第章费克扩散-环境水力学-教学课件

第三节一维扩散方程的基本解

扩散方程的定解条件（初始条件、边界条件）解的形式：解析解、数值解污染源（按空间）：点源、线源、面源、有限分布源不存在绝对的点源、无限长线源、无限大面源污染源（按时间）：瞬时源、时间连续源（事故排放、正常排放）瞬时源是一种近似，连续源又分为恒定和非恒定源污染物扩散：一维、二维、三维扩散方程第三节一维扩散方程的基本解扩散方程的定解条件（初始条1瞬时点源或称瞬时无限平面源和无界空间的定解条件下的解析解。定解条件在数学上表达为：c(x,0)=m(x)

Delta函数物理含义：当t=0时，在通过x=0处且与x轴垂直的平面上，单位面积的污染物质量为m,它位于x=0处以无限大的浓度强度浓缩在无限小的空间中。（2）边界条件：c(,t)=0,c(,t)/x=0（1）初始条件：一维分子扩散方程：1.定解条件第三节一维扩散方程的基本解瞬时点源或称瞬时无限平面源和无界空间的定解条件下的解析解。定22.解析方法：如拉普拉斯变换、分离变量法和量纲分析法量纲分析，物理方程中各项物理量的量纲之间存在的规律：量纲和谐性，物理方程中各项的量纲应当相同；任一有量纲的物理方程可以改写为无量纲项组成的方程而不会改变物理过程的规律性；物理方程中各物理量之间的规律性以及相应各量纲之间的规律性，不会因所选的基本量纲不同而发生改变。π定律（布金汉定律）：任何一个物理过程，包含有k+1个有量纲的物理量，如果选择其中m个作为基本物理量，那么该物理过程可以由[(k+1)-m]个无量纲数所组成的关系来描述。第三节一维扩散方程的基本解2.解析方法：如拉普拉斯变换、分离变量法和量纲分析法量纲分析3式中:f为待定函数，故可在上式中写上4π和4，目的是使最终的解较为简明;m是单位面积上的污染物质量，而不是全部污染物的质量M，m的量纲是[ML-2]M与m的关系是m=M/A，其中A是通过坐标原点且与x垂直的面积，并假设平均分布在该面积中。假设有函数：F(c,m,D,x,t)=0利用π定律，选c、D、t为基本变量，可得：从物理概念上分析，浓度c是m、D、x、t的函数第三节一维扩散方程的基本解式中:f为待定函数，故可在上式中写上4π和4，目的是使最终的4

设变量进一步令，有:

。边界条件由原来的c(,t)=0,c(,t)/x=0f(∞)=0，df(∞)/dη=0即θ=常数k1,因此有：以f的边界条件代入上式得k1=0，故上式变为:第三节一维扩散方程的基本解它的通解为：设变量进一步令，有:。边界条5为任何时刻源点浓度（坐标原点与源点重合的情况下）根据污染物质的质量守恒定律，有对上式分别通过求t→0、x→0和t→0（x≠0）的极限，可得到c=∞和c=0，这说明了该解也是满足初始条件的。此外，上式虽然是对x≥0的定解条件求解，但也可用于x＜0情形。,推出k0=1第三节一维扩散方程的基本解为任何时刻源点浓度（坐标原点与源点重合的情况下）根据污染物质6瞬时点源一维无界空间的浓度分布瞬时点源一维无界空间的浓度场在任一时刻t沿x轴是正态分布，随时间t的增加，浓度的峰值Cm变小，而扩散的范围变宽。第三节一维扩散方程的基本解瞬时点源一维无界空间的浓度分布瞬时点源一维无界空间的浓度场在71浓度对距离的各阶矩定义零阶矩一阶矩 二阶矩对原点的任意p阶矩对瞬时点源来说，零阶矩m0=污染源的单位面积质量m，是一常数，但一般情况下，矩都是时间的函数。各式的右端可供当具有实验资料时，计算浓度各阶矩之用。第四节浓度分布的各阶矩1浓度对距离的各阶矩定义零阶矩一阶矩 二阶矩对原点的82浓度分布的统计特征值

