数学物理方法：第四章 留数定理及其应用

第四章留数定理及其应用§4·1留数定理一、留数定义（1）设

f（z）在以孤立奇点z0为中心的环域内解析，将f（z）展成洛朗级数：积分路径C是位于环域内按逆时针方向绕z0点一周的任一闭合曲线称为f（z）在z0点的留数记作：积分路径C是位于环域内按顺时针方向绕z0点一周的任一闭合曲线记作：（2）设

f（z）在无限远点邻域内解析，将f（z）展成洛朗级数：称为f（z）在

点的留数二、留数定理[定理]设函数f（z）在闭合回路l所围区域B上除有限个孤立奇点b1，b2，···，bn外解析；在闭区域B上除b1，b2，···，bn外连续，则：[证明]（1）若l只包围一个孤立奇点z0：在z0邻域将f（z）展成洛朗级数·z0在R内作包围z0的小圆形回路l0逐项积分：·z0（2）若l包围b1，b2，···，bnn个孤立奇点·b1·b2·b3·bn作包围各孤立奇点的小圆形回路l1、

l2、l3、···、ln根据柯西定理（3）对点，若f（z）在环域上解析对环域中一个正向（顺时针）回路l’，另作一个围绕点半径r很大的圆形环路C。根据柯西定理：[推论]函数f（z）在全平面上所有各点（有限远和无限远）的留数和为零。三、留数的计算根据定义，设f（z）在以孤立奇点z0为中心的环域将f（z）展成洛朗级数：内解析，※对本性奇点一般只能用此法2、极点留数的计算：设z0

