弹性力学第7章-弹性平面问题有限元法课件

第七章弹性平面问题有限元法§7.1弹性平面问题的基本公式

§7.2三节点三角形单元§7.3四节点矩形单元§7.4多节点单元的形函数§7.5用面积坐标表示三角形单元的形函数§7.6等效节点载荷第七章弹性平面问题有限元法§7.1弹性平面问题的基本公1§7.1弹性平面问题的基本公式

1.弹性力学平面问题的基本未知量位移:应变:应力:§7.1弹性平面问题的基本公式1.弹性力学平面问题的22.弹性力学平面问题的平衡方程3.弹性力学平面问题的几何方程2.弹性力学平面问题的平衡方程3.弹性力学平面问题的34.弹性力学平面问题的本构方程（物理方程）1)平面应力问题2)平面应变问题4.弹性力学平面问题的本构方程（物理方程）1)平面应4力的边界条件：位移边界条件:5.弹性力学平面问题的边界条件lx,ly:边界S

的外法线的方向余弦。力的边界条件：位移边界条件:5.弹性力学平面问题的边界条5§7.2三节点三角形单元

一、位移插值函数——形函数单元节点位移：xyjmi单元节点力：单元内位移：uiviujvjumvm§7.2三节点三角形单元一、位移插值函数——形函数单元6代入三个节点值，得解得A——三角形单元的面积，代入三个节点值，得解得A——三角形单元的面积，7弹性力学第7章--弹性平面问题有限元法课件8其中：

i，j，m

按逆时针转动ijm其中：i，j，m按逆时针转动ijm9同理Ni，Nj，Nm即位移插值函数，亦称形函数其中同理Ni，Nj，Nm即位移插值函数，亦称形函数其中10单元位移列阵：形函数矩阵：单元位移列阵：形函数矩阵：11形函数有如下性质：

Ni

在节点i上值为1，在节点j和m上值为0；单元任一点三个形函数之和为1；在三角形单元的一条边上，如ij上，形函数与第三个顶点m的坐标无关形函数

Ni，Nj，Nm是单元内任意一点坐标的线性函数。单元内位移场的插值函数。也就是说，单元的节点位移通过N(x,y)控制着单元的位移场的形态。所以N(x,y)称为单元的形态函数或形函数。?形函数有如下性质：形函数Ni，Nj，Nm是单元内任意一点坐12二、单元刚度矩阵应变：二、单元刚度矩阵应变：13应变矩阵：B:常数矩阵，常应变单元应力（平面应力问题）：应变矩阵：B:常数矩阵，常应变单元应力（平面应力问题）：14利用虚功原理，得:利用虚功原理，得:15式中r=i,j,m

s=i,j,m

对于平面应变问题，t取为1，将其中的E和分别换为：式中r=i,j,ms=i16例如图所示悬臂薄梁，端部受集中力P作用，

=0，求节点位移u2,v2,u3,v3。三、单元组集与求解单元组集与求解同杆系结构有限元法一样。xyP1423①②a

a

单元①：i-2，j-4，m-1例如图所示悬臂薄梁，端部受集中力P作用，=0，求节17弹性力学第7章--弹性平面问题有限元法课件18xyP1423①②a

a

单元②

：i-4，j-2，m-3xyP1423①②aa单元②：i-4，j-2，19xyP1423①②a

a

xyP1423①②aa20三角形单元小结计算简单，计算量小。单元剖分容易，可以适应复杂结构。是常应变单元，必须剖分为较多单元。三角形单元小结计算简单，计算量小。21§7.3四节点矩形单元对于具有矩形边界的平面问题，可以采用四节点矩形单元。单元中的应力可以变化，其精度比三节点三角单元要高一些。一、形函数xy矩形单元的边平行于x，y轴。(x0,y0)14232a