（1）浓度分布的距离均值表示浓度分布曲线重心的x位置，当曲线对称于c轴时x=0。（2）浓度分布的距离方差 表示浓度分布对于平均浓度值的离散程度，2值愈大，分布曲线愈平坦。第四节浓度分布的各阶矩2浓度分布的统计特征值

（1）浓度分布的距离均值表示浓度分9（3）三阶中心矩表示曲线偏斜度：=0左右对称;

>0左右不对称，长尾伸向正轴方向；＜0，长尾伸向负轴方向。

=0>0＜0图对浓度分布图形的影响第四节浓度分布的各阶矩（3）三阶中心矩表示曲线偏斜度：=0左右对称;=010（4）四阶中心矩表示曲线峰态或平坦度的一个指标，值愈大表示峰型愈大。第四节浓度分布的各阶矩（4）四阶中心矩表示曲线峰态或平坦度的一个指标，值愈大表示峰11对于正态分布曲线（标准）有：将瞬时点源的解代入m2，得距离方差：当已求得，可用上式反求D。由于D是常数，将上式对t求导，有：称为矩法公式对任何其它分布，只要在无界空间情况下满足边界条件：或仍存在上式表明方差与扩散历时t成正比。凡符合这个规律的扩散，都称为费克型扩散。第四节浓度分布的各阶矩对于正态分布曲线（标准）有：将瞬时点源的解代入m2，得距离方12第五节一维扩散方程的空间瞬时线源的解析解设只当t=0时在x=ξ处投放污染物质（瞬时点源）初始条件：c(x,0)=mδ(x-ξ)边界条件：c(±∞,t)=0

第五节一维扩散方程的空间瞬时线源的解析解设只当t=0时在13的浓度应为现将初始条件改为：c(x,0)=f(x),-∞<x<∞其中f(x)为任意给定的函数，亦即该初始分布是沿无限长直线上给定的浓度为f(ξ)，它的量纲为[ML-3]，单位面积上的质量为f(ξ)dξ。位于ξ处由该微小污染单元的扩散而导致在时刻t位于x的浓度应为:用一系列质量为f(ξ)dξ的团块来求浓度分布第五节一维扩散方程空间瞬时线源的解析解的浓度应为现将初始条件改为：位于ξ处由该微小污染单元的扩散而14下面讨论两种特殊情况：单侧阶梯浓度函数的浓度分布1.当f(x)为阶梯函数：该问题的物理模型可认为是在一条无限长的等截面渠道的静水中，左端（x<0）充满浓度为C0的污水体，在右端（x>0）为清水，现闸门突然打开，左边的污染物质向右边扩散。解的形式为：第五节一维扩散方程空间瞬时线源的解析解下面讨论两种特殊情况：单侧阶梯浓度函数的浓度分布1.当f(x15

取变换式中：erf(z)为误差函数，erfc(z)为余误差函数，即第五节一维扩散方程空间瞬时线源的解析解取变换式中：erf(z)为误差函数，erfc(z)为余误16

取变换η=x-ξ,有再取变换,有该问题的物理模型可认为是在一条无限长的等截面渠道的静水中，突然发生事故，在渠中出现一段污染源而向两端扩散的情形。解的形式为：2.当f(x)为阶梯函数：X=0X=X1X=-X1初始浓度分布图第五节一维扩散方程空间瞬时线源的解析解取变换η=x-ξ,有再取变换17双侧阶梯浓度函数的浓度分布随着增大，浓度分布曲线愈平坦化。第五节一维扩散方程空间瞬时线源的解析解双侧阶梯浓度函数的浓度分布随着增大，浓度分布曲线18误差函数的定义:

