机械控制工程学-控制系统时域分析课件

补充：拉氏反变换1、拉氏反变换的定义2、拉氏反变换的求法：（1）、直接查拉氏反变换表补充：拉氏反变换1、拉氏反变换的定义1例1：求的拉氏反变换。解：直接查拉氏反变换表例1：求2例2：求的拉氏反变换。解：例2：求3（2）工程上常用方法(通过部分分式展开法求其反变换）象函数F(s)一般可表示为如下两个s多项式比的形式:

为了将F(s)写成部分分式形式,首先把F(s)的分母因式分解:（2）工程上常用方法(通过部分分式展开法求其反变换）41、只含不同单极点的情况:即A(s)=0无重根。F(s)可展开为n个简单的部分分式之和：1、只含不同单极点的情况:5例3：求的拉氏反变换。解：例3：求6例4：求的拉氏反变换。解：例4：求72、含多重极点的情况即A(s)=0有重根。设A(s)=0有r个重根p1，则F(s)可写成：2、含多重极点的情况8机械控制工程学——控制系统时域分析课件9机械控制工程学——控制系统时域分析课件10例5：求的拉氏反变换。解：例5：求11例6：求的拉氏反变换。解：例6：求12三、拉氏变换的应用：

微分方程式复域的代数方程式时域的解复域的解拉氏变换拉氏反变换代数运算解微分方程式x(t)y(t)X(s)Y(s)y(t)Y(s)微分方程式复域的代数方程式时域的解复域的解拉氏变换拉氏反变131.对微分方程进行拉氏变换，将时域的微分方程变换为复域的代数方程；2.求解代数方程，得到微分方程在复域的解；3.求复域解的拉氏反变换，即得微分方程的解。由图可见，用拉氏变换解微分方程的步骤是：1.对微分方程进行拉氏变换，将时域的微分方程14例7：解方程解：例7：解方程15第三章时间响应分析

第三章时间响应分析

16建立系统的数学模型后，就可采用各种方法对系统的性能进行分析。控制系统的时域分析包括三个方面：稳定性，暂态性能（快速性）和稳态性能。系统时域响应——在某一个输入信号作用下，系统输出随时间变化的函数，是描述系统的微分方程的解。控制系统的时域响应的性质，取决于系统本身的结构和参数，系统的初始状态以及输入信号的形式。

建立系统的数学模型后，就可采用各种方法对系统的性能进行分析。17它根据系统微分方程，通过拉氏变换，直接求出系统的时间响应。依据响应的表达式及时间响应曲线来分析系统控制性能，并找出系统结构、参数与这些性能之间的关系。这是一种直接方法，而且比较准确，可以提供系统时间响应的全部信息。

时域分析法的特点:它根据系统微分方程，通过拉氏变换，直接求出系统的时间响应。依183.1时间响应及其组成

例:m--k系统在外力

作用下其微分方程为:其解为即通解+特解

式中：为系统的无阻尼固有频率。3.1时间响应及其组成

例:m--k系统在外力19代入求解得

完全解为代入初始条件，可求得A,B

代入求解得20系统的时间响应分类：1、按振动性质分：（1）自由响应：是由固有频率ωn构成的振荡。（2）强迫响应：是由外加频率ω引起的振荡。2、按振动来源分：（1）零输入响应：由系统的初始条件引起的自由响应。（2）零状态响应：系统初始条件为零时输入引起的响应。

系统的时间响应分类：213.2典型输入信号单位阶跃函数单位脉冲函数单位斜坡函数单位抛物线函数正弦函数

在实际的使用中，控制系统的输入信号是多种多样的。为了简化问题，在分析系统时，采用典型的输入信号。常用的典型输入信号有以下５种：3.2典型输入信号单位阶跃函数在实际的使221.单位阶跃函数

