第3章优化设计-现代设计方法教学课件

优化设计主要讲述内容优化设计概述优化数学模型优化设计的数学基础一维搜索方法无约束优化方法约束优化方法优化设计主要讲述内容优化设计概述1第一节优化设计概述定义：在现代计算机广泛应用的基础上发展起来的一项新技术，是根据最优化原理和方法综合各方面的因素，以人机配合方式或“自动探索”方式，在计算机上进行的自动或半自动设计，以选出现有工程条件下的最佳设计方案的一种现代设计方法。设计原则：最优设计设计手段：电子计算机和计算程序设计方法：最优化数学方法第一节优化设计概述定义：在现代计算机广泛应用的基础上发展起2第一节优化设计概述机械优化设计在给定的载荷或环境条件下，在对机械产品的性态、几何尺寸关系或其他因素的限制（约束）范围内，选取设计变量，建立目标函数并使其获得最优值的一种新的设计方法。设计变量、目标函数和约束条件三者在设计空间（以设计变量为坐标轴组成的实空间）的几何表示中构成设计问题。第一节优化设计概述机械优化设计3第一节优化设计概述优化设计与传统设计的比较

机械的传统设计方法:基于手工劳动或简易计算工具,低效,一般只能获得一个可行的设计方案。机械的优化设计方法：基于计算机的应用，从实际问题中抽象出数学模型;选择合适的优化方法求解数学模型。以人机配合或自动搜索方式进行，能从“所有的”可行方案中找出“最优的”设计方案。第一节优化设计概述优化设计与传统设计的比较4第一节优化设计概述优化设计的求解方法

古典方法:微分法;变分法。仅能解决简单的极值问题。现代方法:数学规划方法，可求解包含等式约束和不等式约束的复杂的优化问题。有线性规划、非线性规划、几何规划、动态规划和混合离散规划等。第一节优化设计概述优化设计的求解方法古典5第一节优化设计方法概述优化设计方法的发展是适于生产建设、计划管理、科学实验和战争的需要发展起来的。1）二十世纪三十年代.前苏联Канторович根据生产组织和计划管理的需要提出线性规划问题.在第二次世界大战期间出于战争运输需要，提出线性规划问题的解法；2）二十世纪五十年代末.H.W.Kuhn&A.W.Tucker提出非线性规划的基本定理,奠定了非线性规划的理论基础.其求解方法在六十年代获得飞速发展;第一节优化设计方法概述优化设计方法的发展是适于生产建设、计6第一节优化设计概述3)二十世纪六十年代.美数学家R.J.Duffin提出了几何规划,可把高度非线性的问题转化为具有线性约束的问题来求解,使计算大为简化;4)动态规划由R.Bellman创立,可解与时间有关的最优化问题;5)混合离散规划是二十世纪八十年代提出的,目前仍在发展过程中。优化设计方法的发展第一节优化设计概述3)二十世纪六十年代.美数学家R.J.7第一节优化设计概述*最优化方法用于机械设计是从二十世纪六十年代开始的,较早的成果主要反映在机构的优化设计方面,现已广泛用于机械零部件设计和机械系统的优化设计.优化设计方法的发展第一节优化设计概述*最优化方法用于机械设计是从二十世纪六8第二节优化数学模型引例1.要用薄钢板制造一体积为5的长方形汽车货箱(无上盖),其长度要求不超过4m.问如何设计可使耗用的钢板表面积最小?第二节优化数学模型引例9第二节优化数学模型解:设货箱的长、宽、高分别为，该问题可表示为：求

使

达到最小满足于其解为：第二节优化数学模型解:设货箱的长、宽、高分别为10该问题可表示为求使满足于解：由有2.设计一曲柄摇杆机构.已知:要求:使达到最大.该问题可表示为解：由有2.设11第二节优化数学模型二.优化数学模型

求使满足于第二节优化数学模型二.优化数学模型求使满足于12第二节优化数学模型二.优化数学模型

完整的规格化的数学模型包含三要素：设计变量，目标函数，约束函数。由于数学模型构成不同，可以分为：无约束优化有约束优化线性规划非线性规划第二节优化数学模型二.优化数学模型完整的规格化的数13第二节优化数学模型二.优化数学模型

例:求解二维问题s.t.X2X1f123第二节优化数学模型二.优化数学模型例:求解二维问题14第二节优化数学模型二.优化数学模型

第二节优化数学模型二.优化数学模型15第二节优化数学模型三.设计变量

在设计中需进行优选的独立的待求参数；ⅰ)设计常量—预先已给定的参数；ⅱ)设计方案—由设计常量和设计变量组成。ⅲ)维数—设计变量的个数n.通常,设计自由度,越能获得理想的结果,但求解难度.第二节优化数学模型三.设计变量在设计中需进行优选的16第二节优化数学模型三.设计变量

1)设计点与设计向量—每组设计变量值对应于以n个设计变量为坐标轴的n维空间上的一个点，该点称设计点.原点到该点的向量称设计向量.*可用数组表示：*设计点有连续与不连续之分;第二节优化数学模型三.设计变量1)设计点与设计向量17第二节优化数学模型三.设计变量

2)设计空间—设计点的集合（维实欧氏空间）。当设计点连续时,为直线;为平面;为立体空间;为超越空间.第二节优化数学模型三.设计变量2)设计空间—设计点18第二节优化数学模型四.目标函数

最好的性能;最小的重量;最紧凑的外形;最小的生产成本;最大的经济效益等.---对极大化问题可取原函数的负值③常处理为极小化形式;②单目标和多目标；①常用指标:数学模型中用来评价设计方案优劣的函数式（又称评价函数):第二节优化数学模型四.目标函数最19第二节优化数学模型四.目标函数

在无约束极小点处，等值线一般收缩一个点。如:目标函数的等值线（面）—能使目标函数取某一定值的所有设计点的集合;第二节优化数学模型四.目标函数在无约束极小点处，20第二节优化数学模型五.约束函数

—对设计变量的取值范围加以限制的条件；为使问题有解，须使(1)按约束的数学形式分不等式约束：

等式约束：第二节优化数学模型五.约束函数—对设计变量的取值范21第二节优化数学模型五.约束函数

—对设计变量的取值范围加以限制的条件；---由需满足的某种性能条件而导出的约束(如强度条件、刚度条件、曲柄存在条件等）。---对某个设计变量直接给出取值范围:边界约束性能约束(2)按约束的作用分*此外，也有将约束分成显约束和隐约束的。第二节优化数学模型五.约束函数—对设计变量的取值范22第二节优化数学模型五.约束函数