从而有：余误差函数的定义:第五节一维扩散方程空间瞬时线源的解析解误差函数的定义:从而有：余误差函数的定义:第五节一19000误差函数的计算是把被积函数展开为麦克劳林级数，然后逐项积分第五节一维扩散方程空间瞬时线源的解析解000误差函数的计算是把被积函数展开为麦克劳林级数，然后逐项20第六节一维扩散方程的时间连续源的解析解一、时间连续点源在流场的某一点上，连续不断地投入浓度为c0（常数）的污染物质，即时间连续恒定点源。如果一维扩散区域无限长，则可将投放点位置取为坐标原点假设在初瞬时t=0，沿x轴各处的浓度均为零，但在x=0处浓度突然从零增加到，以后保持不变，亦即c(0,t)=c0无限边界条件为c(±∞,t)=0本问题的解也是一个有用的基本解，可以用来构造其他某些问题的解。第六节一维扩散方程的时间连续源的解析解一、时间连续点源21第六节一维扩散方程时间连续源的解析解借助量纲分析法来求解浓度分布c(x,t)显然，c与c0,D,x和t有关，利用π定理,选c、D和t为基本变量，可得如下关系式：式中：f是某一待确定的函数。令,有边界条件为f(0)=1,f(±∞)=0,显然有c(-x,t)=c(x,t),解对称于原点，只需沿x正向求解。二阶变系数齐次常微分方程时间连续点源的浓度分布第六节一维扩散方程时间连续源的解析解借助量纲分析法来求解22第六节一维扩散方程时间连续源的解析解

更一般的情形是c0不是常数，即不是时间连续恒定点源。而是c0随时间τ而变，即c0=c0（τ）。当时间增加δτ，位于x=0处的浓度增量为，相应的扩散结果可借助上式表示为:由上式通过积分可得任一时刻t的解：用于求解浓度C0(τ)的迭加法第六节一维扩散方程时间连续源的解析解更一般的情形是c023以下讨论在x=0处，给定单位时间单位面积上投入的污染物质量(简称单位面积质量投放率)，量纲为[ML-2T-1]，即在δτ时间内在单位面积上投放质量为。此时，根据瞬时点源的解式可得在τ瞬时投放质量的浓度场：由于是时间连续点源，故可得如果为常数，上式变为第六节一维扩散方程时间连续源的解析解以下讨论在x=0处，给定单位时间单位面积上投入的污染物质量24第六节一维扩散方程时间连续源的解析解时间连续点源的浓度分布污染的范围和浓度均随时间的增加而增大通过数值积分进行计算第六节一维扩散方程时间连续源的解析解时间连续点源的浓度分25二、时间连续线源第六节一维扩散方程时间连续源的解析解设为在单位时间内单位体积上投放的污染物质质量，它的量纲为[ML-3T-1]，则利用瞬时线源解式,再加对时间积分，便得解答：二、时间连续线源第六节一维扩散方程时间连续源的解析解设26第七节有界一维扩散和叠加方法对扩散被各种边界所限制的问题，通常运用叠加原理来解决。因为扩散方程是线性的，如果边界条件也是线性的，则可以叠加任意数量的单独解，从而构成新的解。假设边界为完全反射壁，即不吸收扩散物质。一、一边反射的瞬时点源情形边界条件：壁面上的浓度梯度必须是零，由费克定律得到:初始条件：讨论最简单的情况：当t=0时，在x=0处与x轴垂直的单位面积上，投放的污染物质量为m。在正方向的边界为无穷远，但在x=-L处有一阻止物质扩散的壁存在，并设该壁不吸收扩散物质（完全反射）。第七节有界一维扩散和叠加方法对扩散被各种边界所限制的问27像源法：当t=0时，另在x=-2L处投入单位面积质量为m的污染物质—像源或映像源，由像源和真实源各自产生的浓度场叠加即为真正问题的解：第七节有界一维扩散和叠加方法一边侧壁的像源法在反射壁边界处的浓度等于不存在该壁时的两倍。以上的解可以通过检查初始条件和边界条件是否得到满足而加证实。像源法：当t=0时，另在x=-2L处投入单位面积质量为m的污28二、两边反射的瞬时点源情形在x=-L和x=L均有完全反射壁： 无穷多像源各自的浓度分布叠加便得到问题的解：两面侧壁的像源法第七节有界一维扩散和叠加方法通常只计算几项就可以满足实际需要，如n=0,±1。二、两边反射的瞬时点源情形在x=-L和x=L均有完全反射壁29第八节二维和三维扩散方程的解析解