2b

§7.3四节点矩形单元对于具有矩形边界的平面问题22引入坐标：hxxy(x0,y0)14232a

2b

(-1

,-1)hx1423(1

,-1)(-1

,1)(1

,1)

x,h

为[-1,1]内的无量纲坐标,称自然坐标系。引入坐标：hxxy(x0,y0)14232a223单元内任意点（x,y）处位移：代入四个节点值，得写成矩阵形式：(-1

,-1)hx1423(1

,-1)(-1

,1)(1

,1)单元内任意点（x,y）处位移：代入四个节点值，得写成矩阵24解得：(-1

,-1)hx1423(1

,-1)(-1

,1)(1

,1)解得：(-1,-1)hx1423(1,-1)(-125同理其中：统一写成：(-1

,-1)hx1423(1

,-1)(-1

,1)(1

,1)同理其中：统一写成：(-1,-1)hx1423(1,26二、单元刚度矩阵记单元节点位移列阵：单元节点力列阵：单元位移列阵：二、单元刚度矩阵记单元节点位移列阵：单元节点力列阵：单元27应变：式中i=1,2,3,4应变：式中i=1,2,3,428应力（平面应力问题）：式中i=1,2,3,4应力（平面应力问题）：式中i=1,2,3,429利用虚功原理，得单刚:利用虚功原理，得单刚:30其中：

其中：31例：＝0

xyP14232a

2a

例：＝0xyP14232a2a32xyP14232a

2a

xyP14232a2a33xyP14232a

2a

xyP14232a2a34xyP14232a

2a

xyP14232a2a35§7.4多节点单元的形函数一、构造形函数的一般原则单元内任意点（x,y）处位移（原点取在单元形心）：1.独立系数的个数必须与节点数相等;2.u中必须包含常数和线性项:3.

在单元的交界线两侧,位移要连续;4.

多项式选取应由低阶到高阶，尽量能形成完全式，并考虑到表达式对x，y坐标具有对称性。§7.4多节点单元的形函数一、构造形函数的一般原则单元内任36二、多节点矩形单元的形函数1.五节点矩形单元的形函数xy1423hx5单元内位移u(x,y)可表示为:要求Nk满足:二、多节点矩形单元的形函数1.五节点矩形单元的形函数xy137从四节点矩形单元的形函数出发:构造五节点矩形单元的形函数。在节点5(0,-1)，有1423hx5从四节点矩形单元的形函数出发:构造五节点矩形单元的形函数。在381423hx56782.八节点矩形单元的形函数1423hx56782.八节点矩形单元的形函数39也可表示为：1423hx5678也可表示为：1423hx567840§7.5用面积坐标表示三角形单元的形函数一、面积坐标的概念xy231A2A1A3引入面积坐标：面积坐标变化范围：[0,1]，满足面积坐标的优点：1)单元内点的坐标与单元形状和坐标系原点的选择无关；2)三个坐标分量都在0〜1范围内变化，积分时比较方便.3)与形函数具有相同特征。(1,0,0)(0,1,0)(0,0,1)p§7.5用面积坐标表示三角形单元的形函数一、面积坐标的概念41面积坐标与直角坐标的关系求得：三节点三角形单元的形函数用面积坐标表示：xy231pA2A1A3(1,0,0)(0,1,0)(0,0,1)面积坐标与直角坐标的关系求得：三节点三角形单元的形函数用面积42与面积坐标相关的两个积分：对于边界积分，如1－2边，设边长为L：与面积坐标相关的两个积分：对于边界积分，如1－2边，设边长为43二、多节点三角形单元的形函数1.四节点三角形单元2314从三节点三角形单元的形函数出发，构造四节点三角形单元的形函数。首先构造4节点的形函数：二、多节点三角形单元的形函数1.四节点三角形单元231444六节点三角形单元的形函数231456六节点三角形单元的形函数23145645九节点三角形单元的形函数（n=3）23145679810九节点三角形单元的形函数（n=3）2314567981046§7.6等效节点载荷设沿某一单元的边界L上，分别在x和y方向作用载荷和，由虚功原理，得单元上任一节点k的等效节点载荷为：§7.6等效节点载荷设沿某一单元的边界L上，分别在x和y方47一、矩形单元等效节点载荷对于矩形单元，当载荷作用于x=±1上时，有：当载荷作用于h=±1上时，有：xyq2a