(2)不可行域:

—满足约束条件的设计点的集合

用D表示:(1)可行域—约束函数将设计空间分为可行域和不可行域第二节优化数学模型五.约束函数(2)不可行域:23第二节优化数学模型五.约束函数

满足

的约束为起作用约束,否则为不起作用的约束.(等式约束一定是起作用约束)ⅲ)起作用的约束与不起作用的约束约束边界上的可行点为边界点,其余可行点为内点.ⅱ)边界点与内点D内的设计点为可行点,否则为不可行点.*ⅰ)可行点与不可行点第二节优化数学模型五.约束函数满足24第二节优化数学模型六.优化数学模型的求解

优化设计工作包括两部分内容：将设计问题的物理模型转化为数学模型；用适当的最优化方法求解数学模型。1)解析法---对简单的无约束问题及等式约束问题;2)图解法---对简单的低维问题;3)数值迭代法---利用计算机按某种逻辑方式反复运算,是最基本的方法。第二节优化数学模型六.优化数学模型的求解优化设计工25第二节优化数学模型六.优化数学模型的求解

产生点列:使得:当满足终止迭代条件时,便认为达到了最优点.迭代过程3)数值迭代法---利用计算机按某种逻辑方式反复运算,是最基本的方法。第二节优化数学模型六.优化数学模型的求解产生点列:26第二节优化数学模型ⅰ）迭代公式:六.优化数学模型的求解

其中,

称为迭代点.第二节优化数学模型ⅰ）迭代公式:六.优化数学模型的求解27第二节优化数学模型六.优化数学模型的求解

1.初始点:2.搜索方向:3.步长:4.是否终止迭代.ⅱ）需解决的问题：--后三个问题是每次迭代都要解决的问题第二节优化数学模型六.优化数学模型的求解1.初28第二节优化数学模型六.优化数学模型的求解

ⅲ）算法的收敛性、收敛速度和收敛准则：算法的收敛性第二节优化数学模型六.优化数学模型的求解ⅲ）算法的29第二节优化数学模型六.优化数学模型的求解

ⅲ）算法的收敛性、收敛速度和收敛准则：一般根据算法对正定二次函数的求解能力来判断，能在有限步迭代中得到其极小点，称算法具有二次收敛性。具有二次收敛性的算法是收敛速度较高的方法。算法的收敛速度第二节优化数学模型六.优化数学模型的求解ⅲ）算法的30第二节优化数学模型六.优化数学模型的求解

ⅲ）算法的收敛性、收敛速度和收敛准则：算法的收敛准则①点距准则第二节优化数学模型六.优化数学模型的求解ⅲ）算法的31第二节优化数学模型六.优化数学模型的求解

ⅲ）算法的收敛性、收敛速度和收敛准则：算法的收敛准则②目标函数下降量准则相对下降量准则绝对下降量准则第二节优化数学模型六.优化数学模型的求解ⅲ）算法的32第二节优化数学模型六.优化数学模型的求解

ⅲ）算法的收敛性、收敛速度和收敛准则：算法的收敛准则③梯度准则第二节优化数学模型六.优化数学模型的求解ⅲ）算法的33第二节优化数学模型六.优化数学模型的求解

ⅲ）算法的收敛性、收敛速度和收敛准则：算法的收敛准则③梯度准则以上各准则单独使用时并非十分可靠，有时需几种准则联用。第二节优化数学模型六.优化数学模型的求解ⅲ）算法的34第三节优化设计的数学基础一.函数的泰勒展开式

一元函数的Taylor展开式*在实际计算中,常取前三项(二次函数)来近似原函数:第三节优化设计的数学基础一.函数的泰勒展开式一元函35第三节优化设计的数学基础一.函数的泰勒展开式

多元函数的Taylor展开式第三节优化设计的数学基础一.函数的泰勒展开式多元函36第三节优化设计的数学基础一.函数的泰勒展开式

多元函数的Taylor展开式梯度海赛(Hessian)矩阵第三节优化设计的数学基础一.函数的泰勒展开式多元函37第三节优化设计的数学基础故解：例：将函数

写成在点

处泰勒展开式的矩阵形式。第三节优化设计的数学基础故解：例：将函数38第三节优化设计的数学基础二.二次其次矩阵

系数矩阵第三节优化设计的数学基础二.二次其次矩阵系数矩阵39第三节优化设计的数学基础二.二次其次矩阵

*矩阵A为正定的充要条件--A的各阶主子式均大于零。如

为正定，则必有：第三节优化设计的数学基础二.二次其次矩阵*矩阵A40第三节优化设计的数学基础三.方向导数

函数沿指定方向

的平均变化率的极限。第三节优化设计的数学基础三.方向导数函数沿指定方向41第三节优化设计的数学基础三.方向导数

第三节优化设计的数学基础三.方向导数42第三节优化设计的数学基础三.方向导数

第三节优化设计的数学基础三.方向导数43第三节优化设计的数学基础三.梯度

令单位矢量于是第三节优化设计的数学基础三.梯度令单位矢量于是44第三节优化设计的数学基础三.梯度

从上式可得出如下结论：最优点*最速下降只是局部性质.4）在与梯度垂直的方向（等值线的切线方向）上，函数的变化率为零。2）梯度的模是最大的方向导数,负梯度方向是函数的最速下降方向；1）方向导数是梯度在指定方向上的投影；3）最速下降方向为等值线（面）的法线方向；第三节优化设计的数学基础三.梯度从上式可得出如下结45第三节优化设计的数学基础四.共轭方向

*

几何意义:经过线性变换A后成了与

正交的向量.例：

设A为n*n阶正定对称矩阵，是两个n维向量，若存在则称

对A共轭。第三节优化设计的数学基础四.共轭方向*几何意义46第三节优化设计的数学基础四.共轭方向

*这种性质称为有限步收敛性（亦称二次收敛性）（2）从任意选定的初始点出发，只要依次沿n个共轭方向进行一维搜索，一轮后便可达到n元正定二次函数的极小点。（1）若矢量系

彼此对正定对称矩阵A共轭，则它们组成线性无关的矢量系；共轭方向的性质第三节优化设计的数学基础四.共轭方向*这种性质47第三节优化设计的数学基础四.共轭方向

正定二元二次函数的性质（1）正定二元二次函数的等值线是一族同心椭圆，其中心坐标就是该函数的极小点。（2）过同心椭圆族的中心作任意直线与椭圆族中任意两椭圆相交，再过两交点所作相应椭圆的切线必相互平行。逆命题:

设两平行线与同心椭圆族中两椭圆分别相切于

点,则过

的直线必通过椭圆族的中心。第三节优化设计的数学基础四.共轭方向正定二元二次函48第三节优化设计的数学基础四.共轭方向

构成共轭方向的方法设

为平行于

的两条直线，则过这两直线上正定n元二次目标函数的极小点

的向量

和

对Hession矩阵A共轭。

第三节优化设计的数学基础四.共轭方向构成共轭方向的49

再从

出发，沿

搜索得2）取初始点，沿

方向搜索

解：1）例：对于目标函数，给定，试求出与

共轭的方向，并求出目标函数的极小点。再从出发，沿搜索得2）取初始点50第三节优化设计的数学基础五.函数的凸性

XX2X1凸集非凸集凹集*若X是X1和X2连线上的点，则有凸集---若任意两点

，对于

，恒有。第三节优化设计的数学基础五.函数的凸性XX2X1凸51第三节优化设计的数学基础五.函数的凸性

凸函数—设f(X)为定义在Rn内一个凸集D上的函数，若对于

及D上的任意两点X1,X2,恒有第三节优化设计的数学基础五.函数的凸性凸函数—设f52第三节优化设计的数学基础五.函数的凸性

为凸函数的充要条件是对于任意的(D为凸集),凸函数的判定第三节优化设计的数学基础五.函数的凸性为凸函数的充53第三节优化设计的数学基础六.优化问题存在极值的条件

梯度为零向量海赛矩阵正定多元函数具有极小值的充要条件一元函数具有极小值的充要条件第三节优化设计的数学基础六.优化问题存在极值的条件54第三节优化设计的数学基础六.优化问题存在极值的条件

（2）对于整个可行域，恒有，则X*为全局极小点；（1）对于X*在可行域中的一个邻域，恒有，则X*为局部极小点；局部极小点与全局极小点第三节优化设计的数学基础六.优化问题存在极值的条件55第四节一维搜索方法一.一维问题是多维问题的基础如：*在上次迭代中已求得，由某种逻辑方式（如负梯度方向、共轭方向等）给定，每次迭代可归结为以

为变量的一维问题。则当第四节一维搜索方法一.一维问题是多维问题的基础如：*56第四节一维搜索方法二.的确定方法上例中，2）取最优步长：上例中，--能使目标函数值下降的步长；1）取下降步长（任意步长）：第四节一维搜索方法二.的确定方法上例中，2）取最优57第四节一维搜索方法三.一维搜索的步骤2）将含最优点的区间不断缩小1）确定一个包含最优点的初始搜索区间特点：高--低--高*区间缩短率：

当该区间的长度小于预先给定的一个很小的正数，则可认为该区间中的某点(如中点)是最优点。第四节一维搜索方法三.一维搜索的步骤2）将含最优点的区间不58第四节一维搜索方法四.确定初始区间的进退算法前进计算后退计算—试探后作前进或后退计算。第四节一维搜索方法四.确定初始区间的进退算法前进计算后退计59第四节一维搜索方法四.确定初始区间的进退算法h=h0y1=f(x1)、x2=x1+h、y2=f(x2)给定x1、h0y1≥y2y2≥y3是h=2hx3=x2+h、y3=f(x3)结束否h=-hx3=x1y3=y1a=x1、b=x3是x1=x2y1=y2x2=x3y2=y3是a=x3、b=x1否h>0否初始进退距计算程序框图第四节一维搜索方法四.确定初始区间的进退算法h=h0y1=60khx1y1x2y2x3y310.10.2090.18.2030.36.68120.40.18.2030.36.6810.74.42930.80.36.6810.74.4291.57.125khx1y1x2y2x3y3161第四节一维搜索方法五.格点法ab先将搜索区间分成若干等分，计算出当中的n个等分点的目标函数值。再通过比较,找出其中的最小点，则该点的两个邻近点围成缩短了的新区间。1）基本思路第四节一维搜索方法五.格点法ab先将搜索区间分成62第四节一维搜索方法五.格点法2）每轮迭代区间的缩短率思路简单，编程容易，宜于离散型优化问题；计算量大，不宜用于高维优化问题。3）特点第四节一维搜索方法五.格点法2）每轮迭代区间的缩短率思路简63第四节一维搜索方法六.黄金分割法1）基本思路为预先给定的误差限。缩短区间的总次数

将区间按一定的比例缩小，且正常迭代时每缩短一次区间只需计算一次函数值。第四节一维搜索方法六.黄金分割法1）基本思路为预先给定的误64令得：其正根为：证：*①关于

的证明令得：其正根为：证：*①关于的65②关于缩小区间总次数的证明即证：②关于缩小区间总次数的证明即证：66第四节一维搜索方法六.黄金分割法2）迭代步骤给定否否是是止*也可采用迭代次数是否大于或等于k作终止准则。第四节一维搜索方法六.黄金分割法2）迭代步骤给定否否是是止67第四节一维搜索方法七.二次插值法1）基本思路ⅡⅠ原函数用三点二次插值多项式来逼近原函数。第四节一维搜索方法七.二次插值法1）基本思路ⅡⅠ原函数用三68第四节一维搜索方法求出a、b后得求系数a和b求驻点插值多项式：第四节一维搜索方法求出a、b后得求系数a和b求驻点插值多项69区间的缩短x4=0.5(x1+x2)f4=f(x4)x1=x4f1=f4x3=x2f3=f2x2=x4f2=f4x1=xpf1=fpx3=x2f3=f2x2=xpf2=fpx1=x2f1=f2x2=xpf2=fpx3=xpf3=fp是否输出二次插值法缩小区间流程图输入xp>x2f4>f2f2<fpf2>fpxp<x2是是是是否否否否区间的缩短x4=0.5(x1+x2)x1=x4x3=x2x170第四节一维搜索方法七.二次插值法2）迭代步骤f1=f(x1)，f3=f(x3),x2=0.5(x1+x3)，f2=f(x2)K=0A=f1(x2-x3)+f2(x3-x1)+f3(x1-x2)计算xp，fp缩短区间K=K+1xp0=xp否(xp-x1)(x3-xp)≤0xp-xp0

≤εA=0K>0x*=xp,f*=fpx*=x2,f*=f2否给定x1、x3、ε否否是结束是是是第四节一维搜索方法七.二次插值法2）迭代步骤f1=f(x171第五节无约束优化方法一.解法分类1）直接法