一、瞬时点源二维扩散方程为：上式中的Dx和Dy分别为x和y方向的扩散系数，虽然在分子扩散中，Dx=Dy=D，但因为我们将来可以借用该方程的解来解决某具有非各向同性性质的紊流扩散问题，所以在这里以Dx≠Dy进行讨论。第八节二维和三维扩散方程的解析解一、瞬时点源二维扩散方30利用“乘积法则”求解：假设本问题的解可以表为c(x,y,t)=c1(x,t)c2(y,t)式中c1不依赖于y,c2不依赖于x，故有第八节二维和三维扩散方程的某些解析解上式只有当两个括号内的量分别等于零才能得到满足，从而得到两个一维扩散方程，它们的瞬时点源无界空间的解均具有扩散方程基本解的形式，将这两个解相乘，就得到解答。当Dx=Dy=D时，上式变为：在z轴单位长度上的质量利用“乘积法则”求解：假设本问题的解可以表为c(x,y,t)31可将“乘积法则”求解的方法推广到瞬时点源无界空间的三维扩散。三维扩散方程为：当Dx=Dy=Dz=D时，r2=x2+y2+z2,有第八节二维和三维扩散方程的某些解析解可将“乘积法则”求解的方法推广到瞬时点源无界空间的三维扩散。32二、瞬时无限长线源瞬时无限长线源情形第八节二维和三维扩散方程的某些解析解一个瞬时无限长线源是沿一无限长直线上的每一个单位长度瞬时投放质量为mz所构成的，mz的量纲为[ML-1]。对于一个沿z轴分布的无限长线源来讲，根据三维瞬时点源的解可得由于η处的点源mzdη所产生的P点（x,y,z）处的浓度为与瞬时点源的二维情形相同二、瞬时无限长线源瞬时无限长线源情形第八节二维和三维扩散33三、瞬时无限平面源第八节二维和三维扩散方程的某些解析解单位面积瞬时引入质量为m,对在yz平面上的一个平面源来讲，由位于ξ处沿z方向单位宽度上质量mz=mdξ的无限长线源在P点（x,y,z）处产生的浓度：于是由无限平面源在P点处产生的浓度为：当Dx=Dy=Dz=D时，有瞬时无限平面源情形瞬时无限平面的分子扩散只沿与该平面垂直的方向进行，是一维扩散一维扩散问题中，点源就是无限平面源。三、瞬时无限平面源第八节二维和三维扩散方程的某些解析解34设在坐标原点处（x=y=z=0），单位时间内投放的污染物质量为（常数）。在dτ的微小时间内，投放质量为，将每一个看作是一个瞬时点源，借助瞬时点源的解在瞬时τ投入质量的浓度场:四、三维时间连续恒定点源第八节二维和三维扩散方程的某些解析解由于时间连续源，可对上式对时间进行积分，有设在坐标原点处（x=y=z=0），单位时间内投放的污染物质量35当τ=0，有当τ=t，有u=∞当Dx=Dy=Dz=D时，上式简化为:第八节二维和三维扩散方程的某些解析解当τ=0，有当τ=t，有u=∞当Dx=Dy=Dz=D时，上式36第九节随机游动法在以上各节中，是用欧拉（Euler）的观点和确定性的数学方法来确究费克扩散的。但是，也可以采用拉格朗日的观点，跟踪污染物质点的不规则运动，以及采用概率统计的方法来进行研究。第九节随机游动法在以上各节中，是用欧拉（Euler）的观37污染物质点由于受到分子运动的作用而作不规则的运动:

第九节随机游动法质点的位移是一个随机过程，该过程可以通过概率密度表达:进一步考虑有大量污染物质点当t=0在位置处释放，于是，当时刻t在位置处的浓度可表示为：根据大数定律，概率可近似地由下式确定：某一质点当时刻t=0时处于位置当时刻t时则处于位置污染物质点由于受到分子运动的作用而作不规则的运动:第九节38马尔可夫（Markow）链过程：由于受到液体分子碰撞，质点可能在时刻t落入某一指定的体积元，也可能不落入该体积元。而在每受一次碰撞之后，下一步走到什么位置，只是与当前的位置有关，而与前一个位置无关。也可以说，下一步处于某一位置的概率，只与质点位于当前位置的概率有关，而与质点位于前一个位置的概率无关，亦即质点的运动已失去历史的影响。设P(x,t)为一个质点当某一时刻t位于某一位置x的概率由全概率公式得到质点当时刻t位于x处的概率:第九节随机游动法质点的一维随机运动马尔可夫（Markow）链过程：由于受到液体分子碰撞，质点可39第九节随机游动法因为质点只有向左或向右运动的两种可能性，故有p1+p2=1，且p1=p2，因此上式右边的末项为零。进一步对上式取τ→0和△x→0的极限，便有以上的结果有一个重要的假设：质点运动符合马尔可夫过程22τxDxPDt(,02¶¶=¶¶其中第九节随机游动法因为质点只有向左或向右运动的两种可能性，40第三节一维扩散方程的基本解

扩散方程的定解条件（初始条件、边界条件）解的形式：解析解、数值解污染源（按空间）：点源、线源、面源、有限分布源不存在绝对的点源、无限长线源、无限大面源污染源（按时间）：瞬时源、时间连续源（事故排放、正常排放）瞬时源是一种近似，连续源又分为恒定和非恒定源污染物扩散：一维、二维、三维扩散方程第三节一维扩散方程的基本解扩散方程的定解条件（初始条41瞬时点源或称瞬时无限平面源和无界空间的定解条件下的解析解。定解条件在数学上表达为：c(x,0)=m(x)

Delta函数物理含义：当t=0时，在通过x=0处且与x轴垂直的平面上，单位面积的污染物质量为m,它位于x=0处以无限大的浓度强度浓缩在无限小的空间中。（2）边界条件：c(,t)=0,c(,t)/x=0（1）初始条件：一维分子扩散方程：1.定解条件第三节一维扩散方程的基本解瞬时点源或称瞬时无限平面源和无界空间的定解条件下的解析解。定422.解析方法：如拉普拉斯变换、分离变量法和量纲分析法量纲分析，物理方程中各项物理量的量纲之间存在的规律：量纲和谐性，物理方程中各项的量纲应当相同；任一有量纲的物理方程可以改写为无量纲项组成的方程而不会改变物理过程的规律性；物理方程中各物理量之间的规律性以及相应各量纲之间的规律性，不会因所选的基本量纲不同而发生改变。π定律（布金汉定律）：任何一个物理过程，包含有k+1个有量纲的物理量，如果选择其中m个作为基本物理量，那么该物理过程可以由[(k+1)-m]个无量纲数所组成的关系来描述。第三节一维扩散方程的基本解2.解析方法：如拉普拉斯变换、分离变量法和量纲分析法量纲分析43式中:f为待定函数，故可在上式中写上4π和4，目的是使最终的解较为简明;m是单位面积上的污染物质量，而不是全部污染物的质量M，m的量纲是[ML-2]M与m的关系是m=M/A，其中A是通过坐标原点且与x垂直的面积，并假设平均分布在该面积中。假设有函数：F(c,m,D,x,t)=0利用π定律，选c、D、t为基本变量，可得：从物理概念上分析，浓度c是m、D、x、t的函数第三节一维扩散方程的基本解式中:f为待定函数，故可在上式中写上4π和4，目的是使最终的44

