2020-2021学年四川省成都市蓉城名校联盟高一下学期期末联考理科数学试题

2020-2021学年四川省成都市蓉城名校联盟高一下学期期末联考理科数学试题考试时间120分钟，满分150分注意事项：答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效．考试结束后由监考老师将答题卡收回．一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．已知实数a,b满足a<b，则下列关系式一定成立的是（）A.a2<b2A.a2<b2D.D.2a<2bC一>Tab下列说法正确的是（）直角三角形绕一边旋转得到的旋转体一定是圆锥用一个平面去截圆锥，圆锥底面和截面之间的部分一定是圆台正视图和侧视图的高一定是相等的，正视图和俯视图的长一定是相等的D.利用斜二测画法画出的正方形的直观图和原来正方形的面积之比是茲23.在AABC中，点D在BC边上，且BD=3DC，贝y（）A.A.AD=1AB+2AC3AD=1AB+-AC4B.AD=1AB+-AC44AD=1AB+-AC234.在AABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=1，c=，A=：，则b=（）6A.1A.1B.2D.1或25.某圆柱的高为1,底面周长为8，其三视图如图.圆柱表面上的点P在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点Q在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从P到Q的路径中，最短路径的长度为（）

16•已知等差数列｛a｝的前n项和为S，若a>0,a+a<0,则满足S>0的最小正整数n的nn121112n值为()A.22B.23C.24D.257.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若A二彳,b+c=10,a二2*10，则S=()△ABCA.5訂B.6朽c.14朽D.16朽&我国南北朝时期的数学家、天文学家祖暅提出了著名的祖暅原理：幕势既同,则积不容异“势”即是高，“幕”即是面积，意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面面积相等，兀那么这两个几何体的体积相等.如图所示，扇形的半径为2,圆心角为-,若扇形AOB绕直线OB旋转一周，图中阴影部分旋转后所得几何体与某不规则几何体满足“幕势同”，则该不规则几何体的体积为（）48兀16兀A.—兀B.2兀C.D.3339.设a>2,b>1,若a+b=4,14则+的最小值为（)a一2b一1A.5B.7C.9D.1110.已知A,B是球O的球面上两点，ZAOB=—,P为该球面上动点，若三棱锥O-PAB体2爲积的最大值为一3—,则球o的表面积为（）A.12兀B.16兀C.24兀D.36兀11.已知数列｛a｝满足a+(—1)na=3n+1,S为｛a｝的前n项和，则S=()nn+1nnn20A.300B.320C.340D.360

在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若bc=4j3,sinA+2sinBcosC二0,TOC\o"1-5"\h\z则△ABC面积的最大值为()A.1B.\厅C・2D・2.3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．亠“tan33。+tan27。求值1-tan33otan27o='已知平面向量a,b满足a=1,b=4,且a与b的夹角为彳,则a-2b=.15.若不等式ax2-2ax+1>0对xgR恒成立，则a的取值范围为16.在数列｛a｝中，16.在数列｛a｝中，a=1,n1an—an-1n2n2-1(n>2,ngN*),则数列<n2为.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数f(x)=x2-ax+b+2，agR，bgR.(1)若关于x的不等式f(x)<0的解集为(1,2)，求实数a,b的值;(2)若关于x的不等式f(x)<b在xgI1,3］上能成立，求实数a的取值范围.18.已知向量a=(2sinx,cosx+sinx),b=(cosx,cosx-sinx)，若函数f(x)=a-b.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;」c兀)<2(2)若0为钝角，且f&+石=一，求tan0的值.I8丿419.已知在锐角AABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，^ABC同时满足下列4个条件中的三个：①A=7，②a=4，③c=4迈，④sinC=1.TOC\o"1-5"\h\z44(1)指出这三个条件，并说明理由；(2)求边长b和三角形的面积S.△ABC20.已知数列｛a｝的前n项和为S，且a=2，a=S.nn1n+1n(1)求数列｛a｝的通项公式；n(2)设b=loga，求数列］厂|的前n项和T.n2nb•bnnn+1

21•成都市为迎接2022年世界大学生运动会，需规划公路自行车比赛赛道，该赛道的平面示意图为如图的五边形ABCDE，根据自行车比赛的需要，需预留出AC，AD两条服务车道(不考虑宽度)，DC，CB，BA，AE，ED为赛道，AABC=XAED=g-，ABAC=—，BC=2%/3(km),CD=4^2(km).注：km为千米.若cosACAD=3，求服务通道AD的长；在(1)的条件下，求折线赛道AED的最长值(即AE+ED最大).(结果保留根号)22.已知数列｛a｝22.已知数列｛a｝满足a2=a-ann+1nn+2求数列｛a｝的通项公式；n若b=(2n-1)a，求数列｛b｝的前n项和S；、a设C=n、a设C=n—n3n+an，记数列｛c｝的前n项和为T，证明:nn蓉城名校联盟2020~2021学年度下期高中2020级期末联考题号12345678题号123456789101112答案DCBDBBACCBCB一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.朽14,5715.[0,1)16.—n+1解析：11.Ta+(-1)na=3n+1，TOC\o"1-5"\h\zn+1n①当n为偶数时，•.•a+a=3n+1，n+1na-a=3n+4，n+2n+1

a+a=6n+5,nn+2a+a=6x2+5=17,24/.a+a=6x6+5=41,68/.a+a=6x18+5=113,18205x(17+113)..a+a+•••+a==325.24202②当n为奇数时,a—a=3n+1,n+1na+a=3n+4,n+2n+1a+a=3,n+2na+a=3,a+a=3，…，a+a=313571719/.a+a++a=5x3=15,1319S=a+a+a+•••+a2012320(a+a(a+a13)+(a192+•••+a)20==325+15=34012.•・•sinA+2sinBcosC=0,.a+2bxa2+b2一.a+2bxa2+b2一c22ab2a2+b2一c2=0,c2b2a2==——,22.cosA=b2+c2一a22bCb2b2+c2+-2C2~22bc3b2c23b2c2TOC\o"1-5"\h\z+2x22>22=H2bc2bc2sinAg

