基本初等函数部分典型例题

....下载可编辑基本初等函数基本初等函数指数与指数函数1,图象[^15]出较下列各组数的大小;(2)<iLETaL：!(<i>0且⑶y宙二2，复合函数定义域和值域【例杓求下列诵数的定义域与值城：⑴』=]0■/篇-】t⑵円*)一⑶严片-春3，复合函数单调性【胸41求爾数产(y)"J供的单调区何.解；定文域询&令股=-卅丰2心则当工£(一8和]时’函数«=为增函数皿=(刘是减两数，所以i-=(舟)°"在(一sj」上是减瓯数，当工L11+尺>时’函敷«=—+十为减函轧y=(寺)見:减函孤所以，=(寺)在E3上是增函数.综上，萌数(+)7*的单调增区何咼[1,+^)I单谓减区间是「-8,1)4，比较大小5，换元法f例町曲程犷+兰一2=0舸烬是典例题型：1运算：[典例】已知工+才】=3,逅下死备式的值一⑴品+r_t；U>^+j~^.酸葱型3：#SM式前化简问題.【典朗化简曲爲T2概念【典的】措出下列函数哪些崔措蠡函数’扌⑶R=f—4尸亍(4”=4#江5乃=才江阳加=£‘十1*(门==(*)”江3加=—铲川加=4”十X⑴佔伽一m(口》$且如1>3•图像性质【魂例】求下测画数的定戈域和值域；⑴y=E丸⑵了=伶)|F；U)jr=r+厂+L【典例】比较下列各组取的大小；⑴俘广略几昭）怙待门【典例】來函戳丁=厂卄併％＞0且却1）的单训区同・+1的解集脚工G*护B.萨＜胪DxXEI例Z](2007,山乐丈,r5J,4)函数y=Q一3AQ吟产1}的图象恒过盘点比若点人在宜議Wis+fly—1=OCwtti>0)上，则丄+丄的最册慣mH1时，/Cr)=3f-1,则有｛【傭L】12007.^^,1^5券、设函数g煌艾在宴歡集丄，它的琦象关于直线忙=1討称，总严诗为*答案詁点搓：『=出珥口>0适云I〉的阴象恒过定点心「1八■点入莊直线陀花十野一1=0l-.nMU耐"=],浙以丄+Z=吐^=J_=_?nnmnmnm{i~ui)

2.设摘数函数g=^(a>O.fia#1)、朋T列等式不正确的是]>A.扛忑十y>=f(£E.F[(矽r]=[f(Q,・Lf®]”椰―寺)+T所以当撷=£时，占十吕的竝中值的4,

3.址帥=斗“9他=炉竹如=(*)!则[M3](W7+4^,T]3t4若函数门刃V■屮--围为-"-I的定义威为粘刚卫的取值0答龜[T应点拨::因为阴=忌5-讳定文域为乩所以对一切工都有亦一陥一空I恒h鹅象略经过点(立剧—加_心0恆硕立•所以小£。成立厲扎⑸2〕生朋+4盘忑0侦以一I£皿£电•Crf£l》的尢小关系为(>A.块>趴>犬乩ys>yL>y.rC-.yi>出>艸Uyi>Vi>ys4.衬任何实数心,且厲工1,函数X小=十£的a(2,5)rxm工已知购数ftx)=召工已知购数ftx)=召+c(为奇函数I则a的信机要便式子【创4]<£007,江需丈・T“12分)巳知函敎0二庄口亡FlE滿足；V"缶厂戈廿C<x<l&⑴琐常数C的值；⑵髒不尊式fg笛+1•懈=cns^o<c<i,所以cs<t.由/<lj)=|+即"+1=E疋一厉+

CbddT+"—屈V十『虹一5有倉府Hh+3文，则工的取值牠須是.7.寤数y=血二阿丁的定叉域县是^*4」F2.辭川"f(G+和1一小=孕羽-十^^弔4UIt_4°4U4-F2'4a4fl-b^2+411〔巧因为尹.町+尹1-0=1,历以〔巧因为尹.町+尹1-0=1,历以/<o)+/(i-B组1,错出踊数厂伶厂-的单调区间・玄谡扛丹=壽才若DMaW威求：(1)/U)+/(1-©的值;(WUH+川金)r(佥)十…十f(H)十f⑴的嵐乳躱出湍足下列不零式的工的礙值范圈.⑴計一七』；C2)«'T-]-v'«>0<a>0.