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文档简介

§3方向导数与梯—、问题的提出梯提 p(x,y) 0

p(xyx

y方向导数图讨论函数z

f(

y)在一点Ptantan|BC|f(x|AC|x A||(xx)x||f(xx)f(x)f(x)Cf(x)xxxR3zf(X

.P..l

f(P)f(P0 x

ffxl0二、方向导数的设函数u

f(X

在U(X0)若点XU(X0)l趋于X0时,

f(X)f(X0XX

||XX0

fXX0l

f(X)f(X0 XX或

XX

||XX0u

t

f(X

te)t

f(X0射线l的方程 xx0

y

z

txx y zcos

X0t

e(cos,cos

,cos比较方向导数与偏导数的概||

X0

||0；在偏导数中，分母

想l

，为什么,yX0(x0,y0,z0 X(x,y,z) l X

cos

x||X 0 yy0||XX0看看 的情

cos

||

X0f(X)

f(X0)

ux

y

zo(||

X

定理(方向导数计算若函数u

f(x

y,

在点(x0

y0

z0

fX)

(x0

y0

z0

l

,cos

cos)u

u

cos

ucos其中,各导数均为在点(x0

y0

z0

证设

yz)

x

x

cos,y

y

cos

z

z

cos.f(P)

fx(P0)x

fy(P0)y

fz(P0)zo()f(P)

f(0)

(P)x

(P)y

(P)

o()

fx

(0

)cos

fy(0

)cos

fz(0

)cos

o()

0时,上式右边末项o()

(0

f(P)

(0

fx(0

)cos

fy(

)cos

fz(

)cos证毕

(x,

y)来说,fl(0)fx(x0,y0)cos

fy(x0

y0)cos其中,是平面向l的方向u

ucos

ucos

ucosgradugrad

,

e

cos

cos在

中u

ucos

ucosu

Rn

((

,,

,,

))e

,

,,cosnu

cosn

(n2P(4)1(2)2223333例解uucosucosucos)。PP4P 2PPP2cos13cos23cos23

P(x

y想向导数值都等于想梯一个问题可微函数可微函数ufXf(x,y,z)在给定点X0沿什么方向增加得最

u,

,

由此可得出什由此可得出什么结论

u现在正式给出现在正式给出gradu设R3,u

f(X

)C1()X0

if(X0)i

f(X0)jj

f(X0)

fXX

f(X0)

fX0在几何z

f(x,

表示一个曲曲面被平

z

zzz

f(x,y),c所得曲线在xoy面上投影如 f(

y)

grad

(x,y)c2o

f(

y)x

f(f(x,y)梯度的概念可以推广到三元函三元函数u

f(

yz)G内具连续偏导数，则对于每一点P(

yzG，都grad

(

y,z)

f

f

fk类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值.

f(

y,z)

c为函数u

f(

y,z)的等量面，此函数在点P(x,y,z)的梯度的方向P

f(

y,z)

c例

uxyz

z25

gradu

并求点M

处方向导数的最大(小)值 ∵gradugradu(0,1,1)(yz,xz,xy2z)

yz

u

xz

u

xy2zuMuM||gradu||5M5从

2u

x2

2

3z2

3

2y

解由梯度计算公式gradu(

y,z)

u

u

u(2x

(4y

2)

6zk

2

12k0在P(02

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