单位阶跃函数表示输入量的一个瞬间突变过程。1.单位阶跃函数单位阶跃函数表示输入量的一个瞬间突232.单位脉冲函数

单位脉冲函数可视为一个持续时间极短的信号。单位脉冲函数的积分就是单位阶跃函数。2.单位脉冲函数单位脉冲函数可视为一个243.单位斜坡函数（或单位速度函数）单位斜坡函数表示由零值开始随时间t作线性增长的信号单位斜坡函数对时间的微分就是单位阶跃函数。3.单位斜坡函数（或单位速度函数）单位斜坡函数表示由零值开始254.单位抛物线函数(单位加速度函数)

单位加速度函数是一种抛物线函数，函数值随时间以等加速度增长。4.单位抛物线函数(单位加速度函数)

单位加速度函数是一种抛265、正弦函数

为振幅,

为角频率。正弦函数

系统对不同频率的正弦输入的稳态响应称为频率响应，在第四章将专门讨论，这一章仅讨论系统对非周期信号的响应，也就是时域响应。5、正弦函数为振幅,为角频率。正弦函数273.3一阶系统的时间响应T称为一阶系统的时间常数，它与外界无关，是一阶系统的固有特性。下面分析系统在零初始条件下对典型输入信号的响应可用一阶微分方程描述的系统称为一阶系统，其微分方程和传递函数为3.3一阶系统的时间响应T称为一阶系统的时间常数，它与外界28当系统的输入信号xi(t)是理想的单位脉冲函数δ(t)时，系统的输出xo(t)称为单位脉冲响应函数w(t)。1、一阶系统的单位脉冲响应当系统的输入信号xi(t)是理想的单位脉冲函数δ(t)时，系29如果将曲线衰减到初值的2%之前过程定义为过渡过程，则可计算相应的过渡过程响应时间为4T。当t=0时，当t=4T，一阶系统的单位脉冲响应函数是一单调下降的指数曲线，曲线有两个重要的特征点：（1）A点，t=T时，系统的响应w(t)衰减到初值的36.8%；（2）零点，t=0时，曲线的切线斜率等于-1/TA如果将曲线衰减到初值的2%之前过程定义为过渡过302

、一阶系统的单位阶跃响应系统在单位阶跃输入u(t)作用下的响应，称为单位阶跃响应函数xou(t)。2、一阶系统的单位阶跃响应系统在单位阶跃输入31曲线两个重要的特点：（1）A点，其对应的时间t=T时，系统的响应xou(t)达到了稳态值63.2%；

(2)零点，曲线的切线斜率等于1/T。当t=0时，当t=4T时，

系统的过渡过程时间为4T可见一阶系统的时间常数T反映了系统的响应速度，T↓，响应越快。A曲线两个重要的特点：当t=0时，当t=4T时，系统的过渡过32

一阶系统的单位脉冲响应，单位阶跃响应可以看出，系统对某信号导数的响应，等于对该输入信号响应的导数。反之，系统对某信号积分的响应，等于系统对该信号响应的积分。这是线性定常系统不同于线性时变系统和非线性系统的重要特性。结论：了解一种典型信号的响应，就可知道其它信号作用下的响应。一阶系统的单位脉冲响应，单位阶跃响应可以看出，33例1、已知系统的初始条件为0，微分方程为试求系统的单位脉冲响应函数和单位阶跃响应函数。解：例1、已知系统的初始条件为0，微分方程为解：34例2、若某系统的单位阶跃响应函数为试求系统的传递函数和单位脉冲响应函数。解法1：解法2：例2、若某系统的单位阶跃响应函数为解法1：解法2：353.4二阶系统的时间响应式中，称为无阻尼固有频率，称为阻尼比。它们是二阶系统的特征参数，表明系统本身的固有特性。可用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。二阶系统的微分方程和传递函数为3.4二阶系统的时间响应式中，称为无阻尼固有频36

