计算行列式D例5计算行列式D=na1a2a3之值。an-1an解按第n行展开，有D=xD+a(—1)n+i•(—1)n-i=xD+a,n n-1n n-1n从而递推地得到D=xD+a(-1)n-(-1)n-2二xD+a,n-1 n-2n-1 n-2 n-1D二xD+an-2 n-3n-2D=ax+a212对这些等式分别用1,x,x2,…,xn-2相乘，然后相加，得到D=axn-1+axn-2+axn-3+ +ax+an 1 23．数学归纳法3n-1 na…a0…0111k小 a…ab...ba…a0…0111k111r例6证明①k1kkb...■・♦■・♦oc…c…b111k111ra…ab...b・・・……… k1kkr1rrc…cb…br1rkr1rr解我们对k用数学归纳法。a0…011cb•…b当k=1时，①的左端为11111r按第一行展开，就得到所要的结论。cr1br1...brr假设①对k=m-1，即左端行列式的左上角是m-1级时已经成立，现在来看k=m的情形，按第

a ….iia01m...0a22•…a2m0…0a •…a0・・・0a…a0…0一行展开，有m1mmj=am2mmb…7+C ….Cb…b11C•…Cb111m 111r121m111r ………・・・……………...C ….Cb...bC…Cb…br1rm r1rrr2rmr1rraaa…a0…0212,i—12,i+12ma …aaa0…0…+(-l)i+ia m1m,i—1m,i+1mmb…bliC …CC…C111,i—11,i+11m111rc …CCCb…br1r,i—1r,i=1rmr1rraa00212,m—1aa00+•…+(一1)1+ma m1m,m—1bb1mCC…111,m—1111rCCbbr1r,m—1r1rra …aaaa …a22 2m212,i—12,i+12m=[a・・・ ・・・ ・・・+…+(—1)1+ia・・・………・・・111ia …aa…aa •…am2 mmm1m,i—1m,i+1mma …ab・・・ba•…ab•…b212,m—1111r111m111r+•…+(—1)1+ma •…・…]・・・・…・・・—・・・…… 1ma …ab…ba….ab•…bm1m,m—1r1rrm1mmr1rr最后一个是根据按一行展开的公式。abCd—ba—dC之值。—Cda—b—d—Cba例7计算行列式|A|二这里第二个等号是用了归纳法假定根据归纳法原理，①式普遍成立。4．公式法解由于AAt=(a2+b2+C2+d2)E，故用行列式乘法公式，得这里第二个等号是用了归纳法假定根据归纳法原理，①式普遍成立。4．公式法|A|2=|A|-|At=IAAt=(a2+b2+c2+d2)4

因A|中，a4系数是+1,所以|A|=（a2+b2+c2+d2）2。（二）行列式的概念与性质的例题例8已知aaaaaa是6阶行列式中的一项，试确定i,j的值及此项所带的符号。2331ij645615解根据行列式的定义，它是不同行不同列元素乘积的代数和。因此，行指标2,3,i，6,5，1应取自1至6的排列，故i=4，同理可知j=2。直接计算行的逆序数与列的逆序数，有t（2,3,4,6,5,1）+T（3,1,2,4,6,5）亦知此项应带负号。（三）抽象行列式的计算例9已知a,a,&P,Y都是4例9已知a,a,&P,Y都是4维列向量，且巴，氷，a3,卩12=a，lP+Y,a3,a2,叩=b，则|2y,a,a,a=1 1 2 3）。解|卩+丫,a，a,中第1列是两个数的和，用性质3可将其拆成两个行列式之和，再利用对换,提公因式等行列式性质作恒等变行，就有|P+丫,a,a,a1 3 2 1=P,a,a,a+y,a,a,a_ _ 3 2 1321|P,a,|P,a,a,a|=|a,a,a,1 3 2 1123卩I,Y,a3,a2,aJ=HY,a1,a2a」于是|2y,a, ,^1=2(a-b)01111 一 、厂 厂例10若4阶矩阵A与B相似，矩阵A的特征值为a,yj则行列式B-1—E=（ ）。23451111解由A〜B，知B的特征值是a，亍,。那么B-1的特征值是2，3,4，5•于是B-1—E的特征值2345=(=(x-2)=(x-2)(x2-9x+18)是1，2,3,4。有公式得，B-1—E=24。（四）含参数行列式的计算x—31-1例11已知D=1x-51=0，求x。-11x—3解将第3行的-1倍加至第1行，有x—202—x10—1100D=1x—51=(x-2)1x—51=(x-2)1x—52—11x—3—11x—3—11x—4

