2019高考数学转化与化归思想典型运用

2019高考数学转化与化归思想典型运用所谓化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决的一种方法。在解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，需将原问题转化为一个新问题(相对来说，对自己较熟悉的)，通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这就是转化的思想方法。转化思想方法的特点是实现问题的规范化、模式化，以便应用已知的理论，方法和技巧达到问题的解决，其思维过程的形式如下图：转化具有多向性、层次性和重复性的特点。为了实施有效的转化，既可以变更问题的条件，也可以变更问题的结论；既可以变换问题的内部结构，又可以变换问题的外部形式，这就是多向性，转化原则既可应用于沟通数学各分支学科的联系，从宏观上实现学科间的转化，又能调动各种方法与技术，从微观上解决多种具体问题，这是转化的层次性，而解决问题中可以多次地使用转化，使问题逐次达到规范化，这是转化原则应用的重复性。转化思想方法包含三个基本要素：1、把什么东西转化，即转化的对象；2、转化到何处去，即转化的目标；3、如何进行转化，即转化的方法。转化思想方法应遵循以下五条原则：1、熟悉化原则，将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解。2、简单化原则，将复杂问题转化为简单的问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据。3、和谐化原则，转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示和谐统一的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律。4、直观化原则，将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决。5、正难侧反原则，当问题正面讨论遇到困难时，应想到考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获得解决，或证明问题的可能性。转化思想的典例剖析1.数与形的转化例1.若动直线x二a与函数f(x)二sinx和g(x)二cosx的图像分别交于M，N两点，则|MN|的最大值为()A.1B.弋'2C.富3D.2分析：动直线x二a与函数f(x)二sinx和g(x)二cosx的图像分别交于M,N两点，横坐标相同，那么MN就是纵坐标之差，即|MN|=|sinx-cosx|求最值。

解：MN=曲x-cosX®「-讨最大值为血评注:审题要审准，读懂题意，将问题学会转化。2．新定义（运算）转化为常规知识解决例3.如图所示的韦恩图中，A、B是非空集合，定义集合A#B为阴影部分表示的集合.若x,ygR,A=kIy=\2x一x2<B=｛yIy=3x（x〉0）｝，则A#B为（A.{xI0<x<2}b.{xI1<x<2}分析:根据图形语言可知定义的A#B转化为原有的运算应该是表示为&第4淞）（AQB），所以需要求出AUB和A1AQB，借助数轴求出并集与交集。解：A=xIy=2x-x22x一x2>0}={x|0<x<2}(x〉0)分析:根据图形语言可知定义的A#B转化为原有的运算应该是表示为&第4淞）（AQB），所以需要求出AUB和A1AQB，借助数轴求出并集与交集。解：A=xIy=2x-x22x一x2>0}={x|0<x<2}(x〉0)}={*y〉1},则AjB={x|x>0},Ap|B={x|1<x<2}B-Zy-3012，根据新运算，得A#B=(AQB)={x|0<x<1或X〉2}故选D答案：D评注：本题是集合中的新定义运算题，综合考查了图形语言、集合的描述法表示，函数的定义域和值域，以及集合的交并补的运算。解题的关键是由图形语言把新定义运算转化为原有的普通运算解出。例4.若数列｛a｝满足」一-丄=d（ngN*,d为常数），则称数列｛a｝为调和数列。已知数列<naann-1n调和数列，且x+x+・・・+x=200，则x+x1220516分析：根据调和数列的定义，可以看出其倒数数列符合等差数列的定义，由此可以转化，利用等差数列的定义求出前项和。解:根据调和数列的定义知:数列｛a｝为调和数列，则丄-丄=d（ngN*,d为常数），也就是数列」丄>naanan-1为等差数列，现在数列V丄>为调和数列，则数列｛x｝为等差数列，那么由xnx+x+・・・+x=10(x+x)=200，x+x=201220516516答案：20x+x+・・・+x=200，得1220评注：本题为新定义题，但也不要被表象所迷惑，通过现象看本质，转化为我们熟悉的特殊数列等差数列进一步解答，此题中注意角色的变化，数列]丄I为调和数列，数列｛x｝为等差数列是解题的关键。Ixnn3．函数、方程、不等式之间的转化例4.若函数f(X)二X3-3X+a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是A.(―2,2)B.[―2,2]°(—〜—1)D.(1,+Q分析:本题为三次函数有三个不同的零点，则函数应该有两个极值点，一个极值为正，一个极值为负，所以要先求出其导数，再求其极值。解：由函数f(x)二X3-3x+a有三个不同的零点，则函数f(x)有两个极值点，且有f'()=32v-3=(3x+(1xL1，二得xi=1,x2=-1,所以函数f(x)的两个极值为f(1)=a-2和f(-1)=a+2,结合图象,应该有$+2>°.・.-2<a<2,故选A|a一2<0答案:A评注：一般地对于高次函数来说，要转化为导函数研究问题，特别是在研究函数的单调性、最值等性质时要用导数解决。4.空间问题转化为平面问题例5.如图，有一圆柱形的开口容器(下表面密封)，其轴截面是边长为2的正方形，P是BC中点，现有一只蚂蚁位于外壁A处，内壁P处有一米粒，则这只蚂蚁取得米粒所需经过的最短路程为.分析：研究最短距离，需要把立体图展为平面图，由两点间的线段最短，求线段的长。B'PC解：把圆柱侧面展开，并把里面也展开，如图所示，则这只蚂蚁取得米粒所需经过的B'PC最短路程为展开图中的线段AP，则AB二兀,BP二3,AP=52+9答案：*兀答案：*兀2+9评注：研究立体问题常常以平面为基准，把立体问题A转化为平面问题，把曲线问题转化为直线问题，这是解决问5.向量转化函数问题例6.已知M是AABC内一点，且AB-AC二2朽,ABAC二30,若AMBC、AMAB、AMAC的面积分别

114为二、X、y,贝|J+的最小值是（）2xyA．9B.16C.18D.20分析：已知条件为向量的数量积与夹角，可以得到两边之积，再由两边与夹角求得AABC的面积，另一方面,AABC的面积又为AMBC、AMAB、AMAC的面积之和斗+x+y,从而实现了由向量向代数式的转解:・.・解:・.・AB-AC=2羽,ABAC=30,.・.AB-AC-•AB-AC-sin30。=1,又因为AABC的面积为BC、AMAB、AMAC的面积