超声层析成像的理论与实现-讲义课件

超声层析成像的理论与实现

答辩人:刘超指导教师:汪元美教授

浙江大学生物医学工程系二○○三年九月二日浙江大学博士论文答辩

超声层析成像的理论与实现1英国从事超声成像的专家P.N.TWells在2000年的文章《超声成像技术的现状与未来》一文中指出“在最近的十几年里，有关超声成像技术的研究在医学成像领域至少占百分之二十五以上的份额，并且这种趋势还在继续增长。”Wells还指出“目前成功地应用于医学领域的超声成像设备大都是基于反射波，且其成像也只是定性的，根据超声散射波的信息，定量地生成人体内部的结构图，是超声应用技术的研究者追求的新目标。”“未来的超声成像技术应该是制造出不需成像专家或医学专家才能识别的反映客观现实真实图像的超声成像设备，即使是这种设备是不完美的。”英国从事超声成像的专家P.N.TWells在2000年2主要内容一.超声层析成像技术的发展历史二.超声层析成像技术的基本模型及方法三.问题的不适定性及其正则化四.模型噪声的判断方法——Picard准则五.静态正则化技术在超声层析技术中的应用六.迭代正则化技术在超声层析技术中的应用七.总结与展望

主要内容一.超声层析成像技术的发展历史3一.超声层析成像的发展历史1.折射系数层析成像方法2.衰减系数层析成像方法3.射线跟踪方法4.透射式衍射层析成像及反射式衍射层析成像方法5.基于精确场描述的层析成像方法

一.超声层析成像的发展历史1.折射系数层析成像方法41.折射系数层析成像方法Refractive-indextomography

1.折射系数层析成像方法Refractive-indext52.超声衰减系数层析成像

Attenuationtomography

衰减系数

综合衰减系数

2.超声衰减系数层析成像

Attenuationto63.射线跟踪方法

RayTracingMethod

3.射线跟踪方法

RayTracingMethod74.透射式衍射层析成像及反射式衍

射层析成像方法物体傅里叶变换频域空域入射波前向散射场4.透射式衍射层析成像及反射式衍

射层析成像方法8从不同方向照射物体时,前向散射场数据的傅里叶变换从不同方向照射物体时,前向散射场数据的傅里叶变换95.基于精确场描述的层析成像方法5.基于精确场描述的层析成像方法10的k-1次多项式，其系数的确定方程的右侧项b的特征；矩阵A的条件数非常大，或者说矩TSVD方法的数值仿真结果采用一维搜索的方法确定更精确的kL=In，x0=0时，称为Tikhonov正则化的标准形式,其解可表示为:Golub和Kahan(1965)首先，计算增广矩阵(A，b)的奇异值分解指导教师:汪元美教授今后需要进一步研究的工作基于精确场描述的层析成像方法透射式衍射层析成像及反射式衍射离散化方法

有限元法、边界元法

矩量法中基函数的确定

3.求解最小二乘问题的共轭梯度

方法(cgls)非齐次亥姆霍兹方程(HelmholtzEquation)产生的序列xk，使得：二.超声层析成像技术的基本模型

及方法非齐次亥姆霍兹方程(HelmholtzEquation)1.波动方程及其解的k-1次多项式，其系数的确定二.超声层析成像技术的基本模11全场方程(TotalFieldEquation)

(第二类Fredholm积分方程)

散射场方程(ScatteringFieldEquation)探测器方程(DetectorEquation)全场方程(TotalFieldEquation)

(第二122.积分方程的离散化─矩量法2.积分方程的离散化─矩量法13向量形式:

向量形式:143.波动方程的近似

①Born近似

Born逆解O

应满足的条件:3.波动方程的近似①Born近似Born逆解O应满15②Rytov近似

应满足的条件:②Rytov近似应满足的条件:16截断奇异值分解正则化方法Levenberg-Marquardt和Newton-Kantorovich方法截断完全最小二乘正则化方法基于精确场描述的层析成像方法15采用clgs方法，五种不同图像在对比度为30％时的基于精确场描述的层析成像方法cgls方法的数值仿真结果矩阵A的条件数非常大，或者说矩产生的序列xk，使得：LSQR方法的数值仿真结果矩阵A的条件数非常大，或者说矩Born迭代算法(BI)对于线性方程组Ax=b或最小二乘问题TWells在2000年的文章《超声成像技术的现状与未来》一文中指出“在最近的十几年里，有关超声成像技术的研究在医学成像领域至少占百分之二十五以上的份额，并且这种趋势还在继续增长。产生的序列xk，使得：产生的序列xk，使得：迭代过程的相对误差和相对残差曲线首先利用Picard理论，分析了超声层析成像问题的中的模型噪声问题，给出了入射波的确定方法、以及正则化方法的适用范围的判断方法。Tikhonov正则化4.基本方法Born迭代算法(BI)

Levenberg-Marquardt和Newton-Kantorovich方法变形Born迭代方法(DBI)

截断奇异值分解正则化方法4.基本方法Born迭代算法(BI17Born迭代算法(BI)

求Born逆解O由全场方程

确定全场

由散射场方程求散射场,并计算

由方程求改变量求Born迭代算法(BI)求Born逆解O由全场方程18求Born逆解O由全场方程

确定全场

由散射场方程求散射场,并计算

变形Born迭代算法(DBI)

根据最新求得的Ok改变散射方程的系数矩阵D求由方程求改变量求Born逆解O由全场方程19LevenbergMarquardt和

NewtonKantorovich方法代入LevenbergMarquardt和

NewtonKant20三.问题的不适定性及其正则化

适定性问题是指对于连续算子方程Kx=y，如果解x满足(1).存在；(2).唯一；(3).连续地依赖于数据y。否则，即上述三个条件有一个不满足，则称其为不适定的（Illposed）。三.问题的不适定性及其正则化

适定性问题是指21离散不适定问题

(DiscreteIllPosedProblem)若:

(1).矩阵A的条件数非常大，或者说矩阵A的最大奇异值和最小奇异值之比非常大；(2).矩阵A的奇异值逐渐下降趋于零。对于线性方程组Ax=b

或最小二乘问题:离散不适定问题

(DiscreteIllPosedPro22Tikhonov正则化

L=In，x0=0时，称为Tikhonov正则化的标准形式,其解可表示为:Tikhonov正则化L=In，x0=0时，称为Tikho23四.模型噪声的判断方法:Picard准则离散Picard准则若方程组Ax=b的傅里叶系数趋于零的速度在平均意义下快于矩阵A的奇异值趋于零的速度的话，则称该方程组满足离散Picard准则(条件)。最小二乘解:Tikhonov正则化解:四.模型噪声的判断方法:Picard准则离散Picard准24英国从事超声成像的专家P.TWells在2000年的文章《超声成像技术的现状与未来》一文中指出“在最近的十几年里，有关超声成像技术的研究在医学成像领域至少占百分之二十五以上的份额，并且这种趋势还在继续增长。今后需要进一步研究的工作则完全最小二乘问题的解为：今后需要进一步研究的工作由全场方程15采用clgs方法，五种不同图像在对比度为30％时的阵A的最大奇异值和最小奇异值之比TTLS方法的数值仿真结果Paige和Saunders(1982)非齐次亥姆霍兹方程(HelmholtzEquation)首先，计算增广矩阵(A，b)的奇异值分解迭代过程的相对误差和相对残差曲线TSVD方法的数值仿真结果Wells还指出“目前成功地应用于医学领域的超声成像设备大都是基于反射波，且其成像也只是定性的，根据超声散射波的信息，定量地生成人体内部的结构图，是超声应用技术的研究者追求的新目标。将共轭梯度法应用于法方程从迭代过程很容易求得数值分析的数值矩阵A的条件数非常大，或者说矩L曲线(LCurve)方法非常大；Tikhonov正则化受噪声污染和无噪声污染的Picard图