二阶系统的特征方程为

此方程的两个特征根为

s1，s2完全取决于，两个参数。s1，s2完全取决于，两个参数。37（1）当0＜ξ＜1时，两特征根为共轭复数，即

此时，系统称为欠阻尼系统，是衰减振荡系统。（1）当0＜ξ＜1时，两特征根为共轭复数，即38（2）当ξ=0时，两特征根为共轭纯虚根，即

此时，系统称为无阻尼系统，是等幅振荡系统。（2）当ξ=0时，两特征根为共轭纯虚根，即39（3）当ξ=1时，特征方程有两个相等的负实根，即

此时，系统称为临界阻尼系统，是无振荡系统。（3）当ξ=1时，特征方程有两个相等的负实根，即40（4）当ξ＞1时，特征方程有两个不等的负实根，即

此时，系统称为过阻尼系统，是无振荡系统。（4）当ξ＞1时，特征方程有两个不等的负实根，即411．二阶系统的单位脉冲响应1．二阶系统的单位脉冲响应42（1）当0<ξ<1，系统为欠阻尼时，（1）当0<ξ<1，系统为欠阻尼时，43（2）当ξ=0，系统为无阻尼时，（t≥0）（2）当ξ=0，系统为无阻尼时，（t≥0）44（3）当ξ=1，系统为临界阻尼时，

（t≥0）

（3）当ξ=1，系统为临界阻尼时，45

（4）当ξ>1,系统为过阻尼系统时,

机械控制工程学——控制系统时域分析课件46从图可见：（１）越小，振荡越厉害，当增大到１以后，曲线变为单调上升。（２）之间时，欠阻尼系统比临界阻尼系统更快达到稳态值。（３）在无振荡时，临界阻尼系统具有最快的响应。（４）过阻尼系统过渡过程时间长。从图可见：47

2、系统的单位阶跃响应

2、系统的单位阶跃响应48(1)当0＜ξ＜1，系统为欠阻尼系统时,

或或49

(2)当ξ=0,系统为无阻尼系统时

(3)当ξ=1,系统为临界阻尼系统时(2)当ξ=0,系统为无阻尼系统时50(4)当ξ>1,系统为过阻尼系统时

(4)当ξ>1,系统为过阻尼系统时51从图可见：（１）越小，振荡越厉害，当增大到１以后，曲线变为单调上升。（２）之间时，欠阻尼系统比临界阻尼系统更快达到稳态值。（３）在无振荡时，临界阻尼系统具有最快的响应。（４）过阻尼系统过渡过程时间长。从图可见：52

二阶系统有两个参数和，阻尼比是二阶系统的重要特征参数，不同阻尼比的二阶系统的阶跃响应有很大区别。

取横坐标为，不同阻尼比值下的二阶系统单位阶跃响应曲线族如图所示：二阶系统有两个参数和，阻尼比是二阶系统的重要特征53例3、已知系统的传递函数为试求系统的单位阶跃响应函数。解法1：解法2：例3、已知系统的传递函数为解法1：解法2：543.5二阶振荡系统阶跃响应的性能指标

欠阻尼二阶系统性能指标：上升时间

峰值时间

最大超调量

调整时间

振荡次数特征参量和对系统的响应具有决定性的影响。对欠阻尼（0＜ξ＜1

）的情况，讨论瞬态响应指标与特征参量的关系。3.5二阶振荡系统阶跃响应的性能指标欠阻尼二阶系统性能551、上升时间tr：响应曲线首次由零上升到其稳态值所需的时间。1、上升时间tr：响应曲线首次由零上升到其稳态值所需的时间。56

2、峰值时间tp

：响应曲线第一次出现峰值的时间。2、峰值时间tp：响应曲线第一次出现峰值的时间。573、最大超调量Mp3、最大超调量Mp58Δ=2%时,ts≈4/(ξωn)Δ=5%时,ts≈3/(ξωn)

阶跃响应曲线开始进入偏离稳态值±Δ的误差范围(一般Δ为5%或2%),并从此不超越这个范围的时间称为系统的调整时间,也叫过渡过程时间。4.调整时间tsΔ=2%时,ts≈4/(ξωn)595、振荡次数N在过渡过程时间ts内，xo(t)穿越其稳态值xo(∞)的次数的一半定义为振荡次数。系统的震荡周期是2π/ωd，所以其震荡次数为:

5、振荡次数N在过渡过程时间ts内，xo(t)穿越其稳态值60四、二阶系统计算举例例1求单位阶跃信号输入时的tp，Mp，ts。四、二阶系统计算举例例1求单位阶跃信号输入时的tp，Mp61R(s)C(s)-例2设系统结构框图如图所示，若要求系统具有性能指标MP=20%,tP=1(s),试确定系统参数K和τ，并计算单位阶跃响应的特征量

tr,ts。

解：（1）求系统闭环传递函数R(s)C(s)-例2设系统结构框图如图所解：（1）求62（2）确定系统参数表达式（3）求系统参数值（4）根据ζ，ωn计算其它指标（2）确定系统参数表达式（3）求系统参数值（4）根据ζ，ωn63例3

如图为在质量快m上施加8.9N阶跃力后的时间响应，求系统的m，k和c值。解：由输出曲线可知

由结构图可知

例3如图为在质量快m上施加8.9N阶跃力后的时间响应，求64机械控制工程学——控制系统时域分析课件65（1）校核是否满足Mp≤5%；（2）增加一微分反馈，求微分反馈的时间常数。校正后校正前例4如图系统输入单位阶跃函数时,Mp≤5%。（1）校核是否满足Mp≤5%；校正后校正前例4如图系统输66

根据题意当ζ=1时系统阶跃响应无超调，可得解：闭环传递函数为

根据题意当ζ=1时系统阶跃响应无超调，可得解：闭环传递函数673.5系统的误差分析与计算一

、系统的误差e(t)与偏差ε(t)1.误差e(t)定义为

e(t)=xor(t)–xo(t)

式中xor(t)是系统所希望的输出;xo(t)是实际输出。

上式拉氏变换为E1(s)=Xor(s)–Xo(s)2.偏差ε(t)定义为

ε(t)=xi(t)–b(t)

上式拉氏变换为E(s)=Xi(s)–B(s)

=Xi(s)–H(s)Xo(s)3.5系统的误差分析与计算一、系统的误差e(t)与偏差ε683.偏差E(s)与误差E1(s)之间的关系:当Xor(s)=Xo(s)时,E(s)=0

即E(s)=Xi(s)–H(s)Xo(s)=Xi(s)–H(s)Xor(s)=0

所以Xi(s)=H(s)Xor(s)

或Xor(s)=Xi(s)/H(s)故E(s)=Xi(s)–H(s)Xo(s)=H(s)Xor(s)–H(s)Xo(s)=H(s)[Xor(s)–Xo(s)]=H(s)E1(s)

或E1(s)=E(s)/H(s)

当H(s)=1时,E1(s)=E(s)3.偏差E(s)与误差E1(s)之间的关系:69二、误差e(t)的一般计算在一般情况下，设输入Xi(s)与干扰N(s)同时作用于系统。二、误差e(t)的一般计算在一般情况下，设输入Xi(s)与70机械控制工程学——控制系统时域分析课件71稳态误差:稳态偏差:

四、系统的稳态误差与稳态偏差稳态误差:四、系统的稳态误差与稳态偏差72四、与输入有关的稳态偏差偏差传递函数四、与输入有关的稳态偏差偏差传递函数73为积分环节的个数，表征了系统的结构特征。

=0,1,2时，分别称为0型，1型和2型系统。

愈高，稳态精度愈高，但稳定性愈差，因此一般不超过3型。为积分环节的个数，表征了系统的结构特征。74（1）当输入为单位阶跃信号时，系统的稳态偏差（1）当输入为单位阶跃信号时，系统的稳态偏差75结论：

（1）当系统的开环传函中无积分环节时，系统的单位阶跃响应存在稳态误差，欲减小稳态误差，应增大开环增益K。但K的增大受系统稳定性的制约。（2）若要求系统对单位阶跃输入的稳态误差为零，应使系统开环传函中有一个以上的积分环节。也即采用Ⅰ型或Ⅱ型系统。结论：76（2）当输入为单位斜坡信号时，系统的稳态偏差（2）当输入为单位斜坡信号时，系统的稳态偏差77结论：（１）０型系统不能跟踪斜坡输入信号．（２）I型系统能跟踪斜坡输入信号，但存在稳态误差．（３）要使斜坡响应的稳态误差为零，需选用II型系统．结论：78（3）当输入为加速度信号时，系统的稳态偏差为