且«=^1),4要使頑數y=l+2-T4-Vfl在工总(~^J]hy>0恒成丈，求"的軀值范围.L辭法一：设w=U—1丨*可知產数u=|±—1［在(―°>!门上是械西数！在［〔j+Ul是增函数.貝因为胪一(+)"在定冥域内悬戲函甑、所以函数，=(£)"「的厲遁递减区佃为［仁+*“单询逸増区间为(一CO,门，玉解=(I)原不等式可以北为只-^二<7■園为函数丁=5士莊II上县博函数*所喙有】一加二一家呕轄故满足衆件的实数工的取置也因是^<4-(引原不寻式可以化为視壯丙為函效了=犷3A0且◎芝门当峰数Q大于1吋在R上是増凰数［当底数皿小于1吋在R上是试硒数.所比，当^>1时『由阳一1A扌制縛工>扌.当0<^<】时，中洽一1懈得J?<|-.综上可知:当心1时则>令¥当0<^<1时-・

即1_2log!G匕恒咸立.即心mr十訂+右丄瞬型題意青1十跨十4PA0在工丘(一*,门爭在0,厂I：.恒成立.]+卽#：即1_2log!G匕恒咸立.即心mr十訂+右丄瞬型題意青1十跨十4PA0在工丘(一*,门爭在0,厂I：.恒成立.]+卽#：―[(訂肃h所以(*)e*i十*卜令尸荀心令件)——待十打十囱为心和小所以圧(一£十=),对数与对数函数:L证聘恒雪式的方迭山岳了二“。飾了，3.求反函数的方法反函数.舞:①当工VU时2=心其■厘函数仍是尸工(*0)；t工I【侧幻毂函散:【例右比较下列各组数中值萌大小：〔1)log(7与kg76|<?>logj3与LogaO-8uC3)Iofe3与I他.£・2|C4)l-3g6?与1。辭.C1)因为lcga7>hIostSCI.Mty】o區7>k^TG,C2)S为Lcg52>Q,由扯也S<0,.所底lag,2>log20„8,〔工】因为IpguO,2=bga5Tjgf以log£3<,logs5.即山爭MVlo馳上①£②当j^O时心=才，由$=〃(工菱小轉戈=3&+又了的值域为沁、所以黒=分(丈二0)的反函数是卩=后心0、.「広〔書近叮｝j出①②可得F门3“L(圧刁0人4,繭陪结合的思想心—(汁肘+AJ**+oo),则jf®在[*丫十g)L为嫌函数'【例1】已知口/汁购为正數^説=蹲=(?・则左边=手+土=聶+命=施辭十呃4=1-ogj.9+log*4=log；.36,衣边=?=总典=刃加式=log^36•他邑+生£2bC【例町方探加)A,(0,L)C.C2r3)D・(3r+DO>证明：设亍=护=取1爲则Jt>h由对数的定梵得€L=logaktb=loe<,f=logfii.疏丁十塔=m的擠所在的国间B.Cl>2)5.转牝为二取函数的问髓来赴理.5.转牝为二取函数的问髓来赴理.茲肘藪值大小的止報方法【例打酸函載广(妙二2【1临沙十1(一比區小十％在才右时有最小值1’试确定R的值,解：因为/(x)=2(]og^)"—汕1碍忑+4=耳隔“手)十方-芥所以挖厂杏3盼一号=0时*有摄小值―兽乂色为工=舟时JCQ右欣小價1,探販型3：利用对数函数的单调性比较大小.【典例】比较下列各组中两个数的大小.⑴I軀石*皿迈:⑵lofipfi.lqgdS；(3)10^1,10^0.8；(4)log(.fD.8doga.s0.8所从iOfey--|=0.,解之得□亠■亦7nd卜-計1-・题型4；求函数的单關区间.【奧例】求函数y=log'(/-3t-18)的单漏题型益求函数的值域.【典例】求下列函数的值域.⑴严b曲3+4)?(2)^=lo^(3+滋一分人典型例题:区间,并用单调性定义给予证明.(1)=酌t.⑵=—宀-护.”虹_1lg^/?耳坯二32\2)=—2j：(4Jlugn(kfia=叶(5"=1湘纤£中C6)jt二!