单自由度系统在简谐激励下的受迫振动

第二章单自由度系统在简谐激励下的受迫振动

2.1.1振动微分方程2.1.2受迫振动的振幅B、相位差的讨论2.1.3受迫振动系统力矢量的关系2.1.4受迫振动系统的能量关系2.1.5等效粘性阻尼2.1.6简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段

单自由度系统在简谐激励下的受迫振动共44页，您现在浏览的是第1页!受迫振动－激励形式－系统在外界激励下产生的振动。

外界激励一般为时间的函数，可以是周期函数，也可以是非周期函数。

简谐激励是最简单的激励。一般的周期性激励可以通过傅里叶级数展开成简谐激励的叠加。单自由度系统在简谐激励下的受迫振动共44页，您现在浏览的是第2页!有阻尼系统在简谐激励力作用下的运动微分方程

微分方程全解：齐次方程的解加非齐次方程的特解齐次解:x1(t)特解:x2(t)有阻尼系统在简谐激励下，运动微分方程的全解2.1.1振动微分方程

单自由度系统在简谐激励下的受迫振动共44页，您现在浏览的是第3页!有阻尼系统在简谐激励下，运动微分方程的全解

x2(t)-有阻尼系统简谐激励响应中的特解是指不随时间衰减的稳态响应：2.1.1振动微分方程它与激励同频，但有一个相位差单自由度系统在简谐激励下的受迫振动共44页，您现在浏览的是第4页!Bysubstitutingtheparticularsolutiontobedeterminedintothedifferentialequationofmotion

Wearriveat

Usingthetrigonometricrelations

单自由度系统在简谐激励下的受迫振动共44页，您现在浏览的是第5页!稳态受迫振动的振幅与滞后相位差均与初始条件无关，仅仅取决于系统和激励的特性。2.1.1振动微分方程单自由度系统在简谐激励下的受迫振动共44页，您现在浏览的是第6页!

在低频区和高频区，当<<1时，由于阻尼影响不大，为了简化计算，可将有阻尼系统简化为无阻尼系统。2.1.2受迫振动的振幅B、相位差的讨论单自由度系统在简谐激励下的受迫振动共44页，您现在浏览的是第7页!5品质因子与半功率带宽共振(仍按考虑)时的放大因子称为品质因子。由前面的公式得单自由度系统在简谐激励下的受迫振动共44页，您现在浏览的是第8页!例题.质量为M的电机安装在弹性基础上。由于转子不均衡，产生偏心，偏心距为e，偏心质量为m。转子以匀角速w转动如图示，试求电机的运动。弹性基础的作用相当于弹簧常量为k的弹簧。设电机运动时受到粘性欠阻尼的作用，阻尼系数为c。

解：取电机的平衡位置为坐标原点O，x轴铅直向下为正。作用在电机上的力有重力Mg、弹性力F、阻尼力FR、虚加的惯性力FIe、FIr，受力图如图所示。

转子偏心引起的受迫振动单自由度系统在简谐激励下的受迫振动共44页，您现在浏览的是第9页!电机作受迫振动的运动方程为当激振力的频率即电机转子的角速度等于系统的固有频率pn时，该振动系统产生共振，此时电机的转速称为临界转速。

单自由度系统在简谐激励下的受迫振动共44页，您现在浏览的是第10页!简谐力和转子偏心引起的受迫振动的比较单自由度系统在简谐激励下的受迫振动共44页，您现在浏览的是第11页!Iftheabsolutemotionxofthemassisdesired,wecansolveforx=z+y.UsingtheexponentialformofharmonicmotiongivesSubstitutingintoEq.,weobtainandResponseofadampedsystemundertheharmonicmotionofthebase单自由度系统在简谐激励下的受迫振动共44页，您现在浏览的是第12页!ResponseofadampedS.D.O.F.systemundertheharmonicmotionofthebaseStophereafter100minutes

幅频特性曲线和相频特性曲线单自由度系统在简谐激励下的受迫振动共44页，您现在浏览的是第13页!2.1.3受迫振动系统力矢量的关系已知简谐激振力稳态受迫振动的响应为现将各力分别用B、的旋转矢量表示。应用达朗贝尔原理，将弹簧质量系统写成式不仅反映了各力间的相位关系，而且表示着一个力多边形。惯性力阻尼力弹性力激振力单自由度系统在简谐激励下的受迫振动共44页，您现在浏览的是第14页!2.1.4受迫振动系统的能量关系从能量的观点分析，振动系统稳态受迫振动的实现，是输入系统的能量和消耗的能量平衡的结果。现将讨论简谐激振力作用下的系统，在稳态受迫振动中的能量关系。受迫振动系统的稳态响应为周期