（3）当输入为加速度信号时，系统的稳态偏差为79结论：（１）０型、Ⅰ型系统都不能跟踪抛物线信号.（２）Ⅱ型系统能跟踪抛物线信号，但有稳态误差．（３）为使系统的稳态误差为零，需使系统的积分环节增多。系统的稳定性越来越差。实际上，Ⅱ型以上的系统是很少见的。结论：80例6、

设单位反馈系统的开环传递函数求：1、开环增益:2、系统型别:3、单位阶跃输入时，系统输出的稳态误差:4、单位斜坡输入时，系统输出的稳态误差:Ⅰ型系统00.254例6、设单位反馈系统的开环传递函数81表3.6.1在不同输入时的不同类型系统中的稳态偏差

系统开环传递函数型次

系统的输入单位阶跃输入单位斜坡输入加速度输入0型系统∞∞Ⅰ型系统0∞Ⅱ型系统00表3.6.1在不同输入时的不同类型系统中的稳态偏差系统开82系统开环传递函数型次

系统的输入单位阶跃输入单位斜坡输入加速度输入0型系统∞∞Ⅰ型系统0∞Ⅱ型系统00(1)稳态偏差与输入信号的形式有关；(2)当增加系统的型次时，系统的准确度将提高,但稳定性变差；(3)增加K也可以提高系统的准确度，但也会使稳定性变差；(4)对于单位反馈系统，稳态偏差等于稳态误差。对于非单位反馈系统，由式E1(s)=E(s)/H(s)将稳态偏差换算为稳态误差。系统开环传递函数型次83机械控制工程学——控制系统时域分析课件84例７设单位反馈系统的开环传函为其中均为大于零的常数，求系统的稳态误差。例７设单位反馈系统的开环传函为其中均为大于零的常85解：此为Ⅰ型系统或：解：此为Ⅰ型系统或：86补充：拉氏反变换1、拉氏反变换的定义2、拉氏反变换的求法：（1）、直接查拉氏反变换表补充：拉氏反变换1、拉氏反变换的定义87例1：求的拉氏反变换。解：直接查拉氏反变换表例1：求88例2：求的拉氏反变换。解：例2：求89（2）工程上常用方法(通过部分分式展开法求其反变换）象函数F(s)一般可表示为如下两个s多项式比的形式:

为了将F(s)写成部分分式形式,首先把F(s)的分母因式分解:（2）工程上常用方法(通过部分分式展开法求其反变换）901、只含不同单极点的情况:即A(s)=0无重根。F(s)可展开为n个简单的部分分式之和：1、只含不同单极点的情况:91例3：求的拉氏反变换。解：例3：求92例4：求的拉氏反变换。解：例4：求932、含多重极点的情况即A(s)=0有重根。设A(s)=0有r个重根p1，则F(s)可写成：2、含多重极点的情况94机械控制工程学——控制系统时域分析课件95机械控制工程学——控制系统时域分析课件96例5：求的拉氏反变换。解：例5：求97例6：求的拉氏反变换。解：例6：求98三、拉氏变换的应用：

微分方程式复域的代数方程式时域的解复域的解拉氏变换拉氏反变换代数运算解微分方程式x(t)y(t)X(s)Y(s)y(t)Y(s)微分方程式复域的代数方程式时域的解复域的解拉氏变换拉氏反变991.对微分方程进行拉氏变换，将时域的微分方程变换为复域的代数方程；2.求解代数方程，得到微分方程在复域的解；3.求复域解的拉氏反变换，即得微分方程的解。由图可见，用拉氏变换解微分方程的步骤是：1.对微分方程进行拉氏变换，将时域的微分方程100例7：解方程解：例7：解方程101第三章时间响应分析

第三章时间响应分析

102建立系统的数学模型后，就可采用各种方法对系统的性能进行分析。控制系统的时域分析包括三个方面：稳定性，暂态性能（快速性）和稳态性能。系统时域响应——在某一个输入信号作用下，系统输出随时间变化的函数，是描述系统的微分方程的解。控制系统的时域响应的性质，取决于系统本身的结构和参数，系统的初始状态以及输入信号的形式。