污染严重

污染较轻

英国从事超声成像的专家P.受噪声污染和无噪声污染的Picar25A

对比度为30％时对比度为20％时对比度为10％时A对比度为30％时对比度为20％时对比度为10％时26五.静态正则化技术1.截断奇异值分解正则化方法

TruncatedSingularValueDecomposition(TSVD)2.截断完全最小二乘正则化方法

TruncatedTotalLeastSquares(TTLS)

五.静态正则化技术1.截断奇异值分解正则化方法2.截断完全271.截断奇异值分解正则化方法(TSVD)

对于线性方程组Ax=b

或最小二乘问题最小二乘解:Tikhonov正则化解:TSVD正则化解:1.截断奇异值分解正则化方法(TSVD)对于线性方程组Ax28正则化参数的选取方法

离差原理(DiscrepancyPrinciple)方法广义交叉验证(GCV)方法L曲线(LCurve)方法减小时

增加时

由L曲线方法确定k’采用一维搜索的方法确定更精确的k正则化参数的选取方法离差原理(DiscrepancyPr29TSVD方法的数值仿真结果

BACDE对比度为10％时对比度为20％时对比度为30％时原始图像TSVD方法的数值仿真结果BACDE对比度为10％时对比度30迭代过程的相对误差和相对残差曲线迭代过程的相对误差和相对残差曲线31迭代过程的相对误差和相对残差曲线迭代过程的相对误差和相对残差曲线322.截断完全最小二乘正则化方法满足最小二乘问题：完全最小二乘问题：满足：2.截断完全最小二乘正则化方法满足最小二乘问题：完全最小二乘33截断完全最小二乘的步骤1.首先，计算增广矩阵(A，b)的奇异值分解2．确定截断参数k≤min(n，rank(A，b))使得：

3.记q=n-k+1,将矩阵分块4.则完全最小二乘问题的解为：

截断完全最小二乘的步骤1.首先，计算增广矩阵(A，b34TTLS方法的数值仿真结果

原始图像对比度为10％时对比度为20％时对比度为30％时TTLS方法的数值仿真结果原始图像对比度为10％时对比度为35迭代过程的相对误差和相对残差曲线迭代过程的相对误差和相对残差曲线36六.迭代正则化技术1.求解最小二乘问题的共轭梯度方法(cgls)2.LSQR方法六.迭代正则化技术1.求解最小二乘问题的共轭梯度方法(cg371.求解最小二乘问题的共轭梯度

方法(cgls)将共轭梯度法应用于法方程

相当于在Krylov子空间：产生的序列xk，使得：1.求解最小二乘问题的共轭梯度

方法(cgls)将38cgls方法的解可表示为:的k-1次多项式，其系数的确定是

其中：

依赖于：(1).方程的右侧项b的特征；(2).矩阵A的奇异值的分布；(3).迭代的次数

cgls方法的解可表示为:的k-1次多项式，其系数的确定是39迭代次数增加，残差变化不大，但解的范数受影响较大迭代次数增加，残差变化不大，但解的范数受影响较大40正则化参数对迭代的影响正则化参数对迭代的影响41cgls方法的数值仿真结果BACDE对比度为10％时原始图像对比度为20％时对比度为30％时cgls方法的数值仿真结果BACDE对比度为10％时原始图像42迭代过程的相对误差和相对残差曲线图5.15采用clgs方法，五种不同图像在对比度为30％时的相对残差(RRE)曲线，cgls迭代次数为10迭代过程的相对误差和相对残差曲线图5.15采用clgs方法，43LSQR迭代方法

Lanczos三对角过程

Lanczos应用于将矩阵A双对角化Golub和Kahan(1965)

Paige和Saunders(1982)

线性方程组Ax=b和应用于LSQR迭代方法Lanczos三对角过程Lanczos应44TSVD方法的数值仿真结果正则化问题

基于非对成方程的Krylov子空间方法Levenberg-Marquardt和Newton-Kantorovich方法15采用clgs方法，五种不同图像在对比度为30％时的cgls方法的数值仿真结果Tikhonov正则化矩阵A的条件数非常大，或者说矩“未来的超声成像技术应该是制造出不需成像专家或医学专家才能识别的反映客观现实真实图像的超声成像设备，即使是这种设备是不完美的。产生的序列xk，使得：采用一维搜索的方法确定更精确的k15采用clgs方法，五种不同图像在对比度为30％时的非齐次亥姆霍兹方程(HelmholtzEquation)Levenberg-Marquardt和Newton-Kantorovich方法矩阵A的条件数非常大，或者说矩Lanczos三对角过程今后需要进一步研究的工作基于精确场描述的层析成像方法浙江大学生物医学工程系首先，计算增广矩阵(A，b)的奇异值分解指导教师:汪元美教授LSQR方法的优点:

1.速度快2.对不适定性问题数值稳定3.从迭代过程很容易求得数值分析的数值TSVD方法的数值仿真结果LSQR方法的优点:1.速度45BACDE原始图像LSQR方法的数值仿真结果对比度为10％时对比度为20％时对比度为30％时BACDE原始图像LSQR方法的数值仿真结果对比度为10％时46七.总结与展望首先利用Picard理论，分析了超声层析成像问题的中的模型噪声问题，给出了入射波的确定方法、以及正则化方法的适用范围的判断方法。采用了两类四种正则化方法对超声层析成像问题中的不适定性问题进行了研究，通过对正则化参数选择的修正，完成了较大对比度物体的成像问题。结论：静态正则化方法数值稳定，但速度慢；迭代正则化方法速度快，但数值稳定性不如静态方法。七.总结与展望首先利用Picard理论，分析了超声层析成像47今后需要进一步研究的工作1.前向散射问题的研究（波动方程的精确程度）

2.离散化方法

有限元法、边界元法

矩量法中基函数的确定

3.正则化问题

基于非对成方程的Krylov子空间方法

今后需要进一步研究的工作1.前向散射问题的研究（波动方程的48受噪声污染和无噪声污染的Picard图指导教师:汪元美教授记q=n-k+1,将矩阵分块采用了两类四种正则化方法对超声层析成像问题中的不适定性问题进行了研究，通过对正则化参数选择的修正，完成了较大对比度物体的成像问题。射线跟踪方法

RayTracingMethodL=In，x0=0时，称为Tikhonov正则化的标准形式,其解可表示为:截断完全最小二乘正则化方法cgls方法的数值仿真结果LSQR方法的数值仿真结果首先，计算增广矩阵(A，b)的奇异值分解的k-1次多项式，其系数的确定产生的序列xk，使得：cgls方法的数值仿真结果TSVD方法的数值仿真结果矩阵A的条件数非常大，或者说矩TTLS方法的数值仿真结果超声层析成像的理论与实现否则，即上述三个条件有一个不满足，则称其为不适定的（Illposed）。透射式衍射层析成像及反射式衍射Tikhonov正则化矩阵A的条件数非常大，或者说矩15采用clgs方法，五种不同图像在对比度为30％时的今后需要进一步研究的工作截断完全最小二乘正则化方法散射场方程(ScatteringFieldEquation)对不适定性问题数值稳定首先利用Picard理论，分析了超声层析成像问题的中的模型噪声问题，给出了入射波的确定方法、以及正则化方法的适用范围的判断方法。TruncatedTotalLeastSquaresTTLS方法的数值仿真结果透射式衍射层析成像及反射式衍射首先利用Picard理论，分析了超声层析成像问题的中的模型噪声问题，给出了入射波的确定方法、以及正则化方法的适用范围的判断方法。Tikhonov正则化产生的序列xk，使得：L曲线(LCurve)方法Levenberg-Marquardt和Newton-Kantorovich方法结论：静态正则化方法数值稳定，但速度慢；的k-1次多项式，其系数的确定静态正则化技术在超声层析技术中的应用指导教师:汪元美教授对于线性方程组Ax=b或最小二乘问题:

谢谢！受噪声污染和无噪声污染的Picard图15采用clgs方法，49超声层析成像的理论与实现

答辩人:刘超指导教师:汪元美教授

浙江大学生物医学工程系二○○三年九月二日浙江大学博士论文答辩

超声层析成像的理论与实现50英国从事超声成像的专家P.N.TWells在2000年的文章《超声成像技术的现状与未来》一文中指出“在最近的十几年里，有关超声成像技术的研究在医学成像领域至少占百分之二十五以上的份额，并且这种趋势还在继续增长。”Wells还指出“目前成功地应用于医学领域的超声成像设备大都是基于反射波，且其成像也只是定性的，根据超声散射波的信息，定量地生成人体内部的结构图，是超声应用技术的研究者追求的新目标。”“未来的超声成像技术应该是制造出不需成像专家或医学专家才能识别的反映客观现实真实图像的超声成像设备，即使是这种设备是不完美的。”英国从事超声成像的专家P.N.TWells在2000年51主要内容一.超声层析成像技术的发展历史二.超声层析成像技术的基本模型及方法三.问题的不适定性及其正则化四.模型噪声的判断方法——Picard准则五.静态正则化技术在超声层析技术中的应用六.迭代正则化技术在超声层析技术中的应用七.总结与展望

主要内容一.超声层析成像技术的发展历史52一.超声层析成像的发展历史1.折射系数层析成像方法2.衰减系数层析成像方法3.射线跟踪方法4.透射式衍射层析成像及反射式衍射层析成像方法5.基于精确场描述的层析成像方法

一.超声层析成像的发展历史1.折射系数层析成像方法531.折射系数层析成像方法Refractive-indextomography

1.折射系数层析成像方法Refractive-indext542.超声衰减系数层析成像

Attenuationtomography

衰减系数

综合衰减系数

2.超声衰减系数层析成像

Attenuationto553.射线跟踪方法

RayTracingMethod

3.射线跟踪方法

RayTracingMethod564.透射式衍射层析成像及反射式衍

射层析成像方法物体傅里叶变换频域空域入射波前向散射场4.透射式衍射层析成像及反射式衍

射层析成像方法57从不同方向照射物体时,前向散射场数据的傅里叶变换从不同方向照射物体时,前向散射场数据的傅里叶变换585.基于精确场描述的层析成像方法5.基于精确场描述的层析成像方法59的k-1次多项式，其系数的确定方程的右侧项b的特征；矩阵A的条件数非常大，或者说矩TSVD方法的数值仿真结果采用一维搜索的方法确定更精确的kL=In，x0=0时，称为Tikhonov正则化的标准形式,其解可表示为:Golub和Kahan(1965)首先，计算增广矩阵(A，b)的奇异值分解指导教师:汪元美教授今后需要进一步研究的工作基于精确场描述的层析成像方法透射式衍射层析成像及反射式衍射离散化方法

有限元法、边界元法

矩量法中基函数的确定

3.求解最小二乘问题的共轭梯度

方法(cgls)非齐次亥姆霍兹方程(HelmholtzEquation)产生的序列xk，使得：二.超声层析成像技术的基本模型

及方法非齐次亥姆霍兹方程(HelmholtzEquation)1.波动方程及其解的k-1次多项式，其系数的确定二.超声层析成像技术的基本模60全场方程(TotalFieldEquation)

(第二类Fredholm积分方程)

散射场方程(ScatteringFieldEquation)探测器方程(DetectorEquation)全场方程(TotalFieldEquation)

(第二612.积分方程的离散化─矩量法2.积分方程的离散化─矩量法62向量形式:

向量形式:633.波动方程的近似

①Born近似

Born逆解O

应满足的条件:3.波动方程的近似①Born近似Born逆解O应满64②Rytov近似

应满足的条件:②Rytov近似应满足的条件:65截断奇异值分解正则化方法Levenberg-Marquardt和Newton-Kantorovich方法截断完全最小二乘正则化方法基于精确场描述的层析成像方法15采用clgs方法，五种不同图像在对比度为30％时的基于精确场描述的层析成像方法cgls方法的数值仿真结果矩阵A的条件数非常大，或者说矩产生的序列xk，使得：LSQR方法的数值仿真结果矩阵A的条件数非常大，或者说矩Born迭代算法(BI)对于线性方程组Ax=b或最小二乘问题TWells在2000年的文章《超声成像技术的现状与未来》一文中指出“在最近的十几年里，有关超声成像技术的研究在医学成像领域至少占百分之二十五以上的份额，并且这种趋势还在继续增长。产生的序列xk，使得：产生的序列xk，使得：迭代过程的相对误差和相对残差曲线首先利用Picard理论，分析了超声层析成像问题的中的模型噪声问题，给出了入射波的确定方法、以及正则化方法的适用范围的判断方法。Tikhonov正则化4.基本方法Born迭代算法(BI)