1.激振力在系统发生共振的情况下，相位差，激振力在一周期内做功为，做功最多。

单自由度系统在简谐激励下的受迫振动共44页，您现在浏览的是第15页!3.弹性力做的功能量曲线

表明弹性力在一个振动周期内做功之和为零。

在一个振动周期内激振力做功之和等于阻尼力消耗的能量2.1.4受迫振动系统的能量关系单自由度系统在简谐激励下的受迫振动共44页，您现在浏览的是第16页!根据初始条件确定C1、C2。于是得到全解为其特点是振动频率为系统的固有频率,但振幅与系统本身的性质及激励因素都有关。无激励时的自由振动系统对初始条件的响应对于存在阻尼的实际系统,自由振动和自由伴随振动的振幅都将随时间逐渐衰减,因此它们都是瞬态响应。稳态强迫振动伴随激励而产生自由振动,称为自由伴随振动2.1.5简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段

单自由度系统在简谐激励下的受迫振动共44页，您现在浏览的是第17页!可见,当时,无阻尼系统的振幅随时间无限增大.经过短暂时间后,共振响应可以表示为此即共振时的受迫振动.反映出共振时的位移在相位上比激振力滞后,且振幅与时间成正比地增大

2.1.5简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段

图共振时的受迫振动单自由度系统在简谐激励下的受迫振动共44页，您现在浏览的是第18页!如果初始位移与初始速度都为零，则成为可见过渡阶段的响应仍含有自由伴随振动。

2.1.5简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段过渡阶段的响应

单自由度系统在简谐激励下的受迫振动共44页，您现在浏览的是第19页!

若系统无阻尼，即使在零初始条件下，也存在自由伴随振动项，并且由于无阻尼，因而振动不会随时间衰减。因此，无阻尼系统受简谐激励产生的受迫振动，一般总是pn和两个不同频率简谐振动的叠加。2.1.5简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段单自由度系统在简谐激励下的受迫振动共44页，您现在浏览的是第20页!得到在该阻尼作用下受迫振动的振幅

利用式单自由度系统在简谐激励下的受迫振动共44页，您现在浏览的是第21页!2）结构阻尼：在一个周期内，结构阻尼消耗的能量与

振幅平方成正比，而且在很大一个频率范围内与频

率无关，故

得等效粘性阻尼系数为

单自由度系统在简谐激励下的受迫振动共44页，您现在浏览的是第22页!专题一隔振原理（见Word文档）单自由度系统在简谐激励下的受迫振动共44页，您现在浏览的是第23页!2.1.1振动微分方程简谐激振力以平衡位置O为坐标原点，x轴铅直向下为正，物块运动微分方程为具有粘性阻尼的单自由度受迫振动微分方程，是二阶常系数线性非齐次常微分方程。

单自由度系统在简谐激励下的受迫振动共44页，您现在浏览的是第24页!简谐激励下的全解、瞬态振动和稳态振动

可见，对于工程实际来说，更关心的是稳态振动，因为瞬态振动只在振动开始后的一段时间内才有意义。单自由度系统在简谐激励下的受迫振动共44页，您现在浏览的是第25页!Equatingthecoefficientsofandonbothsidesoftheresultingequation,weobtainSolutionoftheaboveequationgivestheamplitudeandphaseangleofthesteadystateresponseofthedampedmass-springsystemunderharmonicexcitation:单自由度系统在简谐激励下的受迫振动共44页，您现在浏览的是第26页!2.1.2受迫振动的振幅B、相位差的讨论单自由度系统在简谐激励下的受迫振动共44页，您现在浏览的是第27页!幅频特性与相频特性1、＝0

的附近区域(低频区或弹性控制区)，＝0，响应与激励同相；对于不同的值，曲线密集，阻尼影响不大。2、>>1的区域(高频区或惯性控制区)，，，响应与激励反相；阻尼影响也不大。3、＝1的附近区域(共振区)，急剧增大并在