建立系统的数学模型后，就可采用各种方法对系统的性能进行分析。103它根据系统微分方程，通过拉氏变换，直接求出系统的时间响应。依据响应的表达式及时间响应曲线来分析系统控制性能，并找出系统结构、参数与这些性能之间的关系。这是一种直接方法，而且比较准确，可以提供系统时间响应的全部信息。

时域分析法的特点:它根据系统微分方程，通过拉氏变换，直接求出系统的时间响应。依1043.1时间响应及其组成

例:m--k系统在外力

作用下其微分方程为:其解为即通解+特解

式中：为系统的无阻尼固有频率。3.1时间响应及其组成

例:m--k系统在外力105代入求解得

完全解为代入初始条件，可求得A,B

代入求解得106系统的时间响应分类：1、按振动性质分：（1）自由响应：是由固有频率ωn构成的振荡。（2）强迫响应：是由外加频率ω引起的振荡。2、按振动来源分：（1）零输入响应：由系统的初始条件引起的自由响应。（2）零状态响应：系统初始条件为零时输入引起的响应。

系统的时间响应分类：1073.2典型输入信号单位阶跃函数单位脉冲函数单位斜坡函数单位抛物线函数正弦函数

在实际的使用中，控制系统的输入信号是多种多样的。为了简化问题，在分析系统时，采用典型的输入信号。常用的典型输入信号有以下５种：3.2典型输入信号单位阶跃函数在实际的使1081.单位阶跃函数

单位阶跃函数表示输入量的一个瞬间突变过程。1.单位阶跃函数单位阶跃函数表示输入量的一个瞬间突1092.单位脉冲函数

单位脉冲函数可视为一个持续时间极短的信号。单位脉冲函数的积分就是单位阶跃函数。2.单位脉冲函数单位脉冲函数可视为一个1103.单位斜坡函数（或单位速度函数）单位斜坡函数表示由零值开始随时间t作线性增长的信号单位斜坡函数对时间的微分就是单位阶跃函数。3.单位斜坡函数（或单位速度函数）单位斜坡函数表示由零值开始1114.单位抛物线函数(单位加速度函数)

单位加速度函数是一种抛物线函数，函数值随时间以等加速度增长。4.单位抛物线函数(单位加速度函数)

单位加速度函数是一种抛1125、正弦函数

为振幅,

为角频率。正弦函数

系统对不同频率的正弦输入的稳态响应称为频率响应，在第四章将专门讨论，这一章仅讨论系统对非周期信号的响应，也就是时域响应。5、正弦函数为振幅,为角频率。正弦函数1133.3一阶系统的时间响应T称为一阶系统的时间常数，它与外界无关，是一阶系统的固有特性。下面分析系统在零初始条件下对典型输入信号的响应可用一阶微分方程描述的系统称为一阶系统，其微分方程和传递函数为3.3一阶系统的时间响应T称为一阶系统的时间常数，它与外界114当系统的输入信号xi(t)是理想的单位脉冲函数δ(t)时，系统的输出xo(t)称为单位脉冲响应函数w(t)。1、一阶系统的单位脉冲响应当系统的输入信号xi(t)是理想的单位脉冲函数δ(t)时，系115如果将曲线衰减到初值的2%之前过程定义为过渡过程，则可计算相应的过渡过程响应时间为4T。当t=0时，当t=4T，一阶系统的单位脉冲响应函数是一单调下降的指数曲线，曲线有两个重要的特征点：（1）A点，t=T时，系统的响应w(t)衰减到初值的36.8%；（2）零点，t=0时，曲线的切线斜率等于-1/TA如果将曲线衰减到初值的2%之前过程定义为过渡过1162

、一阶系统的单位阶跃响应系统在单位阶跃输入u(t)作用下的响应，称为单位阶跃响应函数xou(t)。2、一阶系统的单位阶跃响应系统在单位阶跃输入117曲线两个重要的特点：（1）A点，其对应的时间t=T时，系统的响应xou(t)达到了稳态值63.2%；