hx142356782b

在2-3边上，x=1：一、矩形单元等效节点载荷对于矩形单元，当载荷作用于当载荷作用48二、三角形单元等效节点载荷对于三角形单元，形函数用面积坐标表示。在2－3边上，231456qxy二、三角形单元等效节点载荷对于三角形单元，形函数用面49三、用拉格朗日多项式导出形函数1.

用拉格朗日多项式导出四节点矩形单元的形函数拉格朗日多项式:设x轴上有n+1个点x0,x1,…,xn,则函数f(x)可以用拉格朗日多项式表示为：其中：三、用拉格朗日多项式导出形函数1.用拉格朗日多项式导出四节50第七章弹性平面问题有限元法§7.1弹性平面问题的基本公式

§7.2三节点三角形单元§7.3四节点矩形单元§7.4多节点单元的形函数§7.5用面积坐标表示三角形单元的形函数§7.6等效节点载荷第七章弹性平面问题有限元法§7.1弹性平面问题的基本公51§7.1弹性平面问题的基本公式

1.弹性力学平面问题的基本未知量位移:应变:应力:§7.1弹性平面问题的基本公式1.弹性力学平面问题的522.弹性力学平面问题的平衡方程3.弹性力学平面问题的几何方程2.弹性力学平面问题的平衡方程3.弹性力学平面问题的534.弹性力学平面问题的本构方程（物理方程）1)平面应力问题2)平面应变问题4.弹性力学平面问题的本构方程（物理方程）1)平面应54力的边界条件：位移边界条件:5.弹性力学平面问题的边界条件lx,ly:边界S

的外法线的方向余弦。力的边界条件：位移边界条件:5.弹性力学平面问题的边界条55§7.2三节点三角形单元

一、位移插值函数——形函数单元节点位移：xyjmi单元节点力：单元内位移：uiviujvjumvm§7.2三节点三角形单元一、位移插值函数——形函数单元56代入三个节点值，得解得A——三角形单元的面积，代入三个节点值，得解得A——三角形单元的面积，57弹性力学第7章--弹性平面问题有限元法课件58其中：

i，j，m

按逆时针转动ijm其中：i，j，m按逆时针转动ijm59同理Ni，Nj，Nm即位移插值函数，亦称形函数其中同理Ni，Nj，Nm即位移插值函数，亦称形函数其中60单元位移列阵：形函数矩阵：单元位移列阵：形函数矩阵：61形函数有如下性质：

Ni

在节点i上值为1，在节点j和m上值为0；单元任一点三个形函数之和为1；在三角形单元的一条边上，如ij上，形函数与第三个顶点m的坐标无关形函数

Ni，Nj，Nm是单元内任意一点坐标的线性函数。单元内位移场的插值函数。也就是说，单元的节点位移通过N(x,y)控制着单元的位移场的形态。所以N(x,y)称为单元的形态函数或形函数。?形函数有如下性质：形函数Ni，Nj，Nm是单元内任意一点坐62二、单元刚度矩阵应变：二、单元刚度矩阵应变：63应变矩阵：B:常数矩阵，常应变单元应力（平面应力问题）：应变矩阵：B:常数矩阵，常应变单元应力（平面应力问题）：64利用虚功原理，得:利用虚功原理，得:65式中r=i,j,m

