百校联盟2019届高中三年级TOP20十二月联考(全国Ⅰ卷)数学(理)试题

.第=page1414页,共=sectionpages1515页.百校联盟2019届高三TOP20十二月联考〔全国Ⅰ卷数学〔理试题一、选择题〔本大题共12小题已知集合A={x|y=2-x},B={y|y=1+ex}A.[2,+∞)B.(-∞,2]C.[1,2]D.(1,2][答案]D[解析]解：∵集合A={x|y=2-x}={x|x≤2},

B={y|y=1+ex}={y|y>1},

∴A∩B={x|1<x≤2}=(1,2]．

故选：D．

先分别求出集合A已知复数z满足z⋅(1-i)=m+2i,若z是纯虚数,则实数m的值为()A.1B.-1C.2D.-2[答案]C[解析]解：z⋅(1-i)=m+2i,

∴z⋅(1-i)(1+i)=(m+2i)(1+i)

∴2z=m-2+(m+2)i,

∴z=m-22+m+22i自宋朝以来,折扇一直深受文人雅士的喜爱,在扇面(折扇由扇骨和扇面组成)上题字作画是生活高雅的象征,现有一位折扇爱好者准备在如图所示的扇面上题字,由于突然停电,不慎将一滴墨汁落入折扇所在区域,则墨汁恰好落入扇面部分的概率为()A.47B.34C.1649[答案]D[解析]解：S大扇形=12aR2,S小扇形=12ar2,

记等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3=74,A.2B.12C.2或12D.2[答案]C[解析]解：由题意,S3=a1+a2+a3=74；

a2=12已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在(-∞,0)上单调递减,则f(x)的解析式可能为()A.f(x)=ex-e-xB.[答案]D[解析]解：根据题意,依次分析选项：

对于A,f(x)=ex-e-x是奇函数,不符合题意；

对于B,f(x)=lg1|x|,其定义域不是R,不符合题意；

对于C,f(x)=|sinx|,在(-∞,0)上不具有单调性,不符合题意；

对于若a是常数,(a-2x)7(1+y)4的展开式中各项系数和为-16,则xA.560B.-1680C.336D.3360[答案]D[解析]解：依题意令x=y=1得(a-2)7(1+1)4=-16,解得a=1,

∴(1-2x)7(1+y)4如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线部分是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为()A.76+43+46B.76+43[答案]C[解析]解：将三视图还原,可知几何体由一个棱长为4的正方体截去两个三棱锥得到,

如图所示,该几何体的表面积V=16×6-12×2×2×3-12×2×4×2-1运行如图所示的程序框图,则输出k的值为()A.3B.4C.5D.6[答案]B[解析]解：当a=1,b=23时,满足|ba-89|≥19,故a=23,k=2,b=89当a=23,b=89时,满足|ba-89|≥19,故a=89,k=3,已知函数f(x)=2cos(π2-x)cos(π3A.(0,π12]B.(-π[答案]B[解析]解：依题意,f(x)=2sinx(12cosx-32sinx)+32=sinxcosx-3sin2x+32

=12sin2x-已知抛物线y=14x2的焦点F,直线l过点F且与抛物线相交于M,N两点,M,N两点在y轴上的投影分别为C,D,若|CD|≤83,则直线lA.3B.2C.3D.3[答案]A[解析]解：因为抛物线x2=4y的焦点F(0,1),

所以设直线方程为y=kx+1,

由y=kx+1x2=4y,解得x2-4kx-4=0,

设M(x1,y1),N(x2,y已知奇函数f(x)和其导函数f'(x)的定义域均为R,当x∈(0,+∞)时,3f(x)+xf'(x)<0,则不等式(x-1)3f(x-1)-8x3A.(-∞,-1)B.(-1,13)C.[答案]B[解析]解：令g(x)=x3f(x),

x∈(0,+∞)时,g'(x)=x2[3f(x)+xf'(x)]<0,

故函数g(x)是(0,+∞)上的减函数,

∵f(x)是奇函数,

∴g(x)是偶函数,

由不等式(x-1)3f(x-1)-8x3f(2x)<0,

得g(x-1)<g(2x),

故已知各项均不为0的数列{an}满足a1=-199,an+1(2an+1)=aA.24B.25C.32D.33[答案]B[解析]解：由an+1(2an+1)=an,可得：an+1=an2an+1,两边取倒数可得：1an+1=2+1an,即1an+1-1an=2,1a1=-99．