(2)零点，曲线的切线斜率等于1/T。当t=0时，当t=4T时，

系统的过渡过程时间为4T可见一阶系统的时间常数T反映了系统的响应速度，T↓，响应越快。A曲线两个重要的特点：当t=0时，当t=4T时，系统的过渡过118

一阶系统的单位脉冲响应，单位阶跃响应可以看出，系统对某信号导数的响应，等于对该输入信号响应的导数。反之，系统对某信号积分的响应，等于系统对该信号响应的积分。这是线性定常系统不同于线性时变系统和非线性系统的重要特性。结论：了解一种典型信号的响应，就可知道其它信号作用下的响应。一阶系统的单位脉冲响应，单位阶跃响应可以看出，119例1、已知系统的初始条件为0，微分方程为试求系统的单位脉冲响应函数和单位阶跃响应函数。解：例1、已知系统的初始条件为0，微分方程为解：120例2、若某系统的单位阶跃响应函数为试求系统的传递函数和单位脉冲响应函数。解法1：解法2：例2、若某系统的单位阶跃响应函数为解法1：解法2：1213.4二阶系统的时间响应式中，称为无阻尼固有频率，称为阻尼比。它们是二阶系统的特征参数，表明系统本身的固有特性。可用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。二阶系统的微分方程和传递函数为3.4二阶系统的时间响应式中，称为无阻尼固有频122

二阶系统的特征方程为

此方程的两个特征根为

s1，s2完全取决于，两个参数。s1，s2完全取决于，两个参数。123（1）当0＜ξ＜1时，两特征根为共轭复数，即

此时，系统称为欠阻尼系统，是衰减振荡系统。（1）当0＜ξ＜1时，两特征根为共轭复数，即124（2）当ξ=0时，两特征根为共轭纯虚根，即

此时，系统称为无阻尼系统，是等幅振荡系统。（2）当ξ=0时，两特征根为共轭纯虚根，即125（3）当ξ=1时，特征方程有两个相等的负实根，即

此时，系统称为临界阻尼系统，是无振荡系统。（3）当ξ=1时，特征方程有两个相等的负实根，即126（4）当ξ＞1时，特征方程有两个不等的负实根，即

此时，系统称为过阻尼系统，是无振荡系统。（4）当ξ＞1时，特征方程有两个不等的负实根，即1271．二阶系统的单位脉冲响应1．二阶系统的单位脉冲响应128（1）当0<ξ<1，系统为欠阻尼时，（1）当0<ξ<1，系统为欠阻尼时，129（2）当ξ=0，系统为无阻尼时，（t≥0）（2）当ξ=0，系统为无阻尼时，（t≥0）130（3）当ξ=1，系统为临界阻尼时，

（t≥0）

（3）当ξ=1，系统为临界阻尼时，131

（4）当ξ>1,系统为过阻尼系统时,

机械控制工程学——控制系统时域分析课件132从图可见：（１）越小，振荡越厉害，当增大到１以后，曲线变为单调上升。（２）之间时，欠阻尼系统比临界阻尼系统更快达到稳态值。（３）在无振荡时，临界阻尼系统具有最快的响应。（４）过阻尼系统过渡过程时间长。从图可见：133

2、系统的单位阶跃响应

2、系统的单位阶跃响应134(1)当0＜ξ＜1，系统为欠阻尼系统时,

或或135

(2)当ξ=0,系统为无阻尼系统时

(3)当ξ=1,系统为临界阻尼系统时(2)当ξ=0,系统为无阻尼系统时136(4)当ξ>1,系统为过阻尼系统时

(4)当ξ>1,系统为过阻尼系统时137从图可见：（１）越小，振荡越厉害，当增大到１以后，曲线变为单调上升。（２）之间时，欠阻尼系统比临界阻尼系统更快达到稳态值。（３）在无振荡时，临界阻尼系统具有最快的响应。（４）过阻尼系统过渡过程时间长。从图可见：138