其搜索方向直接取定或由计算目标函数值所得的信息来确定；2）间接法（解析法）确定搜索方向时用到一阶或（和）二阶导数的方法。第五节无约束优化方法一.解法分类72第五节无约束优化方法二.坐标轮换法

坐标轮换法又称为“变量轮换法”，“交替法”或“降维法”。是一种不需要求函数导数，直接探索目标函数最优解的方法。

每次仅对多元函数的一个变量沿其坐标轴进行一维探索，其余各变量均固定不动，并依次轮换进行一维探索的坐标轴，完成第一轮探索后再重新进行第二轮探索，直到找到目标函数在全域上的最小点为止。基本思路第五节无约束优化方法二.坐标轮换法坐标轮换73第五节无约束优化方法二.坐标轮换法迭代公式第五节无约束优化方法二.坐标轮换法迭代公式74第五节无约束优化方法二.坐标轮换法步长选取方法1)随机选择值的方法此方法每次选择值时，需满足下式：由于这种方法是轮流沿n个设计变量的坐标轴方向前进，所以此方法有时路程过于迂回曲折，因此它不是快速探索的方法。第五节无约束优化方法二.坐标轮换法步长选取方法1)随机选75第五节无约束优化方法二.坐标轮换法步长选取方法2)加速步长法此方法先规定沿方向的初始实验步，确定步长的正负，当沿坐标轴正方向探索能使目标函数值减小时，则取正值，否则应取负值。

再取步长计算并判断。当步长不宜延伸而宜缩小时，亦可缩小，也是一直到函数达到最小值为止。第五节无约束优化方法二.坐标轮换法步长选取方法2)加速步长76加速步长法流程图给定得出TTFTFTTFFFT结束加速步长法流程图给定得出TTFTFTTFFFT结束77第五节无约束优化方法二.坐标轮换法步长选取方法3)最优步长法最优步长法是利用一维探索方方，如黄金分割法或二次插值法，来确定最优步长值。在第k轮探索的第i次迭代中其步长为：第五节无约束优化方法二.坐标轮换法步长选取方法3)最优步长78第五节无约束优化方法二.坐标轮换法坐标轮换法特点1）编程简单，容易掌握；2）收敛速度通常较低（其有效性取决于目标函数的性态），仅适于低维的情况。如:(1)等值线为椭圆,且长短轴分别平行于坐标轴时--高效(2)等值线为如图脊线时--无效(3)一般情况--低效第五节无约束优化方法二.坐标轮换法坐标轮换法特点1）编程简79第五节无约束优化方法三.最速下降法基本思路

最速下降法是以负梯度方向作为下降方向的极小化算法，又称梯度法，是1874年法国科学家Cauchy提出的，最速下降法是无约束最优化中最简单的方法。柯西（Cauchy，AugustinLouis1789-1857），出生于巴黎，在数学领域，有很高的建树和造诣。很多数学的定理和公式也都以他的名字来称呼，如柯西不等式、柯西积分公式...第五节无约束优化方法三.最速下降法基本思路80第五节无约束优化方法三.最速下降法迭代公式(1)梯度方向是目标函数上升最快的方向，负梯度方向则是最速下降方向(2)步长为了使目标函数值沿搜索方向能获得最大的下降值。步长步长第五节无约束优化方法三.最速下降法迭代公式(1)梯度方向是81计算程序框图给定X0,εX(K)=X0K=K+1是否结束K:=0计算程序框图给定X0,εX(K)=X0K=K+82第五节无约束优化方法三.最速下降法算法特点（1）在最速下降法中，相邻两个迭代点上的函数梯度相互垂直。迭代点向函数极小点靠近的过程，走的是曲折路线。这一次的搜索方向与前一次的搜索方向相互垂直，形成“之”字形的锯齿现象。（2）在远离极小点的位置，每次迭代可使函数值有较多的下降。可是在接近极小点的位置，由于锯齿现象使每次迭代行进的距离缩短，因而收敛速度减慢。第五节无约束优化方法三.最速下降法算法特点（1）在最速下降83第五节无约束优化方法四.牛顿法（Newton-Raphson，二阶梯度法）基本思路

牛顿法就是一种收敛速度很的方法，其基本思路是利用二次曲线来逐点近似原目标函数，以二次曲线的极小点来近似原目标函数的极小值点并逐渐逼近该点。第五节无约束优化方法四.牛顿法（Newton-Raphso84第五节无约束优化方法四.牛顿法（Newton-Raphson，二阶梯度法）基本思路具体做法：利用二次函数（二次曲线），来逐点去近似或逼近原目标函数，然后求出二次函数的最小点，作为对元目标函数求优的下一个迭代点，通过若干次的迭代，使迭代点逐步逼近元目标函数的极小值点（如右图）。第五节无约束优化方法四.牛顿法（Newton-Raphso85第五节无约束优化方法公式推导

取原目标函数在各迭代点附近展开的泰勒二次多项式，作为每次迭代计算时用以逼近目标函数的函数的函数表达式。令式中的Hessian矩阵=，上式可以改写为：第五节无约束优化方法公式推导取原目标函数86第五节无约束优化方法公式推导当时可求得二次曲线的极值点，且当在该处的Hessian矩阵为正定时有极小点。由上式得：由于是二次函数，故是线性函数。令，得到：第五节无约束优化方法公式推导当87第五节无约束优化方法公式推导若为可逆矩阵，将上式两边左乘以整理之后得：第五节无约束优化方法公式推导若88当目标函数是二次函数时，牛顿法变得很简单有效，这时是一个常数矩阵，所逼近的二次曲线就变成精确表达式，而利用上式做一次迭代计算所求得的X就是最优点。但在一般情况下，不一定就是二次函数，则不能一步求出极小值点，即极小点不在方向上，但由于在点附近函数与是近似的，所以这个方向可以作为近似方向，可以用上式求出的点X作为一个逼近点，这时上式既可以改写成牛顿法的一般迭代公式：