设变量进一步令，有:

。边界条件由原来的c(,t)=0,c(,t)/x=0f(∞)=0，df(∞)/dη=0即θ=常数k1,因此有：以f的边界条件代入上式得k1=0，故上式变为:第三节一维扩散方程的基本解它的通解为：设变量进一步令，有:。边界条45为任何时刻源点浓度（坐标原点与源点重合的情况下）根据污染物质的质量守恒定律，有对上式分别通过求t→0、x→0和t→0（x≠0）的极限，可得到c=∞和c=0，这说明了该解也是满足初始条件的。此外，上式虽然是对x≥0的定解条件求解，但也可用于x＜0情形。,推出k0=1第三节一维扩散方程的基本解为任何时刻源点浓度（坐标原点与源点重合的情况下）根据污染物质46瞬时点源一维无界空间的浓度分布瞬时点源一维无界空间的浓度场在任一时刻t沿x轴是正态分布，随时间t的增加，浓度的峰值Cm变小，而扩散的范围变宽。第三节一维扩散方程的基本解瞬时点源一维无界空间的浓度分布瞬时点源一维无界空间的浓度场在471浓度对距离的各阶矩定义零阶矩一阶矩 二阶矩对原点的任意p阶矩对瞬时点源来说，零阶矩m0=污染源的单位面积质量m，是一常数，但一般情况下，矩都是时间的函数。各式的右端可供当具有实验资料时，计算浓度各阶矩之用。第四节浓度分布的各阶矩1浓度对距离的各阶矩定义零阶矩一阶矩 二阶矩对原点的482浓度分布的统计特征值

（1）浓度分布的距离均值表示浓度分布曲线重心的x位置，当曲线对称于c轴时x=0。（2）浓度分布的距离方差 表示浓度分布对于平均浓度值的离散程度，2值愈大，分布曲线愈平坦。第四节浓度分布的各阶矩2浓度分布的统计特征值

（1）浓度分布的距离均值表示浓度分49（3）三阶中心矩表示曲线偏斜度：=0左右对称;

>0左右不对称，长尾伸向正轴方向；＜0，长尾伸向负轴方向。

=0>0＜0图对浓度分布图形的影响第四节浓度分布的各阶矩（3）三阶中心矩表示曲线偏斜度：=0左右对称;=050（4）四阶中心矩表示曲线峰态或平坦度的一个指标，值愈大表示峰型愈大。第四节浓度分布的各阶矩（4）四阶中心矩表示曲线峰态或平坦度的一个指标，值愈大表示峰51对于正态分布曲线（标准）有：将瞬时点源的解代入m2，得距离方差：当已求得，可用上式反求D。由于D是常数，将上式对t求导，有：称为矩法公式对任何其它分布，只要在无界空间情况下满足边界条件：或仍存在上式表明方差与扩散历时t成正比。凡符合这个规律的扩散，都称为费克型扩散。第四节浓度分布的各阶矩对于正态分布曲线（标准）有：将瞬时点源的解代入m2，得距离方52第五节一维扩散方程的空间瞬时线源的解析解设只当t=0时在x=ξ处投放污染物质（瞬时点源）初始条件：c(x,0)=mδ(x-ξ)边界条件：c(±∞,t)=0