二阶系统有两个参数和，阻尼比是二阶系统的重要特征参数，不同阻尼比的二阶系统的阶跃响应有很大区别。

取横坐标为，不同阻尼比值下的二阶系统单位阶跃响应曲线族如图所示：二阶系统有两个参数和，阻尼比是二阶系统的重要特征139例3、已知系统的传递函数为试求系统的单位阶跃响应函数。解法1：解法2：例3、已知系统的传递函数为解法1：解法2：1403.5二阶振荡系统阶跃响应的性能指标

欠阻尼二阶系统性能指标：上升时间

峰值时间

最大超调量

调整时间

振荡次数特征参量和对系统的响应具有决定性的影响。对欠阻尼（0＜ξ＜1

）的情况，讨论瞬态响应指标与特征参量的关系。3.5二阶振荡系统阶跃响应的性能指标欠阻尼二阶系统性能1411、上升时间tr：响应曲线首次由零上升到其稳态值所需的时间。1、上升时间tr：响应曲线首次由零上升到其稳态值所需的时间。142

2、峰值时间tp

：响应曲线第一次出现峰值的时间。2、峰值时间tp：响应曲线第一次出现峰值的时间。1433、最大超调量Mp3、最大超调量Mp144Δ=2%时,ts≈4/(ξωn)Δ=5%时,ts≈3/(ξωn)

阶跃响应曲线开始进入偏离稳态值±Δ的误差范围(一般Δ为5%或2%),并从此不超越这个范围的时间称为系统的调整时间,也叫过渡过程时间。4.调整时间tsΔ=2%时,ts≈4/(ξωn)1455、振荡次数N在过渡过程时间ts内，xo(t)穿越其稳态值xo(∞)的次数的一半定义为振荡次数。系统的震荡周期是2π/ωd，所以其震荡次数为:

5、振荡次数N在过渡过程时间ts内，xo(t)穿越其稳态值146四、二阶系统计算举例例1求单位阶跃信号输入时的tp，Mp，ts。四、二阶系统计算举例例1求单位阶跃信号输入时的tp，Mp147R(s)C(s)-例2设系统结构框图如图所示，若要求系统具有性能指标MP=20%,tP=1(s),试确定系统参数K和τ，并计算单位阶跃响应的特征量

tr,ts。

解：（1）求系统闭环传递函数R(s)C(s)-例2设系统结构框图如图所解：（1）求148（2）确定系统参数表达式（3）求系统参数值（4）根据ζ，ωn计算其它指标（2）确定系统参数表达式（3）求系统参数值（4）根据ζ，ωn149例3

如图为在质量快m上施加8.9N阶跃力后的时间响应，求系统的m，k和c值。解：由输出曲线可知

由结构图可知

例3如图为在质量快m上施加8.9N阶跃力后的时间响应，求150机械控制工程学——控制系统时域分析课件151（1）校核是否满足Mp≤5%；（2）增加一微分反馈，求微分反馈的时间常数。校正后校正前例4如图系统输入单位阶跃函数时,Mp≤5%。（1）校核是否满足Mp≤5%；校正后校正前例4如图系统输152

根据题意当ζ=1时系统阶跃响应无超调，可得解：闭环传递函数为

根据题意当ζ=1时系统阶跃响应无超调，可得解：闭环传递函数1533.5系统的误差分析与计算一

、系统的误差e(t)与偏差ε(t)1.误差e(t)定义为

e(t)=xor(t)–xo(t)

式中xor(t)是系统所希望的输出;xo(t)是实际输出。

上式拉氏变换为E1(s)=Xor(s)–Xo(s)2.偏差ε(t)定义为

ε(t)=xi(t)–b(t)

上式拉氏变换为E(s)=Xi(s)–B(s)

=Xi(s)–H(s)Xo(s)3.5系统的误差分析与计算一、系统的误差e(t)与偏差ε1543.偏差E(s)与误差E1(s)之间的关系:当Xor(s)=Xo(s)时,E(s)=0

即E(s)=Xi(s)–H(s)Xo(s)=Xi(s)–H(s)Xor(s)=0

所以Xi(s)=H(s)Xor(s)

或Xor(s)=