第五节无约束优化方法牛顿方向当目标函数是二次函数时，牛89例题：试用牛顿法球目标函数的极小值点。解：取有例题：试用牛顿法球目标函数90其逆矩阵为：则：其逆矩阵为：则：91即为最小点，因为目标函数为二次函数，所以迭代一次就可以达到极值点。前面已经说到，牛顿法对初始点的选择要求较高，即使目标函数不是二次函数，当初始点选得好时，例如满足出事误差时，也会很快收敛，但是如果不能满足时就不能保证有比较好的收敛性。初始点选择不当有时也会导致收敛到鞍点或不收敛，基于这种原因，对古典牛顿法要做些修改—修正牛顿法。即92牛顿修正法的方法是：由求时不是直接用原来的迭代公式计算，而是沿着点处的牛顿方向进行一维探索，将该方向上的最优点作为。于是牛顿迭代公式可以写为：令第五节无约束优化方法牛顿修正法的方法是：由求93式中探索步长为：这种修正牛顿法通常又称为广义牛顿法，计算量大，但是具有收敛快的优点，当初始点选择不当时，这种探索方法也会成功，（以牺牲计算量的代价得到了初始点的选择任意性，因为在最开始并不是每次初始点都选择的恰当，从而使设计变得简化）其迭代步骤如下：第五节无约束优化方法式中探索步长为：这种修正牛顿94（1）给定初始点，允许误差令（2）计算（3）检验是否满足，若满足则迭代停止，否则进行步骤（4）（4）令第五节无约束优化方法（1）给定初始点，允许误差95（5）从出发沿牛顿方向进行一维探索：（6）令转步骤（2）第五节无约束优化方法（5）从出发沿牛顿方向进行一维探96第五节无约束优化方法

牛顿法及修正牛顿法的缺点是需要计算二阶偏导数和矩阵，特别是还需要求逆矩阵，计算繁琐，当目标函数的维数n较高时，计算量和储存量都以n的平方比例增加。因此，当目标函数的变量较多且次数较高时，一般不用这种方法。此外，特别是当Hessian矩阵是奇异矩阵时，其逆矩阵不存在，使得不收敛，此方法也不能用。牛顿法对初始点要求严格，修正牛顿法对初始点的要求不严格，具有二次收敛性，最优点附近的收敛速度极快。对于正定二次函数的寻优、迭代一次即可达到极小值点。方法特点第五节无约束优化方法牛顿法及修正牛顿法的缺点是97五.共轭梯度法

共轭梯度法是共轭方向法的一种，在该方法中每一个共轭向量是依赖于迭代点处的负梯度而构造出来的，所以称作共轭梯度法。共轭梯度法最早是由Hestenes和Stiefle（1952）提出来的，用于解正定系数矩阵的线性方程组，在这个基础上，Fletcher和Reeves（1964）首先提出了解非线性最优化问题的共轭梯度法。由于共轭梯度法不需要矩阵存储，且有较快的收敛速度和二次终止性等优点，现在共轭梯度法已经广泛地应用与实际问题中。第五节无约束优化方法五.共轭梯度法第五节无约束优化方法98第五节无约束优化方法五.共轭梯度法基本思路每轮搜索方向为一组共轭方向,但第一方向为负梯度方向.目标函数在极值点附近的等值线方程为（以二元函数为例）：当函数有极小值存在时需满足：根据解析几何可知满足上式条件时等值线方程为近似椭圆族。几何特性第五节无约束优化方法五.共轭梯度法基本思路99如果非零向量组S1，S2，S3…,SK中的任意两个向量关于n阶实对称矩阵A是共轭的，即满足式SiTASj=0i≠ji，j=1,2，…，k则称向量组S1，S2，S3,…,SK关于矩阵A是共轭的。设A为n×n阶实对称正定矩阵，而S1，S2为在n维欧氏空间En中的两个非零向量，如果满足式S1TAS2=0则称向量S1与S2关于实对称正定矩阵A是共轭的，或简称S1与S2关于A共轭。凡是满足上式的向量S1和S2称为具有A共轭方向。数学基础如果非零向量组S1，S2，S3…,SK中的任意两个向量关于n100考虑二次函数点出发，沿G的某一共轭方向作一维搜索，到达点，即数学推导共轭方向与梯度之间的关系考虑二次函数点出发，沿G的某一共轭方向作一维搜索，到达101

而在分别为点处的梯度所以有若和对G是共轭的，则有利用式（4-1）对两端前乘，即得（4-1）而在分别为点处的梯度所以有若和102

这就是共轭方向与梯度之间的关系。此式表明沿方向进行一维搜索，其终点与点的梯度之差与的共轭方向正交。共轭梯度法就是利用这个性质做到不计算矩阵G就能求得共轭方向的。图一共轭梯度法的几何说明这就是共轭方向与梯度之间的关系。此式表明沿方103

第二方向：第一方向：*可表示为两个负梯度方向的线性组合。图二.共轭方向的构成公式推导第二方向：第一方向：*可表示为两个负梯度方向104

，以后新方向均按下述迭代公式产生：因而，因为（A是二次函数的Hessian矩阵）二次函数其梯度为故有故有又（正交）刘惟信用数学归纳法对此法的共轭性作出过证明。，以后新方向均按下述迭代公式产生：因而，因为（A是二次函数105

是是否否K<n给定X0,n,εK=1,X(K)=X0S(K)=-▽F(X(K))从X(K)始，沿S(K)进行一维搜索得X(K+1)K=K+1计算结束重置负梯度方向程序框图是是否否K<n给定X0,n,εK=1,X(K)106

1.为共轭方向法,具有二次收敛性;2.共轭梯度法是一个典型的共轭方向法，它的每一个搜索方向是互相共轭的，而这些搜索方向d仅仅是负梯度方向与上一次迭代的搜索方向的组合，因此，计算方便算法简单,编程容易,存储量小;3.需用到一阶导数。算法特点1.为共轭方向法,具有二次收敛性;2.共轭梯度法是一个典型107一.等式约束问题的拉格朗日乘子法1.拉格朗日乘子法简介2.拉格朗日乘子拉格朗日乘子法是一种将约束最优化问题转换为无约束最优化问题的求优方法。引入一个待定系数——乘子，形成新的无约束条件的目标函数，新目标函数的无约束最优解就是原目标函数的约束最优解。设目标函数在等式约束条件下的最优点则在约束极值点附近函数需满足探索方向S应与约束函数的梯度方向交成直角第六节约束优化方法一.等式约束问题的拉格朗日乘子法1.拉格朗日乘子法简介2.拉108在约束最优点处任何允许的位移都必须满足联立以上方程可得：则称为拉格朗日待定系数，或称拉格朗日乘子。s.t.通过求拉格朗日函数L（X，λ）的无约束极值,来求解等式约束条件下目标函数f(x)极值。这种最优化方法成为拉格朗日乘子法在约束最优点处任何允许的位移都必须满足联立以上方程可得：则称1093.建立拉氏函数4.在最优点处有如下n+q个方程成立其解为q个等式约束条件的n维非线性规划问题，其拉格朗日函数为3.建立拉氏函数4.在最优点处有如下n+q个方程成立其解为110