题型7；解对数不等式.ia«nj解下列不等式”B.c<b<aIXb<.a<e卫聽型1：求函数的定义域，【典例】求下列函数的定义域*(l)logj(2jr+3)>log2(5T—6)；(2)1。冬y>1.巒埴型:利用换底公式计算，求值.、21【典例】设少=沪=肚'求兰+丄的值'文y阴粗世6：对数函数图象变換问医【典例】作出函数y二11咚(r+1)|+2的图象.【例1】⑵)07'天津文,Td券》设尸logp#J1IOnE|=(j).，仟忆则]A.a<ft<cC.c<a<b曾案点蹋髓型:利用对数的运算法则化简与求值+【典例】已知1碍cy+4+1隅w+i)=logfl5H-logfl(2j7—1)(a>0,a7^1),求hgK学的值.二題型久利用真赛或厳数的限定条杵求参数附取值ME.【掘例】求下列■各式中匹的取ffiffiW・faga(^+l)aFkgJ-i(j'+2)j⑶1塘j—£(Jf+器，巒曲型昭乳断函数的奇惰性.【典例】判斷函数克"=啦£的奇偶性・i典例1求下列各式中的工.⑴1佻曲=寻皿山盼=—|■讥餡血怡+■■■■7■■■■■■■~-T2rt<rt<1—n>【舸2】(.2007,全UI,Tm5分〕设fl>l,函数/(i)=Id^t在区何也茲]上的憬尢值与堆小信之墓为;现山第于t-/2C.2^2答案小(&131(如0八垒凰U,T4，&下列四伞敬屮摄大的屋(A.<MVC.]n曇M4]<2007,山东|「・4并｝函数严加耳H-3｝-1(a>Ctu^1>的图發恒过定贞九若点A在宜缓jn±+uy+l=0上，其屮mn>氛則£+£■的量小值为”答累：s点拢眷=1帕/丫+3—1恒过定点A(—2t-1').因为点片在立纱加r+ny=l上，所以一卯3—冷4~1=Q’即阵+善=£・册N丄卡Z=\—~~H~=6JmhJ-«■n711?rp所以半朮=£时，丄+*I1£?rwJi[ffS](2007^1gri/ru>5^)函数y=fM的图象与函数)=1隔讥｛広>小的圏敷关于宜圾尸H上澱下列各戒的值：(1)(b&3+log.3)(lo^2+]ogD2)+把飾.s冷；(2Xlg5>fl+lfi21«5Qi如+1.曲—Sig何ziSOF/小何旳口酣+1门百・伐7+1拙一啦JTW)IgO.31gl-3昆已卿函数=^8*u)Ca>lJ.(“求f5》的定义感,價斶(曲讨论只刃的单两性.I-解:CDill-2,t-F3—甘>0・解得一IV圧VM所H定文域为(-],3k⑵令i=2.T-l-3—j^>0,.B!l伙=】湘*.阖为工=£左+3—护=一【工一1泸+£左WC-1⑶,所以当心—1,1]时亠单调递堆-当⑶吋M单调趣减，又禺为茁一1%^布定义域內单调谨堆.所以匣数卫=】智ilb+m—严〕的進增区阿是c-u'L递减区何狂[1⑶.(3)闵为狄+3-：?=-〔龙-十也W们所"，=1口创〔盘t+$>rE)<logj4=1,所以$的麺大值为t当>■=!时*亦+吕一尹=4’所以齐=1.1解小原式=(*lq豪+*1加)(log圧+却陋町=|-*y*loffa3♦1。屛一牛阻=R⑵原式=(lg弊十I血攀=(1一】济十]fi2{S-le2)=lr11g叫沁帯?1»]u-ieioB组：已知刚薮创住芒十3—/)・⑴求定文域¥辽〕曲函数的单捌区间；求,的垠尢值’井求,取帶最大値时工的値「訐哪+牝2—1〉3lffZ+2lg2—1—=亍⑷乐弋_“(lg3F-£1昶+1【lg龄+膚-1国】0寺〕阿戸严(舟廖+M域—各)(1^3—1}X〔1亦4-豆矽―I)〔1一剧洱鬧+阿一D3Ug3-nX(]g3-bElgE—])=7因为口一所以鹤丈口>1,所Ulx<l,故览戈城为｛_"〉・因为护脂以一所以「*野即0<n_r<.a,所以lo陽tfi—ci'Xlo^d=1,故值域为f—叫1\⑵设工严:卫丈1tf（.T：i）—f（j7i）=］。