以x—2,x—3,x—6。(五)关于|A|=0的证明解题思路：设证法|A|=TA|；反证法：如|A|丰0从A可逆找矛盾；构造齐次方程组Ax二0，设法证明它有非零解；设法证矩阵的秩r(A)<n；证明0是矩阵A的一个特征值。例12设A2=A,A丰E(单位矩阵)，证明：|A|=0。证法一：如A|丰0，则A可逆，那么A=A-1A2=AtA=E.与已知条件A丰E矛盾。证法二：由A2=A，有A(A-E)=0,从而A-E的每一列都是齐次方程组Ax=0的解，又因A丰E，故Ax=0有非零解，从而|A|=0。证法三：证同上，由于A-E的每一列0(i=1,2,n都是Ax=0的解，所以ir(A-E)=r(0,0,…，0)<n-r(A)，又因A丰E，r(A一E)>0，故r(A)<n-r(A-E)<n，1 2n所以|A|=0。证法四：证同上，设0是A-E中非零列，则A0=0=00，则，0是A的特征值，故|A|=0。i i i(六)特殊行列式的解法x(x-x(x-1)22x2(x-1)22x(x-1)之值。3 3x2(x一1)3 3111.1aaa.a123na2a2a2.a2123n......・・・an-1an-2an-3.an-1定义：行列式d=称为n级的范德蒙行列式。132n例13计算行列式|A|=xi(xi-1)x2(x一1)11解把1改写成x-(x-1)，第一行成为两数之和，|A|可拆成两个行列式之和，即i i

|A|x x x1 2 3x（|A|x x x1 2 3x（x一1）x（x一1）x（x一1）1 1 2 2 3 3x2（x一1）x2（x一1）x2（x一1）1 1 2 2 3 3-（x一1）1x（x一1）IIx2（x一1）11-（x一1）2x（x一1）22x2（x一1）22-（x一1）3x（x一1）3 3x2（x一1）3 3分别记这两个行列式为|B|和|C|,则由范德蒙行列式得,111B=xxxx—1x一1x—1123123x2—xx2一xx2—x11223 3111=xxxxxx=Rx-n（x123 123iix2x2x2i=11<j<i<3123c二—円(x—1)-n(x-x)TOC\o"1-5"\h\zi iji=1 1<j<i<3故A|=n(x—x)[Hx—R(x—1)]ij i i1<j<i<3 i=1 i=1(七)拉普拉斯定理设在行列式D中任意取定了k(1<k<n-1)个行，由这k行元素所组成的一切k级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D。(其中：①k级子式：在一个n级行列式D中任意选定k行k列(k<n)。位于这些行和列的交点上的k2个元素按照原来的次序组成一个k级行列式M，称为行列式D的一个k级子式。②余子式：在D中划去这k行k列后余下的元素按照原来的次序组成的n—k级行列式M'称为k级子式M的余子式。③代数余子式：设D的k级子式M在D中所在的行、列指标分别是i,i…i；j,j，…j.TOC\o"1-5"\h\z12k1 2k则M的余子式M'前面加上符号(—1)(i1+i2+"*)+(j1+j2+…+jk)后称为M的代数余子式)。12 140—121例14求行列式D=1 0 1 3。0 131解：在行列式D中取定第一、二行，得到六个子式：121114M=,M=,M=910-1202301212414M=,M=,M二4-125-11621它们对应的代数余子式为A=(—l)(i+2)+(i+2)M'=M',A=(—l)(i+2)+(i+3)M'=_M',111222A=(-1)(1+2)+(1+4)M'=M',A=(-1)(1+2)+(2+3)M'=M',3 3 3 4 4 4A=(-1)(1+2)+(2+4)M'=-M',A=(-1)(1+2)+(3+4)M'=M'555666根据拉普拉斯定理D=MA+MA++MA112266121311030-1•31一02•1114012113++0113-120124111410—+-11032101=(-1)x(-8)-2X(-3)+1x(-1)+5X1-6x3+(-7)x1=8+6-1+5-18-7=-7参考文献:北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数.高等教育出版社，1988，51-96李正元李永乐袁荫棠.数学复习全书.国家行政学院出版社，2005，347-363。张贤科许甫华.高等代数学.清华大学出版社，2000。致谢我的毕业论文（设计）撰写工作自始至终都是在陈军老师全面、具体的指导下进行的，陈军老师渊博的学识、敏锐的思维、民主而严谨的作风，使我受益匪浅，终生难忘，陈老师严谨的治学态度和对工作的兢兢业业、一丝不苟的精神将永远激励和鞭策我认真学习、努力工作。感谢我的指导教师陈军对我的关心、指导和教诲！感谢我的学友和朋友对我的关心和帮助！DeterminantofthenatureandtermsWangFengDirectedbyprof.chenJunAbstacrtLinearAlgebra,isanimportantdeterminantofthebasictools,directcalculationdeterminantisoftendifficultandcumbe