基本思想：通过构造罚函数把约束问题转化为一系列无约束最优化问题，进而用无约束最优化方法去求解，这类方法称为序列无约束最小化方法。§5-10惩罚函数法二.惩罚函数法基本思想：通过构造罚函数把约束问题转化为一系列无约111

将有约束的优化问题转化为无约束优化问题来求解。前提：一是不能破坏约束问题的约束条件，二是使它归结到原约束问题的同一最优解上去。

构成一个新的目标函数，称为惩罚函数

将有约束的优化问题转化为无约束优化问题来求解。前提：112从而有惩罚项必须具有以下极限性质：

求解该新目标函数的无约束极小值，以期得到原问题的约束最优解。按一定的法则改变罚因子r1和r2的值，求得一序列的无约束最优解，不断地逼近原约束优化问题的最优解。从而有惩罚项必须具有以下极限性质：求解该新目标函数的113优化设计主要讲述内容优化设计概述优化数学模型优化设计的数学基础一维搜索方法无约束优化方法约束优化方法优化设计主要讲述内容优化设计概述114第一节优化设计概述定义：在现代计算机广泛应用的基础上发展起来的一项新技术，是根据最优化原理和方法综合各方面的因素，以人机配合方式或“自动探索”方式，在计算机上进行的自动或半自动设计，以选出现有工程条件下的最佳设计方案的一种现代设计方法。设计原则：最优设计设计手段：电子计算机和计算程序设计方法：最优化数学方法第一节优化设计概述定义：在现代计算机广泛应用的基础上发展起115第一节优化设计概述机械优化设计在给定的载荷或环境条件下，在对机械产品的性态、几何尺寸关系或其他因素的限制（约束）范围内，选取设计变量，建立目标函数并使其获得最优值的一种新的设计方法。设计变量、目标函数和约束条件三者在设计空间（以设计变量为坐标轴组成的实空间）的几何表示中构成设计问题。第一节优化设计概述机械优化设计116第一节优化设计概述优化设计与传统设计的比较

机械的传统设计方法:基于手工劳动或简易计算工具,低效,一般只能获得一个可行的设计方案。机械的优化设计方法：基于计算机的应用，从实际问题中抽象出数学模型;选择合适的优化方法求解数学模型。以人机配合或自动搜索方式进行，能从“所有的”可行方案中找出“最优的”设计方案。第一节优化设计概述优化设计与传统设计的比较117第一节优化设计概述优化设计的求解方法

古典方法:微分法;变分法。仅能解决简单的极值问题。现代方法:数学规划方法，可求解包含等式约束和不等式约束的复杂的优化问题。有线性规划、非线性规划、几何规划、动态规划和混合离散规划等。第一节优化设计概述优化设计的求解方法古典118第一节优化设计方法概述优化设计方法的发展是适于生产建设、计划管理、科学实验和战争的需要发展起来的。1）二十世纪三十年代.前苏联Канторович根据生产组织和计划管理的需要提出线性规划问题.在第二次世界大战期间出于战争运输需要，提出线性规划问题的解法；2）二十世纪五十年代末.H.W.Kuhn&A.W.Tucker提出非线性规划的基本定理,奠定了非线性规划的理论基础.其求解方法在六十年代获得飞速发展;第一节优化设计方法概述优化设计方法的发展是适于生产建设、计119第一节优化设计概述3)二十世纪六十年代.美数学家R.J.Duffin提出了几何规划,可把高度非线性的问题转化为具有线性约束的问题来求解,使计算大为简化;4)动态规划由R.Bellman创立,可解与时间有关的最优化问题;5)混合离散规划是二十世纪八十年代提出的,目前仍在发展过程中。优化设计方法的发展第一节优化设计概述3)二十世纪六十年代.美数学家R.J.120第一节优化设计概述*最优化方法用于机械设计是从二十世纪六十年代开始的,较早的成果主要反映在机构的优化设计方面,现已广泛用于机械零部件设计和机械系统的优化设计.优化设计方法的发展第一节优化设计概述*最优化方法用于机械设计是从二十世纪六121第二节优化数学模型引例1.要用薄钢板制造一体积为5的长方形汽车货箱(无上盖),其长度要求不超过4m.问如何设计可使耗用的钢板表面积最小?第二节优化数学模型引例122第二节优化数学模型解:设货箱的长、宽、高分别为，该问题可表示为：求

使

达到最小满足于其解为：第二节优化数学模型解:设货箱的长、宽、高分别为123该问题可表示为求使满足于解：由有2.设计一曲柄摇杆机构.已知:要求:使达到最大.该问题可表示为解：由有2.设124第二节优化数学模型二.优化数学模型

求使满足于第二节优化数学模型二.优化数学模型求使满足于125第二节优化数学模型二.优化数学模型

完整的规格化的数学模型包含三要素：设计变量，目标函数，约束函数。由于数学模型构成不同，可以分为：无约束优化有约束优化线性规划非线性规划第二节优化数学模型二.优化数学模型完整的规格化的数126第二节优化数学模型二.优化数学模型

例:求解二维问题s.t.X2X1f123第二节优化数学模型二.优化数学模型例:求解二维问题127第二节优化数学模型二.优化数学模型

第二节优化数学模型二.优化数学模型128第二节优化数学模型三.设计变量

在设计中需进行优选的独立的待求参数；ⅰ)设计常量—预先已给定的参数；ⅱ)设计方案—由设计常量和设计变量组成。ⅲ)维数—设计变量的个数n.通常,设计自由度,越能获得理想的结果,但求解难度.第二节优化数学模型三.设计变量在设计中需进行优选的129第二节优化数学模型三.设计变量

1)设计点与设计向量—每组设计变量值对应于以n个设计变量为坐标轴的n维空间上的一个点，该点称设计点.原点到该点的向量称设计向量.*可用数组表示：*设计点有连续与不连续之分;第二节优化数学模型三.设计变量1)设计点与设计向量130第二节优化数学模型三.设计变量

2)设计空间—设计点的集合（维实欧氏空间）。当设计点连续时,为直线;为平面;为立体空间;为超越空间.第二节优化数学模型三.设计变量2)设计空间—设计点131第二节优化数学模型四.目标函数