心（出―aT|、一1隔（a—^ri）=】□岛：_；.因为小匕小+所以.一叨>—•所乩一犷>口一0>0、即仁：?A1，所以I。号苗$>1□占1=0,所以罷乳Q为减甬載.谢蹩型「求無函数的定宴域.【典例】当n取不同値时•讨论幕函数》=0的定罠域.解壬晋於EN_时’定义域询阳当底£且《<0吋庞殳域为⑷工丘民且工H0X当戸右％茨河-冷>1，且沪呻互质）时，若*为偶数时，肚文域为LD,+a”若Y为奇数时’定丈域为比当n=—三（p底皿心1,且fi吨互质〉时，若Y为供数吋,运文域为W’+8》:若q为许数时>煙文域为心|主E氏且巧曰>h現堰型2：進揣函数的值域，tA^l求函数厂（一/十阳十3対的值域解:专u=―^十触十乂側3=』.因为也=—丁+詆+8—債一1严+•所以0<w<4用以喝抬€2所以0墓曲暮故值域为［0卍］・幕函数1•定义£3範型:判断遁散足霄为碁函歎.【典例】下列函徹中是無函数的热〔）①胪=竝叫4妣为非霉常数,且卫工1）i（Sy=品+*jffiy—Ts：t©^=Cjr—1）\C1TO®B,®匕③④11全不是解tB2•图象和性质琼甌型箕利用踊函数的性质比较尢小.E典例】比较下列客组数的大小：14知与=一专；号匚一価】一&⑶LI"）'和卜討3C4>4.诒53.8~^WC-1.9）^解：(4)L1壬>*=1MV3.8~f<l~f=b(-].9)^<0；fffU(-l.a>^<3.S_T<4.1TL

自聽型•菲函数的单调性与奇揭性问顾.【典例】求证倆数贰£=卡朴R上为寄骑議且为增函甦.证明：因为川一文）=（—小匚一排=一/tm,故曲数/（r）=.?%奇函数*晋rj<t-t则代巾）一八业）=询一曲=（町一迥）（詁-I-显然拦L」冬找+里l总+歿三B组练习：I.已知I+2曲七，求r的取值范围.已如/（T>=（mE-Fm）^-E^\当龙班何佰.时I（打/<刃是正比例曲数匚（2）/<^是反比例西数F（3｝在第一鑒限内它的图.象是上升咄缆.已知禅函数/（7）-#在反西数广1"人冃严（3Q需求心的解析式.+沪.虫于（珥+4Jy討R且不能同时为O’甭则心=壮=0,故*1从而丁仙）一f（g><0i朗函数g=F在R上为奇函数且为堀两数，（£007,山东-T八5势）设n£T,h*,3,则便函数了=才的定艾威为R且为)B.-1,1)B.-1,1D.—]*1FgA.1,3C.—1*3SsfctA2bB.B.3D.1【例21（5007^^tTfi+5并｝函数f、=八：_：'囂'>]的图象和頤数@0=仍乐乂的国袋的交点个数是（A.-1C2作业:【惻3】（200?s上嫁丈霍小1分）函数心=r例4】人璽庚丈，T；“i分）函数—启二^+汀―…的昂小值为^汉已购函数的圏隸与函数的圈急关于貢线，=乂对解应I")A-/■(氐)=評7j'<Sjt)—ln2■ln,r(LT>0)€,/(2a7>=2<T)./(2,t)=lnx+ln2C^>€)3”若函数f(£=b亂hWV<2<1)在凶IM[伽甌]上的最尢值显最小值的3倍，则)取说数严1加•+1(t>0)的反函数为()ApW注R)£J")G了一尹」(・O1)D・了一严(QD5-ifcaXiidT^l扇数fQx)=护宀卄有战大值圖不等式log.Cr5-5x+7)>0的解韋为■设几工)一1。辭3+册的反画数为厂】3人若[/-J(m>+6：*[/-L(n)+^]=£7,^Jf(m+n)厂若正整数财满足10"丄€护山€1呼，则拠=・(1^^0.3010)乩巳知/W=log5x^e：1.9]t#FM=[fa)?+/Ct^的最價*判断禰数f")的单调性.M•已知关于盂的方程2沪7-衍I+3=0有1个抿为氛求址船值和方稈其余的根.