•••S=2besinA<4be〜3.n2(n2(n+1)(n-1)'TOC\o"1-5"\h\z16.l=an2-1n-1aaa…a—aX—2X3X•••Xn—n1aaa12n-1i23242n22n—1xXXX・・・X—an—n—n21x32x43x5(n+1)(n—1)an—n—n2(2、、—2f1—丄]n(n+1)Inn+1丿-2f1-1+1-1+・・・+1-丄卜旦V223nn+1丿n+1三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17•解：(1)・・・f(x)<0的解集为(1,2),1,2是方程x2-ax+b+2=0的两个根；/.a—1+2—3；b+2—1x2—2；..a—3,b—0.(2)・・・x2-ax+b+2<b在xe[1,3]上能成立；x2-ax+2<0在xeb,3]上能成立；ax2+2)；min・.・xe[1,3],.f2)..a'x+—；Vx丿min・.・x+->2;x--—2j2(当且仅当x-迈时取“=”,xx•・•x=、2e^,3〕，a>2迈.18.解：(1)tf(x)=a-b—2sinxcosx+cos2x—sin2x4466=sin2x+cos2x=41sin2x+—I4丿:,f（x）的最小正周期T—=兀；+2心2x+夕<与+2加-+k^<x<+k兀,keZ,•••单调递增区间为:•••单调递增区间为:"o+—、-V^sin2x‘0+—、—+——-近sin"20+—、（8丿I8J4_I2丿keZ．2）2~4~•sin—cos20—2cos20-1—,4・.・ecos0迈；sin0-还44sin0TOC\o"1-5"\h\ztan0——cos019•解：（1）该三角形同时满足①②③，理由如下:若非钝角△血C同时满足①④，•.・sinC-丄<，42•0<C<一或<C<兀（舍）,66又•••A=—44•—<A+C<5—412•7—<B-—-A-C<3—124这与AABC为非钝角三角形相矛盾,t①④不能同时选，•②③必选,若选②③④,・.・a<c，A<C，•・•sinC-丄<,42

2兀B=兀一A—C>—,3与AABC为非钝角三角形相矛盾，.该三角形同时满足①②③．J2（2）Ta2=b2+c2一2bccosA=b2+32一2x4\2xbx—=16,2..b2一8b+16=0,.b=4，TOC\o"1-5"\h\z1l寸2.S=—besinA=一x4x4p2x——=8.△abc22220.解：（1）a=S,n+1n.a=S,nn一1两式相减得a=2a(n—2).n+1n.{q}为从第二项开始的等比数列n•:a=S=2，212,n=1,a=<n2n—1,n—2.2）b=logan2）b=logan2n1,n=1,n一1,n—2.①当n—2时,"=—+丄+丄+n1x11x22x31（n一1）n=1+1——+—一—+—一—+…+丄——2334n一1n②当n=1时，T=1，满足T=2—,1nn综上所述：T=2—.nn21•解：(1)在AABC中，由正弦定理得:AC.2兀AC.2兀

sin-38Csin2打x迢_，AC=L=3巨2在AACD中，由余弦定理得CD2二AD2+AC2-2AC•AD•cosZCAD,32二AD2+18—AD,AD二5.2.(2)方法一：2兀在AADE中，由余弦定理得：AD2=AE2+ED2一2AE•DE•cos—.AD2二AE2+ED2+AE•AD,50=(AE+ED)2-AE•AD,AE•AE•AD<(AE+ED》4.-(AE+ED)2<50,4.(AE+ED)2<竽・•・AE+ED<岁尹-(当且仅当AE=AD=时取“=”方法二：在AADE中，设ZADE=Z1,ZEAD=Z2,.AE_DE_AD_5迈_10j6TOC\o"1-5"\h\zsinZ1sinZ2sinZAED33T・d_io76.Z门尸_10>/6•..AE—sinZ1,DE—sinZ2,33・AE+DE—10^6sinZ1+10^6sinZ233住-Z1io、住-Z1sinZ1+sin3MsinZ1+虫PcosZ1-1sinZ133sinZ1sinZ1+15.'2cosZ1皿f1sinZ1+旦osZ1=MsinZ1+二3Z1+-G厂兀2兀、，sinZ1+-ePM3k33丿k3Jk2jZ1+-e:5近2]k3丿（3」ioj6.sin3•••AE+DEV乎22.解：（1）・.•a2=a-an+1nn+2aa..—nI2——n11,aan+1n..{a}为等比数列,n设公比为q，丁a—2,a—16,14a.q3—牛—8,a1.q—2，.a—2n.n（2）b-（2n-1）a-（2n-1）・2nnn/.S—b+b+b+•••+b—1x2+3x22+5x23+・・.+（2n-1）*2n①n123n..2S—1x22+3x23+5x24+...+（2n—3）・2n+（2n—1）*2n+1②n②-①得：S——2—2（22+23+…+2n）+（2n-1）2n+1n——2一2x生挈+（2"一1）2n+1—一2+23G一2“—1）+（2“一1）.2“+1—6+（2n—3）・2n+1.(3)①先证右边：•・•neN*,3n+2n>3n,2n..c=2(2)2(22n..c=2(2)2(2)3(2A4(2Ac+c+•••+c<—+—++一+...+12n3<3丿(3丿13丿(3丿n3n+2n<3丿nnTn