＝1略为偏左处有峰值。通常将＝1，即＝

pn称为共振频率。阻尼影响显著且阻尼愈小，幅频响应曲线愈陡峭，峰值越大。4、在相频特性曲线图上，无论阻尼大小，＝1时，总有，＝

/2,这也是共振的重要现象。2.1.2受迫振动的振幅B、相位差的讨论

单自由度系统在简谐激励下的受迫振动共44页，您现在浏览的是第28页!品质因子与半功率带宽在＝1两侧，幅频特性曲线可以近似地看成是对称的。放大因子为的两个点称为半功率点。对应于这两个点的激励频率分别为和，它们的差称为半功率带宽。利用放大因子的表达式，可以求得两个半功率点对应的频率比，即外激励频率，注意到可得品质因子反映了系统阻尼的强弱和共振峰的陡峭程度。利用上式，可以根据试验估算品质因子或阻尼比。单自由度系统在简谐激励下的受迫振动共44页，您现在浏览的是第29页!根据达朗贝尔原理，有=h转子偏心引起的受迫振动单自由度系统在简谐激励下的受迫振动共44页，您现在浏览的是第30页!阻尼比z较小时，在l=1附近，b值急剧增大，发生共振。由于激振力的幅值me2与2成正比。当→0时，≌0，B→0；当>>1时，→1，B→b，即电机的角速度远远大于振动系统的固有频率时，该系统受迫振动的振幅趋近于。

幅频特性曲线和相频特性曲线转子偏心引起的受迫振动单自由度系统在简谐激励下的受迫振动共44页，您现在浏览的是第31页!TheformofthisequationisidenticaltothatofEq.,wherezreplacesxandreplaces.thedifferentialequationofmotionisMakingthesubstitutionEq.beeswherey=Yhasbeenassumedforthemotionofthebase.ThusthesolutioncanbeimmediatelywrittenasResponseofadampedsystemundertheharmonicmotionofthebase

单自由度系统在简谐激励下的受迫振动共44页，您现在浏览的是第32页!Thesteady-stateamplitudeandphasefromthisequationareandResponseofadampedsystemundertheharmonicmotionofthebase单自由度系统在简谐激励下的受迫振动共44页，您现在浏览的是第33页!也可以不按相对运动求解（见郑兆昌《机械振动》），而直接求解质量块的绝对运动。此时的运动微分方程为即相当于质量块受到了两个简谐激励的作用。不论是利用三角函数关系还是利用复指数函数，所得结果与上述结果相同。单自由度系统在简谐激励下的受迫振动共44页，您现在浏览的是第34页!（a）力多边形(b)z

＜＜1(c)z

=1(d)z

＞＞12.1.3受迫振动系统力矢量的关系单自由度系统在简谐激励下的受迫振动共44页，您现在浏览的是第35页!对于无阻尼系统(除共振情况外)相位差。因此，每一周期内激振力做功之和为零，形成稳态振动。

或2.粘性阻尼力做的功上式表明，在一个周期内，阻尼做负功。它消耗系统的能量。而且做的负功和振幅B的平方成正比。由于受迫振动在共振区内振幅较大，所以，粘性阻尼能明显地减小振幅、有效地控制振幅的大小。这种减小振动的方法是用消耗系统的能量而实现的。2.1.4受迫振动系统的能量关系单自由度系统在简谐激励下的受迫振动共44页，您现在浏览的是第36页!2.1.5简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段

系统在过渡阶段对简谐激励响应是瞬态响应与稳态响应叠加。先考虑在给定初始条件下无阻尼系统对简谐激励的响应,系统的运动微分方程和初始条件写在一起为通解是相应的齐次方程的通解与特解的和,即单自由度系统在简谐激励下的受迫振动共44页，您现在浏览的是第37页!共振时的情况假设初始条件为由共振的定义,时上式是型,利用洛必达法则算出共振时的响应为

2.1.5简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段单自由度系统在简谐激励下的受迫振动共44页，您现在浏览的是第38页!有阻尼系统在过渡阶段对简谐激励的响应.在给定初始条件下的运动微分方程为

全解为式中2.1.5简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段

单自由度系统在简谐激励下的受迫振动共44页，您现在浏览的是第39页!在简谐激励的作用下，有阻尼系统