∴数列{1an}为等差数列,公差为2,首项为-99二、填空题〔本大题共4小题,共20.0分已知a是单位向量,若a⋅(a-b)=0,(2a+b)⋅(2[答案]π[解析]解：∵a是单位向量；

∴a⋅(a-b)=a2-a⋅b=1-a⋅b=0；

∴a⋅b=1已知实数x,y满足不等式组x-y≤0x+y-4≤02x-y+4≥0,则z=2x+y-6x-3的取值范围是[答案][0,[解析]解：由题意,作出可行域.可行域的顶点A(2,2),B(-4,-4),C(0,4)的三角形区域,

z=2x+y-6x-3=2+yx-3,yx-3表示可行域内的点与P(3,0)连线的斜率,过kPA≤yx-3≤k双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1,F2,点A为双曲线C右支上一点,直线AF1与y[答案]3[解析]解：设AB=m.AF2=n,则BF1=3m．

∵△F1OB∽△F1AF2,∴c3m=4m2c⇒c2=6m2,m=6如图,在三校锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=4,cos∠ACB=13,若三棱锥P-ABC外接球的表面积为52π,则三棱锥P-ABC体积的最大值为______．[答案]32[解析]解：设三棱锥P-ABC的外接球的球心为O,半径为R,△ABC的外接圆半径为r,

则4πR2=52π,得R=13,又R2=r2+(PA2)2,∴13=r2+4,即r=3．

又ABsin∠ACB=2r,∴AB=6sin∠ACB=42．

∴32=AC2+BC2-2AC⋅BC⋅cos∠ACB=AC2+BC2-23三、解答题〔本大题共7小题,共82.0分在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,A为锐角,且△ABC的面积为a24．

(Ⅰ)若asinA=bsinC,求A；

(Ⅱ[答案]解：(Ⅰ)∵S△ABC=a24,∴12bcsinA=a24∴a2=2bcsinA,

由正弦定理得asinA=2bsinCsinA,

∵asinA=b[解析](Ⅰ)由三角形面积公式与正弦定理可得sinA=12,又A是锐角,可得A═π6；

(Ⅱ)由余弦定理与a2=2bc为调查某校学生每周体育锻炼落实的情况,采用分层抽样的方法,收集100位学生每周平均锻炼时间的样本数据(单位：h).根据这100个样本数据,副制作出学生每周平均锻炼时间的频率分布直方图(如图所示)．

(Ⅰ)估计这100名学生每周平均锻炼时间的平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；

(Ⅱ)由频率分布直方图知,该校学生每周平均锻炼时间Z近似服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数x,σ2近似为样本方差s2．

(Ⅰ)求P(0.8<Z<8.3)；

(Ⅱ)若该校共有5000名学生,记每周平均锻炼时间在区间(0.8,8.3)的人数为ɛ,试求E(ɛ)．

附：6.16≈2.5[答案]解：(Ⅰ)这100名学生每周平均锻炼时间的平均数x═1×0.05+3×0.2+5×0.30+7×0.25+9×0.15+11×0.05=5.8；

s2=(-4.8)2×0.05+(-2.8)2×0.24+0.82×0.3+1.22×0.25+3.22×0.15+5.22×0.05=6.16；

(Ⅱ)(i)由(Ⅰ)知X[解析](Ⅰ)直接由频率分布直方图结合公式求得样本平均数和样本方差s2；

(Ⅱ)(i)利用正态分布的对称性即可求得P(0.8<X≤8.3)；

(ii)由(i)知学生假期日平均数学学习时间位于(0.8,8.3)的概率为0.8186,且ξ如图所示,直三棱柱ABC-A1B1C1的底面为等腰直角三角形,其中AC=BC=12AA1=1,点D是线段AA1的中点．

(Ⅰ)若点Q满足DQ[答案]解：(Ⅰ)∵在侧面ACC1A1中,AC=12AA1,AA1⊥AC,点D是线段AA1的中点．∴∠A1DC1=45∘,∠ADC=45∘,则C1D⊥CD．

∵BC⊥平面C1CD,

∴BC⊥C1D.