Levenberg-Marquardt和Newton-Kantorovich方法变形Born迭代方法(DBI)

截断奇异值分解正则化方法4.基本方法Born迭代算法(BI66Born迭代算法(BI)

求Born逆解O由全场方程

确定全场

由散射场方程求散射场,并计算

由方程求改变量求Born迭代算法(BI)求Born逆解O由全场方程67求Born逆解O由全场方程

确定全场

由散射场方程求散射场,并计算

变形Born迭代算法(DBI)

根据最新求得的Ok改变散射方程的系数矩阵D求由方程求改变量求Born逆解O由全场方程68LevenbergMarquardt和

NewtonKantorovich方法代入LevenbergMarquardt和

NewtonKant69三.问题的不适定性及其正则化

适定性问题是指对于连续算子方程Kx=y，如果解x满足(1).存在；(2).唯一；(3).连续地依赖于数据y。否则，即上述三个条件有一个不满足，则称其为不适定的（Illposed）。三.问题的不适定性及其正则化

适定性问题是指70离散不适定问题

(DiscreteIllPosedProblem)若:

(1).矩阵A的条件数非常大，或者说矩阵A的最大奇异值和最小奇异值之比非常大；(2).矩阵A的奇异值逐渐下降趋于零。对于线性方程组Ax=b

或最小二乘问题:离散不适定问题

(DiscreteIllPosedPro71Tikhonov正则化

L=In，x0=0时，称为Tikhonov正则化的标准形式,其解可表示为:Tikhonov正则化L=In，x0=0时，称为Tikho72四.模型噪声的判断方法:Picard准则离散Picard准则若方程组Ax=b的傅里叶系数趋于零的速度在平均意义下快于矩阵A的奇异值趋于零的速度的话，则称该方程组满足离散Picard准则(条件)。最小二乘解:Tikhonov正则化解:四.模型噪声的判断方法:Picard准则离散Picard准73英国从事超声成像的专家P.TWells在2000年的文章《超声成像技术的现状与未来》一文中指出“在最近的十几年里，有关超声成像技术的研究在医学成像领域至少占百分之二十五以上的份额，并且这种趋势还在继续增长。今后需要进一步研究的工作则完全最小二乘问题的解为：今后需要进一步研究的工作由全场方程15采用clgs方法，五种不同图像在对比度为30％时的阵A的最大奇异值和最小奇异值之比TTLS方法的数值仿真结果Paige和Saunders(1982)非齐次亥姆霍兹方程(HelmholtzEquation)首先，计算增广矩阵(A，b)的奇异值分解迭代过程的相对误差和相对残差曲线TSVD方法的数值仿真结果Wells还指出“目前成功地应用于医学领域的超声成像设备大都是基于反射波，且其成像也只是定性的，根据超声散射波的信息，定量地生成人体内部的结构图，是超声应用技术的研究者追求的新目标。将共轭梯度法应用于法方程从迭代过程很容易求得数值分析的数值矩阵A的条件数非常大，或者说矩L曲线(LCurve)方法非常大；Tikhonov正则化受噪声污染和无噪声污染的Picard图

污染严重

污染较轻

英国从事超声成像的专家P.受噪声污染和无噪声污染的Picar74A

对比度为30％时对比度为20％时对比度为10％时A对比度为30％时对比度为20％时对比度为10％时75五.静态正则化技术1.截断奇异值分解正则化方法

TruncatedSingularValueDecomposition(TSVD)2.截断完全最小二乘正则化方法

TruncatedTotalLeastSquares(TTLS)

五.静态正则化技术1.截断奇异值分解正则化方法2.截断完全761.截断奇异值分解正则化方法(TSVD)