是f（z）的m阶极点1、一般方法：对单极点（m=1）：对m阶极点：[定理]设z0

是f（z）的m阶极点，则[证明]z0

是f（z）的m阶极点在z=z0点解析，且······[推论]若，其中

和z0点解析，且都在则：[证明]z0是f（z）的单极点3·无限远点留数的计算[例1]求的极点及留数[解]是f（z）的单极点是f（z）的三阶极点[例2]求在z0=1的留数[解1]是f（z）的单极点[解2][例3]求的极点及其留数[解]是f（z）的单极点[例]求的极点及其留数[解]是f（z）的单极点是f（z）的三阶极点[例5]计算其中闭合回路C：（1）圆周（2）圆周（n为正整数）[解]以为单极点（1）在圆周内无奇点（2）在圆周内有2n个单极点[例]计算沿单位圆的回路积分[解]令解得：z1，z2是f（z）的两个单极点z2在回路外z1在回路内[例]计算沿单位圆的回路积分[解]z0=0是f（z）的唯一奇点（本性奇点）[例]计算回路积分f（z）的奇点由确定[解]是三阶极点在积分回路内只有极点§4·2应用留数定理计算实变函数的定积分基本方法：··容易求出或等于零类型一特征：被积函数是关于的有理函数积分区间方法：作变量代换一、[例1]计算[解][例2]计算[解]单极点:类型二特征：在上半平面除有限个奇点外解析。(1)在实轴上无奇点,(2)在上半平面和实轴上解析延拓若为有理分式则上述两条件即：(1)无实数根；关于x的次数至少高两次。(2)二、方法：解析延拓考虑积分回路当（可以证明）[引理]设f（z）在圆弧CR：连续，且满足；则当[证明]由长大不等式[例1]计算[解]f（z）有单极点：[解]f（z）有三阶极点：[例2]计算[解]f（z）有n阶极点：[例3]计算[例4]计算[解]f（x）为偶函数类型三特征：在上半平面除有限个奇点外解析。(3)F（z）、G（z）在实轴上无奇点,三、(2)F（x）是偶函数，G（x）是奇函数(1)积分区间(4)在上半平面和实轴上当方法：应用奇、偶函数性质作变换两积分变为“类型二”。根据[约当引理]，其条件可放宽为：当时，则有：[约当引理]（p.60)设m为正数，CR为以原点为圆心，R为半径，位于上半平面的半圆周；若当z在上半平面或实轴上趋于时考虑积分回路当（约当引理）[例1]计算[解]判断条件：(1)积分区间(2)是偶函数在上半平面只有单极点(3)F（z）在实轴上无奇点,(4)[例2]计算[解]判断条件：(1)积分区间(2)是奇函数(3)G（z）在实轴上无奇点,在上半平面只有二阶极点(4)四、实轴上有单极点的情况满足类型二满足类型三f（z）、F（z）、G（z）在实轴上有单极点·a考虑积分回路（绕过奇点）·a当（留数定理）（约当引理）[结果]若实轴上有有限个单极点[解][例]计算除在实轴上有单极点z=0 外，满足“类型三”条件第五章傅里叶变换§5·1傅里叶级数一、周期函数的傅里叶展开若函数f（x）以2l为周期则：三角函数族：是正交的也是完备的展开系数是用三角函数族的正交性求得傅里叶级数的收敛条件（狄里希利定理）若函数f（x）满足条件：（1）处处连续，或在每个周期（-l，l）中只有有限个第一类间断点；（2）在每个周期（-l，l）中只有有限个极值点，则级数收敛；且级数和（在连续点）（在间断点）[例]交流电压经半波整流后削去负压。求半波整流电压的傅里叶级数。[解]二、奇、偶函数的傅里叶展开1·若周期函数f（x）是奇函数则：2·若周期函数f（x）是偶函数则：[例]将矩形波展为傅里叶级数[解]奇函数[例]将三角波展为傅里叶级数[解]偶函数三、定义在有限区间上的函数的傅里叶展开若函数f（x）定义在有限区间（0，l）内，可将f（x）延拓为周期函数g（x），令在区间（0，l）内有：g（x）=f（x）；对g（x）作傅里叶级数展开，则1·无附加边界条件：或延拓为奇函数2·f（x）满足边界条件：3·f（x）满足边界条件：延拓为偶函数[例]设函数f(x)=x定义在区间(0,l)上试将它展为傅里叶级数[解](1)看作三角波的一段(2)看锯齿波的一段四、复数形式的傅里叶级数可以复指数函数作为基本函数族:将周期函数f(x)展开为复数形式傅里叶级数※复指数函数族具有正交性利用复指数函数族的正交性求展开系数:※展开系数[例]将矩形波展开为复数形式傅里叶级数[解]§5·2傅里叶积分与傅里叶变换周期函数f(x)可以展开为傅里叶级数非周期函数f(x)可以展开为傅里叶积分一、实数形式的傅里叶变换时的极限;对g(x)作傅里叶级数设f(x)是定义在上的非周期函数，将f(x)看成是周期函数g(x)在其周期展开:令傅里叶积分傅里叶变换上绝对可积[傅里叶积分定理]若函数f（x）在区间满足：（1）狄里希利条件；（2）f（x）在区间则f（x）可表示成傅里叶积分。；二、奇、偶函数的傅里叶积分表示1·奇函数的傅里叶积分表示设且2·偶函数的傅里叶积分表示设且[例]将矩形脉冲展为傅里叶积分[解]偶函数[例]将有限正弦波展为傅里叶积分[解]奇函数三、复数形式的傅里叶变换写成对称形式：f（x）=F原函数F（）=F像函数[例]求矩形脉冲复数形式傅里叶积分[解]四、傅里叶变换的基本性质1·导数定理F2·积分定理FF设则有：3·相似性定理4·延迟定理5·位移定理6·卷积定理FFFF卷积运算五、三维傅里叶积分和傅里叶变换若f(x)是三维空间上的非周期函数，可将其展为三维傅里叶积分其三维傅里叶变换为§5·3函数为了描述质点、点电荷、瞬时冲量的密度分布，引入广义函数——函数一、函数的定义[质点的质量密度]质量m均匀分布在线段上对x=0处质点[点电荷的电荷密度]电荷Q均匀分布在线段上对x=0处点电荷冲量K均匀分布在时间内[瞬时冲量的力]对t=0时瞬时力函数描述引入、、将自变量x平移至x0,得x0处函数位于x0处质量为m的质点的质量线密度位于x0处电量为Q的点电荷的电荷线密度作用于t0时刻冲量为K的瞬时力二、函数的性质1·函数的挑选性2·函数是阶跃函数的导数阶跃函数3·函数的奇偶性4·5·设的实根全为单根,则:[例]三、函数和某些函数的关系四、函数的傅里叶积分与傅里叶变换第六章拉普拉斯变换§6·1拉普拉斯变换一、拉普拉斯变换的定义[定义]设f(t)是定义在[0,)上的实(或复)

函数，则由积分定义的复函数称为函数f(t)的拉普拉斯变换函数（像函数）

f(t)称为原函数，该积分称为拉普拉斯变换。记作：L或：=··二、拉普拉斯变换和傅里叶变换的关系L令则FLf（t）拉普拉斯变换等于的傅里叶变换乘以可以应用拉氏变换和傅氏变换的关系求拉氏变换的逆变换：FLLg（t）=F记作：L或：=··=··=··三、拉普拉斯变换存在的条件[定理]拉普拉斯变换（1）函数f（t）在实轴的任一有限区间内逐段光滑。即：f（t）及其导数除有限个第一类间断点外，处处连续。存在的条件是：（2）存在常数M>0

和，使对任何t值，有：四、常见函数的拉普拉斯变换1·=··=··2·=··=··3·=··4·=··=··5·=··设则=··即：L同理=··五、拉普拉斯变换的基本性质1·线性定理=··若=··则=··[例]LLLLL2·导数定理LLL若=··则=··=··=··3·积分定理若=··则=··4·相似性定理若=··则=··6·延迟定理若=··则=··5·位移定理若=··则=··7·卷积定理若则=··=··=··卷积运算§6·2拉普拉斯变换的反演拉普拉斯变换：由原函数f（t），求像函数由像函数，求原函数f（t

）拉普拉斯变换的反演：一、有理分式反演法若像函数是有理分式，可将其分解成最简分项分式，然后用拉普拉斯变换基本公式得到相应原函数。[例]求的原函数[解]（1）将分母分解因式（2）将有理分式分解成几个最简分式的和通分展开，比较分子系数求待定常数：（3）找