由BC∩CD=C,得C1D⊥平面BCD,

∴C1D⊥CQ．

又∵CQ⊥BC1,C1D∩BC1=C1,

∴CQ⊥平面BDC1,

∴CQ⊥BD．

在Rt△BCD中,∠BCD=90∘,BC=1,CD=2,BD=3,

则CQ=63．

∴DQ=233,QB=33．

又∵DQ=λQB,

∴λ=2；

(Ⅱ)以C为坐标原点,CA,CB,CC1分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,

则B(0,1,0),D(1,0,1)[解析](Ⅰ)由已知可得C1D⊥CD,再利用线面垂直的判定可得CQ⊥BD,在Rt△BCD中,求出CQ的值,再结合已知条件即可求λ的值；

(Ⅱ)以C为坐标原点,CA,CB,CC1分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,分别求出平面BC已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点M(1,22)是椭圆C上一点且△MF1F2的面积为22．

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)记椭圆C的左顶点为A,过点A[答案]解：(Ⅰ)设椭圆的焦距为2c,则△MF1F2的面积为12×2c×22=22c=22,解得c=1,

所以,椭圆的焦点分别为F1(-1,0)、F2(1,0),

由椭圆的定义得2a=|MF1|+|MF2|=(1+1)2+(32)2+(1-1)2+(32)2=4,所以,a=2,则b=a2-c2=[解析](Ⅰ)先利用△MF1F2的面积为22,求出c=1,从而得出椭圆的焦点坐标,然后利用椭圆定义求出2a,再利用a、b、c之间的关系求出b的值,从而得出椭圆的标准方程；

(Ⅱ)设直线PQ的方程为x=my+n,设点P(x1,y1)已知函数f(x)=alnxx+bx+2,曲线y=f(x)在点P(1,f(1))处的切线方程是5x-2y-2=0．

(Ⅰ)求实数a,b的值；

(Ⅱ)若函数g(x)=xf(x)-2有两个不同的零点x1,[答案]解：(Ⅰ)根据题意,曲线y=f(x)在点P(1,f(1))处的切线方程是5x-2y-2=0,

则切线的斜率k=52,切点为(1,32)f(x)=alnxx+bx+2,其导数f'(x)=a-alnxx2+b,

则有f(1)=b+2=32,f'(1)=a+b=52,

解可得：a=3,b=-12；

(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)的结论,f(x)=3lnxx-12x+2,则g(x)=xf(x)-2=3lnx-12(x-2)2,

则g'(x)=3x-(x-2)=-(x+1)(x-3)x,

分析可得：在区间(0,3)上,g'(x)>0,g(x)为增函数,

在(3,+∞)上,g'(x)<0,g(x)为减函数,

则当x=3时,g(x)取得极大值,

又有g(1)<0,g(3)>0,g(6)<0,

则函数g(x)有2个不同的零点x1,x[解析](Ⅰ)根据题意,由曲线的切线方程可得切线的斜率和切点的坐标,求出函数的导数,由导数的几何意义和切线的性质分析可得f(1)=b+2=32,f'(1)=a+b=52,解可得a、b的值,即可得答案；

(Ⅱ)由(Ⅰ)的结论,可得f(x)=3lnxx-12x+2,进而可得g(x)=xf(x)-2=3lnx-12(x-2)2,求出g(x)的导数,由函数的导数与函数单调性的关系分析可得在区间(0,3)上,g(x)为增函数,在(3,+∞)上,g(x)为减函数,结合函数的零点判定定理可得函数g(x)有2个不同的零点x1,x2,设x在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为x=1-32ty=1+12t(t为参数).以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ．

(Ⅰ)求直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；

(Ⅱ)若直线l与曲线[答案]解：(Ⅰ)直线l的参数方程为x=1-32ty=1+12t(t为参数)．

转换为直角坐标方程为：x+3y=1+3,

所以转换为极坐标方程为：ρcosθ+3ρsinθ-1-3=0．

曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ．

转换为直角坐标方程为：x2+y2=2x．

(Ⅱ)设M、N的极坐标分别为[解析](Ⅰ)直接利用转换关系,把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．

(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论,进一步利用三角函数关系式的恒等变变换和方程组的应用求出结果．

1本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换,一元二次方程根和系数关系的应用,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型．

已知函数f(x)=|x+4|+|x-4|．

(Ⅰ)求不等式f(x)>3x的解集；

(Ⅱ)设函数f(x)的最小值为z,正实数m,n满足mn-2m-n=z,求证：m+n≥210+3．[答案]解：(Ⅰ)f(x)>3x,即|x+4|+|x-4|>3x；

①当x<-4,时,不等式可化为-x-4+4-x>3x,解