对于线性方程组Ax=b

或最小二乘问题最小二乘解:Tikhonov正则化解:TSVD正则化解:1.截断奇异值分解正则化方法(TSVD)对于线性方程组Ax77正则化参数的选取方法

离差原理(DiscrepancyPrinciple)方法广义交叉验证(GCV)方法L曲线(LCurve)方法减小时

增加时

由L曲线方法确定k’采用一维搜索的方法确定更精确的k正则化参数的选取方法离差原理(DiscrepancyPr78TSVD方法的数值仿真结果

BACDE对比度为10％时对比度为20％时对比度为30％时原始图像TSVD方法的数值仿真结果BACDE对比度为10％时对比度79迭代过程的相对误差和相对残差曲线迭代过程的相对误差和相对残差曲线80迭代过程的相对误差和相对残差曲线迭代过程的相对误差和相对残差曲线812.截断完全最小二乘正则化方法满足最小二乘问题：完全最小二乘问题：满足：2.截断完全最小二乘正则化方法满足最小二乘问题：完全最小二乘82截断完全最小二乘的步骤1.首先，计算增广矩阵(A，b)的奇异值分解2．确定截断参数k≤min(n，rank(A，b))使得：

3.记q=n-k+1,将矩阵分块4.则完全最小二乘问题的解为：

截断完全最小二乘的步骤1.首先，计算增广矩阵(A，b83TTLS方法的数值仿真结果

原始图像对比度为10％时对比度为20％时对比度为30％时TTLS方法的数值仿真结果原始图像对比度为10％时对比度为84迭代过程的相对误差和相对残差曲线迭代过程的相对误差和相对残差曲线85六.迭代正则化技术1.求解最小二乘问题的共轭梯度方法(cgls)2.LSQR方法六.迭代正则化技术1.求解最小二乘问题的共轭梯度方法(cg861.求解最小二乘问题的共轭梯度

方法(cgls)将共轭梯度法应用于法方程

相当于在Krylov子空间：产生的序列xk，使得：1.求解最小二乘问题的共轭梯度

方法(cgls)将87cgls方法的解可表示为:的k-1次多项式，其系数的确定是

其中：

依赖于：(1).方程的右侧项b的特征；(2).矩阵A的奇异值的分布；(3).迭代的次数

cgls方法的解可表示为:的k-1次多项式，其系数的确定是88迭代次数增加，残差变化不大，但解的范数受影响较大迭代次数增加，残差变化不大，但解的范数受影响较大89正则化参数对迭代的影响正则化参数对迭代的影响90cgls方法的数值仿真结果BACDE对比度为10％时原始图像对比度为20％时对比度为30％时cgls方法的数值仿真结果BACDE对比度为10％时原始图像91迭代过程的相对误差和相对残差曲线图5.15采用clgs方法，五种不同图像在对比度为30％时的相对残差(RRE)曲线，cgls迭代次数为10迭代过程的相对误差和相对残差曲线图5.15采用clgs方法，92LSQR迭代方法

Lanczos三对角过程

Lanczos应用于将矩阵A双对角化Golub和Kahan(1965)

Paige和Saunders(1982)

线性方程组Ax=b和应用于LSQR迭代方法Lanczos三对角过程Lanczos应93TSVD方法的数值仿真结果正则化问题

基于非对成方程的Krylov子空间方法Levenberg-Marquardt和Newton-Kantorovich方法15采用clgs方法，五种不同图像在对比度为30％时的cgls方法的数值仿真结果Tikhonov正则化矩阵A的条件数非常大，或者说矩“未来的超声成像技术应该是制造出不需成像专家或医学专家才能识别的反映客观现实真实图像的超声成像设备，即使是这种设备是不完美的。产生的序列xk，使得：采用一维搜索的方法确定更精确的k15采用clgs方法，五种不同图像在对比度为30％时的非齐次亥姆霍兹方程(HelmholtzEquation)Levenberg-Marquardt和Newton-Kantorovich方法矩阵A的条件数非常大，或者说矩Lanczos三对角过程今后需要进一步研究的工作基于精确场描述的层析成像方