最好的性能;最小的重量;最紧凑的外形;最小的生产成本;最大的经济效益等.---对极大化问题可取原函数的负值③常处理为极小化形式;②单目标和多目标；①常用指标:数学模型中用来评价设计方案优劣的函数式（又称评价函数):第二节优化数学模型四.目标函数最132第二节优化数学模型四.目标函数

在无约束极小点处，等值线一般收缩一个点。如:目标函数的等值线（面）—能使目标函数取某一定值的所有设计点的集合;第二节优化数学模型四.目标函数在无约束极小点处，133第二节优化数学模型五.约束函数

—对设计变量的取值范围加以限制的条件；为使问题有解，须使(1)按约束的数学形式分不等式约束：

等式约束：第二节优化数学模型五.约束函数—对设计变量的取值范134第二节优化数学模型五.约束函数

—对设计变量的取值范围加以限制的条件；---由需满足的某种性能条件而导出的约束(如强度条件、刚度条件、曲柄存在条件等）。---对某个设计变量直接给出取值范围:边界约束性能约束(2)按约束的作用分*此外，也有将约束分成显约束和隐约束的。第二节优化数学模型五.约束函数—对设计变量的取值范135第二节优化数学模型五.约束函数

(2)不可行域:

—满足约束条件的设计点的集合

用D表示:(1)可行域—约束函数将设计空间分为可行域和不可行域第二节优化数学模型五.约束函数(2)不可行域:136第二节优化数学模型五.约束函数

满足

的约束为起作用约束,否则为不起作用的约束.(等式约束一定是起作用约束)ⅲ)起作用的约束与不起作用的约束约束边界上的可行点为边界点,其余可行点为内点.ⅱ)边界点与内点D内的设计点为可行点,否则为不可行点.*ⅰ)可行点与不可行点第二节优化数学模型五.约束函数满足137第二节优化数学模型六.优化数学模型的求解

优化设计工作包括两部分内容：将设计问题的物理模型转化为数学模型；用适当的最优化方法求解数学模型。1)解析法---对简单的无约束问题及等式约束问题;2)图解法---对简单的低维问题;3)数值迭代法---利用计算机按某种逻辑方式反复运算,是最基本的方法。第二节优化数学模型六.优化数学模型的求解优化设计工138第二节优化数学模型六.优化数学模型的求解

产生点列:使得:当满足终止迭代条件时,便认为达到了最优点.迭代过程3)数值迭代法---利用计算机按某种逻辑方式反复运算,是最基本的方法。第二节优化数学模型六.优化数学模型的求解产生点列:139第二节优化数学模型ⅰ）迭代公式:六.优化数学模型的求解

其中,

称为迭代点.第二节优化数学模型ⅰ）迭代公式:六.优化数学模型的求解140第二节优化数学模型六.优化数学模型的求解

1.初始点:2.搜索方向:3.步长:4.是否终止迭代.ⅱ）需解决的问题：--后三个问题是每次迭代都要解决的问题第二节优化数学模型六.优化数学模型的求解1.初141第二节优化数学模型六.优化数学模型的求解

ⅲ）算法的收敛性、收敛速度和收敛准则：算法的收敛性第二节优化数学模型六.优化数学模型的求解ⅲ）算法的142第二节优化数学模型六.优化数学模型的求解

ⅲ）算法的收敛性、收敛速度和收敛准则：一般根据算法对正定二次函数的求解能力来判断，能在有限步迭代中得到其极小点，称算法具有二次收敛性。具有二次收敛性的算法是收敛速度较高的方法。算法的收敛速度第二节优化数学模型六.优化数学模型的求解ⅲ）算法的143第二节优化数学模型六.优化数学模型的求解

ⅲ）算法的收敛性、收敛速度和收敛准则：算法的收敛准则①点距准则第二节优化数学模型六.优化数学模型的求解ⅲ）算法的144第二节优化数学模型六.优化数学模型的求解

ⅲ）算法的收敛性、收敛速度和收敛准则：算法的收敛准则②目标函数下降量准则相对下降量准则绝对下降量准则第二节优化数学模型六.优化数学模型的求解ⅲ）算法的145第二节优化数学模型六.优化数学模型的求解

ⅲ）算法的收敛性、收敛速度和收敛准则：算法的收敛准则③梯度准则第二节优化数学模型六.优化数学模型的求解ⅲ）算法的146第二节优化数学模型六.优化数学模型的求解

ⅲ）算法的收敛性、收敛速度和收敛准则：算法的收敛准则③梯度准则以上各准则单独使用时并非十分可靠，有时需几种准则联用。第二节优化数学模型六.优化数学模型的求解ⅲ）算法的147第三节优化设计的数学基础一.函数的泰勒展开式

一元函数的Taylor展开式*在实际计算中,常取前三项(二次函数)来近似原函数:第三节优化设计的数学基础一.函数的泰勒展开式一元函148第三节优化设计的数学基础一.函数的泰勒展开式

多元函数的Taylor展开式第三节优化设计的数学基础一.函数的泰勒展开式多元函149第三节优化设计的数学基础一.函数的泰勒展开式

多元函数的Taylor展开式梯度海赛(Hessian)矩阵第三节优化设计的数学基础一.函数的泰勒展开式多元函150第三节优化设计的数学基础故解：例：将函数

写成在点

处泰勒展开式的矩阵形式。第三节优化设计的数学基础故解：例：将函数151第三节优化设计的数学基础二.二次其次矩阵

系数矩阵第三节优化设计的数学基础二.二次其次矩阵系数矩阵152第三节优化设计的数学基础二.二次其次矩阵

*矩阵A为正定的充要条件--A的各阶主子式均大于零。如

为正定，则必有：第三节优化设计的数学基础二.二次其次矩阵*矩阵A153第三节优化设计的数学基础三.方向导数

函数沿指定方向

的平均变化率的极限。第三节优化设计的数学基础三.方向导数函数沿指定方向154第三节优化设计的数学基础三.方向导数

第三节优化设计的数学基础三.方向导数155第三节优化设计的数学基础三.方向导数

第三节优化设计的数学基础三.方向导数156第三节优化设计的数学基础三.梯度

令单位矢量于是第三节优化设计的数学基础三.梯度令单位矢量于是157第三节优化设计的数学基础三.梯度

从上式可得出如下结论：最优点*最速下降只是局部性质.4）在与梯度垂直的方向（等值线的切线方向）上，函数的变化率为零。2）梯度的模是最大的方向导数,负梯度方向是函数的最速下降方向；1）方向导数是梯度在指定方向上的投影；3）最速下降方向为等值线（面）的法线方向；第三节优化设计的数学基础三.梯度从上式可得出如下结158第三节优化设计的数学基础四.共轭方向