s=i,j,m

对于平面应变问题，t取为1，将其中的E和分别换为：式中r=i,j,ms=i66例如图所示悬臂薄梁，端部受集中力P作用，

=0，求节点位移u2,v2,u3,v3。三、单元组集与求解单元组集与求解同杆系结构有限元法一样。xyP1423①②a

a

单元①：i-2，j-4，m-1例如图所示悬臂薄梁，端部受集中力P作用，=0，求节67弹性力学第7章--弹性平面问题有限元法课件68xyP1423①②a

a

单元②

：i-4，j-2，m-3xyP1423①②aa单元②：i-4，j-2，69xyP1423①②a

a

xyP1423①②aa70三角形单元小结计算简单，计算量小。单元剖分容易，可以适应复杂结构。是常应变单元，必须剖分为较多单元。三角形单元小结计算简单，计算量小。71§7.3四节点矩形单元对于具有矩形边界的平面问题，可以采用四节点矩形单元。单元中的应力可以变化，其精度比三节点三角单元要高一些。一、形函数xy矩形单元的边平行于x，y轴。(x0,y0)14232a

2b

§7.3四节点矩形单元对于具有矩形边界的平面问题72引入坐标：hxxy(x0,y0)14232a

2b

(-1

,-1)hx1423(1

,-1)(-1

,1)(1

,1)

x,h

为[-1,1]内的无量纲坐标,称自然坐标系。引入坐标：hxxy(x0,y0)14232a273单元内任意点（x,y）处位移：代入四个节点值，得写成矩阵形式：(-1

,-1)hx1423(1

,-1)(-1

,1)(1

,1)单元内任意点（x,y）处位移：代入四个节点值，得写成矩阵74解得：(-1

,-1)hx1423(1

,-1)(-1

,1)(1

,1)解得：(-1,-1)hx1423(1,-1)(-175同理其中：统一写成：(-1

,-1)hx1423(1

,-1)(-1

,1)(1

,1)同理其中：统一写成：(-1,-1)hx1423(1,76二、单元刚度矩阵记单元节点位移列阵：单元节点力列阵：单元位移列阵：二、单元刚度矩阵记单元节点位移列阵：单元节点力列阵：单元77应变：式中i=1,2,3,4应变：式中i=1,2,3,478应力（平面应力问题）：式中i=1,2,3,4应力（平面应力问题）：式中i=1,2,3,479利用虚功原理，得单刚:利用虚功原理，得单刚:80其中：

其中：81例：＝0

xyP14232a

2a

例：＝0xyP14232a2a82xyP14232a

2a

xyP14232a2a83xyP14232a

2a

xyP14232a2a84xyP14232a

2a

xyP14232a2a85§7.4多节点单元的形函数一、构造形函数的一般原则单元内任意点（x,y）处位移（原点取在单元形心）：1.独立系数的个数必须与节点数相等;2.u中必须包含常数和线性项:3.

在单元的交界线两侧,位移要连续;4.

多项式选取应由低阶到高阶，尽量能形成完全式，并考虑到表达式对x，y坐标具有对称性。§7.4多节点单元的形函数一、构造形函数的一般原则单元内任86二、多节点矩形单元的形函数1.五节点矩形单元的形函数xy1423hx5单元内位移u(x,y)可表示为:要求Nk满足:二、多节点矩形单元的形函数1.五节点矩形单元的形函数xy187从四节点矩形单元的形函数出发:构造五节点矩形单元的形函数。在节点5(0,-1)，有1423hx5从四节点矩形单元的形函数出发:构造五节点矩形单元的形函数。在881423hx56782.八节点矩形单元的形函数1423hx56782.八节点矩形单元的形函数89也可表示为：1423hx5678也可表示为：1423hx567890§7.5用面积坐标表示三角形单元的形函数一、面积坐标的概念xy231A2A1A3引入面积坐标：面积坐标变化范围：[0,1]，满足面积坐标的优点：1)单元内点的坐标与单元形状和坐标系原点的选择无关；2)三个坐标分量都在0〜1范围内变化，积分时比较方便.3)与形函数具有相同特征。(1,0,0)(0,1,0)(0,0,1)p§7.5用面积坐标表示三角形单元的形函数一、面积坐标的概念91面积坐标与直角坐标的关系求得：三节点三角形单元的形函数用面积坐标表示：xy231p