2020年全国高中数学联合竞赛广东赛区选拔赛试题Word版含答案

2020年全国高中数学联合竞赛广东赛区选拔赛试题一、填空题：本大题共8个小题,每小题8分,共64分.1aex函数f(x) （a1）的值域为 ．1exA{x|x2[x2}B{x||x2}，其中符号[xx的最大整数，则A BA B．已知方程xe2xk0在区间(2,2)内恰有两个实根，则k的取值范围是 ．3已知ABCAB、C成等差数列，对应的三边为a、b、c，且a、c、43

b成等比数列，则S :a2 ．ABCB(1/2,0)C(3/2,0)ABACya（0a1）所围成的平面区域为G，已知平面矩形区域{(xy|0x2,0y中的任意一点进入1区域G的可能性为

，则a ．16袋中装有m个红球和n个白球n4.现从中任取两球若取出的两个球是同色的概率等于取出两个球是异色的概率，则满足关系mn40的数组(m,n)的个数为 ．已知关于x的实系数方程x22x20和x22mx10的四个不同的根在复平面上对应的点共圆，则m的取值范围是 ．x2y28围成的封闭区域上（含边界）的整点（坐标均为整数的点）

x2y2

1围1成的封闭区域上（含边界）整点数的5

，则正实数a的取值范围是 ．

a2 4二、解答题：本大题共3小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.f(x)ex1x，1求f(x)在区间[0, ]（n为正整数）的最大值b；n n令an

en

1b，p aa411n k aa11

a2k （n，k为正整数，求证：ppa 1 2

p 11.2n a213 2knABCDADEF向上翻折（EABF在线段CD上运第页 1动，得到三棱柱ABECDF，已知AB5，AC 34.若ABG是直角三角形，这里GEFEGx的取值范围；EGABCEFD的值；在与ABFG已知正整数n都可以唯一表示为na0

a9a1

92 am

9m（*）的形式，其中m为非负整数，a{0,1, ,8}（j0,1,j

,m1，am

,8}.试求（*）中的数列a0

，a，a1

，…，am

严格单调递增或严格单调递减的所有正整数n的和.第页 2PAGE6PAGE6第页2020参考答案一、填空题31.(a,1) 2.{1, 3} 3.(1,2) 4.32e e4 21 35. 6.3 7.{m|1m1或n }2 2

8.22a23三、解答题1 19.解（1）因为f'(x)ex1，所以，当x[0, ]时，f'(x)0，即f(x)在[0, ]是增函数，故f(x)1在[0, ]上的最大值为b

n nne111n1n n n1（2）由知an

en

1b 1n n因为(2k1)(2k1)4k211，所以(2k)2 4k22k2k1

135(2k1)224(2k)133557(2135(2k1)224(2k)133557(2k1)(2k1) 1224262(2k)22k1 2k11aa24aa13a2ka13524(2k1)aa24aa13a2ka13524(2k1)(2k)2k112k12k1kpp1

pn

( 31)( 5 3)+

+（2n1 2n1) 2n11

211an即pp1

p n

211an10.（1）有题设条件可知AEGBEGAG2

AE2x2，BG2

BE2x2AB2

AE2BE22AEBEcosAEB，2x2AE2BE

AB2

AE2BE22AEBEcosAEB，BEcosAEBAEBEt(5BEcosAEBAEBEt(5t)t所以：x[0,2.5)，又对k[0,2.5)，AEEB2.5，AEB

k2，2.52AEBFcosAEBFcosAEB

k，故：x的取值范围为[0,2.5).（2）因为AEEFBFEF，所以就说二面角CEFD的平面角，又由知，EG的x为[0,2.5)x2AB2t2(5t)242t210t29，t(0,5)因此t2.5时，线段AB的长度取得最小值，由此得：225cosAEB，AEBarccos8.4 25（3）由2）知41AEBarccos8，AEEB5，AGBG ，EG2，4125 2 2AC2AB23425且EFAC2AB23425BEEAEEFBEEFBEE

EFEAB，故：VA

VA

1(S3

AEB

EF

AGB

EG)11EB)EF1BF11EB)EF1BF2EG1(25 164 3412)3 561823226 4625424aamm1aa1011.ABS(aamm1aa10nAA0

A|a0

0}A1

A|a0

0}，我们有S(A)S(A0

)S(A).1nAf(n9n

fA

的双射，由此得：S(A0

1 0 1 0)9S(A)，1SA10SA.1又对aam

am1

aB，令0bg(a)(9am

)(aa )m1

(9a0

)A，1则g是B到A的双射，其中：1ab9m19m

9 (9m11).989因为B{am

am17

a|1a0

a m1

a 8,m,7}，0B

m0

Cm18

个元素，因此S(B)S(A)1

978m0

Cm1(9m11)8

988k

Ck9k8

98Ck8 8kk0

28)989A2

表示A中最高位数am

8的正整数全体，A中其余的数和零所成集合记为A，则3S(A)S(A2

)S(A)3对aam

am1

aB，令b(a)(8a0

)(8a )m1

(8a0

)A3

则BA3

的双射，其中：ab89m89m18

89m11.S(BSA38ama8amaA0 2

k

Cm1(9m11)108288{8}，令b(a)(8a)m

(8a0

)B，则A2

{8}B的双射，其中：ab89m189m 89m21.S(BSA2

)87m0

Cm1(9m21)888k

Ck(9k1)