第五节一维扩散方程的空间瞬时线源的解析解设只当t=0时在53的浓度应为现将初始条件改为：c(x,0)=f(x),-∞<x<∞其中f(x)为任意给定的函数，亦即该初始分布是沿无限长直线上给定的浓度为f(ξ)，它的量纲为[ML-3]，单位面积上的质量为f(ξ)dξ。位于ξ处由该微小污染单元的扩散而导致在时刻t位于x的浓度应为:用一系列质量为f(ξ)dξ的团块来求浓度分布第五节一维扩散方程空间瞬时线源的解析解的浓度应为现将初始条件改为：位于ξ处由该微小污染单元的扩散而54下面讨论两种特殊情况：单侧阶梯浓度函数的浓度分布1.当f(x)为阶梯函数：该问题的物理模型可认为是在一条无限长的等截面渠道的静水中，左端（x<0）充满浓度为C0的污水体，在右端（x>0）为清水，现闸门突然打开，左边的污染物质向右边扩散。解的形式为：第五节一维扩散方程空间瞬时线源的解析解下面讨论两种特殊情况：单侧阶梯浓度函数的浓度分布1.当f(x55

取变换式中：erf(z)为误差函数，erfc(z)为余误差函数，即第五节一维扩散方程空间瞬时线源的解析解取变换式中：erf(z)为误差函数，erfc(z)为余误56

取变换η=x-ξ,有再取变换,有该问题的物理模型可认为是在一条无限长的等截面渠道的静水中，突然发生事故，在渠中出现一段污染源而向两端扩散的情形。解的形式为：2.当f(x)为阶梯函数：X=0X=X1X=-X1初始浓度分布图第五节一维扩散方程空间瞬时线源的解析解取变换η=x-ξ,有再取变换57双侧阶梯浓度函数的浓度分布随着增大，浓度分布曲线愈平坦化。第五节一维扩散方程空间瞬时线源的解析解双侧阶梯浓度函数的浓度分布随着增大，浓度分布曲线58误差函数的定义:

从而有：余误差函数的定义:第五节一维扩散方程空间瞬时线源的解析解误差函数的定义:从而有：余误差函数的定义:第五节一59000误差函数的计算是把被积函数展开为麦克劳林级数，然后逐项积分第五节一维扩散方程空间瞬时线源的解析解000误差函数的计算是把被积函数展开为麦克劳林级数，然后逐项60第六节一维扩散方程的时间连续源的解析解一、时间连续点源在流场的某一点上，连续不断地投入浓度为c0（常数）的污染物质，即时间连续恒定点源。如果一维扩散区域无限长，则可将投放点位置取为坐标原点假设在初瞬时t=0，沿x轴各处的浓度均为零，但在x=0处浓度突然从零增加到，以后保持不变，亦即c(0,t)=c0无限边界条件为c(±∞,t)=0本问题的解也是一个有用的基本解，可以用来构造其他某些问题的解。第六节一维扩散方程的时间连续源的解析解一、时间连续点源61第六节一维扩散方程时间连续源的解析解借助量纲分析法来求解浓度分布c(x,t)显然，c与c0,D,x和t有关，利用π定理,选c、D和t为基本变量，可得如下关系式：式中：f是某一待确定的函数。令,有边界条件为f(0)=1,f(±∞)=0,显然有c(-x,t)=c(x,t),解对称于原点，只需沿x正向求解。二阶变系数齐次常微分方程时间连续点源的浓度分布第六节一维扩散方程时间连续源的解析解借助量纲分析法来求解62第六节一维扩散方程时间连续源的解析解