9■解:设尸1帕I则尸讥疋耐課=乳解^先求FCQ的定文域;:则巩刃的盘义域为［13,=（1碼卅+2血芷9■解:设尸1帕I则尸讥疋耐課=乳解^先求FCQ的定文域;:则巩刃的盘义域为［13,=（1碼卅+2血芷=（］物盂+1F—1.则当l&glu:=l时序⑺有显大值为需S10R^=a时』仗旳最小怔为0.血解:将工=z代人方寵曲中捅加一九七―0拗得门—3或半口=总时’庫方程为23E^2-7•3当门==时，區方程为卫K拗猖工一2或文=1+1弟；3.综上価求a的值为弓或当卫=律时、方程的九-槻为1一b氐i2；当ci「m时’方程的力-槻为1十所克=j^i<aI-d_IeR）-任取筠*血<祗<■〔+◎>*那临f（^L）~F（羽》—；2±［（护一0'〉_3&—厂）］.（1）3«>1时旷犷是堆函数，由JjOj>—^<—j:l得asi<fl*s,a~^<d-T't删g一讯｝一5勺一口一耳｝］<・又朮y>0,所以fhJV只筠）.所以f〔幻在（一心+呦卜.是増逓数，住）当Q<«<1时伸=于是减函數•同理可证’只工）在（一*卄）上是增番S6餘昔口）〔阳知不论<2>1曲0<也<1，/Xz）在（一8宀m）I;都是増宙数.幕函数练习：1•如隔IS32>J幕函数练习：1•如隔IS32>J内的图錢，訓（寸黑一153-0：J5.激函救F讣）={i匸3.下列共T幕函駆的四个命駆，曲屮正晞側記（人耶函数屮不存在耽不是询两数卫不是偶函敬的西毅抑见两牛幕西数有三个独共点，贝I逍^4麻函数菲雷数的團眾不讨（一1,】）点IX哥丑指数大于零时I幕函觌在［0++歸）上是增函数■«.廠數?=羽'-LGQ）的用函数忠Dbdba<-1A:奇廨数且在〔乩亠心}上单谢通减的口值检个数为（、ArI鼻2UaD.1匸函数步=徒41\=2的厨隶的兗点坐标为C）A.t-1.1）H.仃，一1；5肋□.CJ）丘显函数re的圈魁过点卜・*},那么厂⑻的值尉)A.2更B施n恵C-TD•占6.巴魁捷〉拭,则竄的取值范围为■化函数"）=：：；；：廿的单调递减区闾为Bdadd,警心1.警心1.016乩所以1^1.85,即从帶即年到】9畀年世界人口的年平沟增长G）计算尢妁爹少年以后该就市人口将达刮I玖率约.为1一药％一打人1年）；〔3）按平均塔民率】.飞5玄预测，3010年7月11⑷如果益晖后谏城市人口不超过120万■人•那口世界人口为S4-8（1+0,0185^^76.22（忆）.么年自然增设率应橙制在姜少-即14-工％=6.<—^-,0)U(1,十工f—函数应用：13题璽X利用捕敷函数姬堆哎率同题，【典例】某械市现有人口总数为loo万人*摊果自然增怏率为1.2^.试塀答下面的问题：（1）写岀该城市人口总戟口万人1与年材r（ip之间的函敷关慕式F（羅计算10年以后诙城市人口总敷（稍确到山1卫年卮谖城市人口总数为』」]00X〔l+L2%>\（2）10年后诫城市人口总號为>^100XU十]”2%>3]必兀万L（劭设工年后惚城$AU将迖劉U0万人，即100X（1+1.2/o）I=120Pa-=logL（131.20^15（年h3）设年自燃塔设率为R依题竜常100X（1十右严W120,即（1十妇如由计算器计算得孟1弋0鮎所以^0.009=0,8%.即年口然罐长車应控制在0.9%以内.【鹽创】1蜩年"I11日世界人口达到5D亿，联合国将了月11日定为“世界人口日紇年的“世界人口日"全球人口达到时飞杞r请