*

几何意义:经过线性变换A后成了与

正交的向量.例：

设A为n*n阶正定对称矩阵，是两个n维向量，若存在则称

对A共轭。第三节优化设计的数学基础四.共轭方向*几何意义159第三节优化设计的数学基础四.共轭方向

*这种性质称为有限步收敛性（亦称二次收敛性）（2）从任意选定的初始点出发，只要依次沿n个共轭方向进行一维搜索，一轮后便可达到n元正定二次函数的极小点。（1）若矢量系

彼此对正定对称矩阵A共轭，则它们组成线性无关的矢量系；共轭方向的性质第三节优化设计的数学基础四.共轭方向*这种性质160第三节优化设计的数学基础四.共轭方向

正定二元二次函数的性质（1）正定二元二次函数的等值线是一族同心椭圆，其中心坐标就是该函数的极小点。（2）过同心椭圆族的中心作任意直线与椭圆族中任意两椭圆相交，再过两交点所作相应椭圆的切线必相互平行。逆命题:

设两平行线与同心椭圆族中两椭圆分别相切于

点,则过

的直线必通过椭圆族的中心。第三节优化设计的数学基础四.共轭方向正定二元二次函161第三节优化设计的数学基础四.共轭方向

构成共轭方向的方法设

为平行于

的两条直线，则过这两直线上正定n元二次目标函数的极小点

的向量

和

对Hession矩阵A共轭。

第三节优化设计的数学基础四.共轭方向构成共轭方向的162

再从

出发，沿

搜索得2）取初始点，沿

方向搜索

解：1）例：对于目标函数，给定，试求出与

共轭的方向，并求出目标函数的极小点。再从出发，沿搜索得2）取初始点163第三节优化设计的数学基础五.函数的凸性

XX2X1凸集非凸集凹集*若X是X1和X2连线上的点，则有凸集---若任意两点

，对于

，恒有。第三节优化设计的数学基础五.函数的凸性XX2X1凸164第三节优化设计的数学基础五.函数的凸性

凸函数—设f(X)为定义在Rn内一个凸集D上的函数，若对于

及D上的任意两点X1,X2,恒有第三节优化设计的数学基础五.函数的凸性凸函数—设f165第三节优化设计的数学基础五.函数的凸性

为凸函数的充要条件是对于任意的(D为凸集),凸函数的判定第三节优化设计的数学基础五.函数的凸性为凸函数的充166第三节优化设计的数学基础六.优化问题存在极值的条件

梯度为零向量海赛矩阵正定多元函数具有极小值的充要条件一元函数具有极小值的充要条件第三节优化设计的数学基础六.优化问题存在极值的条件167第三节优化设计的数学基础六.优化问题存在极值的条件

（2）对于整个可行域，恒有，则X*为全局极小点；（1）对于X*在可行域中的一个邻域，恒有，则X*为局部极小点；局部极小点与全局极小点第三节优化设计的数学基础六.优化问题存在极值的条件168第四节一维搜索方法一.一维问题是多维问题的基础如：*在上次迭代中已求得，由某种逻辑方式（如负梯度方向、共轭方向等）给定，每次迭代可归结为以

为变量的一维问题。则当第四节一维搜索方法一.一维问题是多维问题的基础如：*169第四节一维搜索方法二.的确定方法上例中，2）取最优步长：上例中，--能使目标函数值下降的步长；1）取下降步长（任意步长）：第四节一维搜索方法二.的确定方法上例中，2）取最优170第四节一维搜索方法三.一维搜索的步骤2）将含最优点的区间不断缩小1）确定一个包含最优点的初始搜索区间特点：高--低--高*区间缩短率：

当该区间的长度小于预先给定的一个很小的正数，则可认为该区间中的某点(如中点)是最优点。第四节一维搜索方法三.一维搜索的步骤2）将含最优点的区间不171第四节一维搜索方法四.确定初始区间的进退算法前进计算后退计算—试探后作前进或后退计算。第四节一维搜索方法四.确定初始区间的进退算法前进计算后退计172第四节一维搜索方法四.确定初始区间的进退算法h=h0y1=f(x1)、x2=x1+h、y2=f(x2)给定x1、h0y1≥y2y2≥y3是h=2hx3=x2+h、y3=f(x3)结束否h=-hx3=x1y3=y1a=x1、b=x3是x1=x2y1=y2x2=x3y2=y3是a=x3、b=x1否h>0否初始进退距计算程序框图第四节一维搜索方法四.确定初始区间的进退算法h=h0y1=173khx1y1x2y2x3y310.10.2090.18.2030.36.68120.40.18.2030.36.6810.74.42930.80.36.6810.74.4291.57.125khx1y1x2y2x3y31174第四节一维搜索方法五.格点法ab先将搜索区间分成若干等分，计算出当中的n个等分点的目标函数值。再通过比较,找出其中的最小点，则该点的两个邻近点围成缩短了的新区间。1）基本思路第四节一维搜索方法五.格点法ab先将搜索区间分成175第四节一维搜索方法五.格点法2）每轮迭代区间的缩短率思路简单，编程容易，宜于离散型优化问题；计算量大，不宜用于高维优化问题。3）特点第四节一维搜索方法五.格点法2）每轮迭代区间的缩短率思路简176第四节一维搜索方法六.黄金分割法1）基本思路为预先给定的误差限。缩短区间的总次数

将区间按一定的比例缩小，且正常迭代时每缩短一次区间只需计算一次函数值。第四节一维搜索方法六.黄金分割法1）基本思路为预先给定的误177令得：其正根为：证：*①关于

的证明令得：其正根为：证：*①关于的178②关于缩小区间总次数的证明即证：②关于缩小区间总次数的证明即证：179第四节一维搜索方法六.黄金分割法2）迭代步骤给定否否是是止*也可采用迭代次数是否大于或等于k作终止准则。第四节一维搜索方法六.黄金分割法2）迭代步骤给定否否是是止180第四节一维搜索方法七.二次插值法1）基本思路ⅡⅠ原函数用三点二次插值多项式来逼近原函数。第四节一维搜索方法七.二次插值法1）基本思路ⅡⅠ原函数用三181第四节一维搜索方法求出a、b后得求系数a和b求驻点插值多项式：第四节一维搜索方法求出a、b后得求系数a和b求驻点插值多项182区间的