更一般的情形是c0不是常数，即不是时间连续恒定点源。而是c0随时间τ而变，即c0=c0（τ）。当时间增加δτ，位于x=0处的浓度增量为，相应的扩散结果可借助上式表示为:由上式通过积分可得任一时刻t的解：用于求解浓度C0(τ)的迭加法第六节一维扩散方程时间连续源的解析解更一般的情形是c063以下讨论在x=0处，给定单位时间单位面积上投入的污染物质量(简称单位面积质量投放率)，量纲为[ML-2T-1]，即在δτ时间内在单位面积上投放质量为。此时，根据瞬时点源的解式可得在τ瞬时投放质量的浓度场：由于是时间连续点源，故可得如果为常数，上式变为第六节一维扩散方程时间连续源的解析解以下讨论在x=0处，给定单位时间单位面积上投入的污染物质量64第六节一维扩散方程时间连续源的解析解时间连续点源的浓度分布污染的范围和浓度均随时间的增加而增大通过数值积分进行计算第六节一维扩散方程时间连续源的解析解时间连续点源的浓度分65二、时间连续线源第六节一维扩散方程时间连续源的解析解设为在单位时间内单位体积上投放的污染物质质量，它的量纲为[ML-3T-1]，则利用瞬时线源解式,再加对时间积分，便得解答：二、时间连续线源第六节一维扩散方程时间连续源的解析解设66第七节有界一维扩散和叠加方法对扩散被各种边界所限制的问题，通常运用叠加原理来解决。因为扩散方程是线性的，如果边界条件也是线性的，则可以叠加任意数量的单独解，从而构成新的解。假设边界为完全反射壁，即不吸收扩散物质。一、一边反射的瞬时点源情形边界条件：壁面上的浓度梯度必须是零，由费克定律得到:初始条件：讨论最简单的情况：当t=0时，在x=0处与x轴垂直的单位面积上，投放的污染物质量为m。在正方向的边界为无穷远，但在x=-L处有一阻止物质扩散的壁存在，并设该壁不吸收扩散物质（完全反射）。第七节有界一维扩散和叠加方法对扩散被各种边界所限制的问67像源法：当t=0时，另在x=-2L处投入单位面积质量为m的污染物质—像源或映像源，由像源和真实源各自产生的浓度场叠加即为真正问题的解：第七节有界一维扩散和叠加方法一边侧壁的像源法在反射壁边界处的浓度等于不存在该壁时的两倍。以上的解可以通过检查初始条件和边界条件是否得到满足而加证实。像源法：当t=0时，另在x=-2L处投入单位面积质量为m的污68二、两边反射的瞬时点源情形在x=-L和x=L均有完全反射壁： 无穷多像源各自的浓度分布叠加便得到问题的解：两面侧壁的像源法第七节有界一维扩散和叠加方法通常只计算几项就可以满足实际需要，如n=0,±1。二、两边反射的瞬时点源情形在x=-L和x=L均有完全反射壁69第八节二维和三维扩散方程的解析解

一、瞬时点源二维扩散方程为：上式中的Dx和Dy分别为x和y方向的扩散系数，虽然在分子扩散中，Dx=Dy=D，但因为我们将来可以借用该方程的解来解决某具有非各向同性性质的紊流扩散问题，所以在这里以Dx≠Dy进行讨论。第八节二维和三维扩散方程的解析解一、瞬时点源二维扩散方70利用“乘积法则”求解：假设本问题的解可以表为c(x,y,t)=c1(x,t)c2(y,t)式中c1不依赖于y,c2不依赖于x，故有第八节二维和三维扩散方程的某些解析解上式只有当两个括号内的量分别等于零才能得到满足，从而得到两个一维扩散方程，它们的瞬时点源无界空间的解均具有扩散方程基本解的形式，将这两个解相乘，就得到解答。当Dx=Dy=D时，上式变为：在z轴单位长度上的质量利用“乘积法则”求解：假设本问题的解可以表为c(x,y,t)71可将“乘积法则”求解的方法推广到瞬时点源无界空间的三维扩散。三维扩散方程为：当Dx=Dy=Dz=D时，r2=x2+y2+z2,有第八节二维和三维扩散方程的某些解析解可将“乘积法则”求解的方法推广到瞬时点源无界空间的三维扩散。72二、瞬时无限长线源瞬时无限长线源情形第八节二维和三维扩散方程的某些解析解一个瞬时无限长线源是沿一无限长直线上的每一个单位长度瞬时投放质量为mz所构成的，mz的量纲为[ML-1]。对于一个沿z轴分布的无限长