一阶电路课件

第六章一阶电路

重点2、一阶电路的零输入响应、零状态响应和全响应的概念及求解；1、动态电路方程的建立及初始条件的确定；3、一阶电路的“三要素”法。定义：只含有一个（或可等效为一个）动态元件的线性、非时变电路，其电路方程是一阶线性常微分方程，这种用一阶微分方程来描述的电路称为一阶电路。第六章一阶电路重点2、一阶电路的零输入响应、零状态响6-1分解方法在动态电路分析中的运用一、分解方法在电容电路的应用一阶动态电路可用分解方法分析，整个电路可分解为一个单口网络只含一个动态元件；另一个为电路中其它部分（线性含源单口网络），可用戴维南定理（诺顿定理）简化。有源电阻电路一个动态元件含源电阻网络N1N2Cuc+-(a)+-uOC(t)(b)C+-uC(t)ROURO(t)i(t)+-isc(t)(c)C+-uC(t)GOi(t)6-1分解方法在动态电路分析中的运用一、分解方法在电容根据KVL根据元件的VCR整理得同理+-uOC(t)(b)C+-uC(t)ROURO(t)i(t)+-isc(t)(c)C+-uC(t)GOi(t)根据KVL根据元件的VCR整理得同理+-uOC(t)(b)C二、分解方法在电感电路的应用（自行推导）对于一阶电路，关键是求得电路的状态变量——电容电压和电感电流。统一一下：二、分解方法在电感电路的应用（自行推导）对于一阶电路，关键是一、换路补充内容电路在一定条件下工作于相应的一种状态。如果条件改变，例如电源的接入或断开、开关的开启或闭合、元件参数的改变等，电路会由原来状态过渡到一种新的稳定状态(简称稳态)。这种状态变化过程称为过渡过程或暂态过程，简称暂态。引起过渡过程的电路结构或元件参数的突然变化，统称为换路。一、换路补充内容电路在一定条件下工作于相应的一种状态。如果条设t=0时电路发生换路，并把换路前一瞬间记为0-，换路后一瞬间记为0+。根据电容、电感元件的伏安关系，如果在无穷小区间0-＜t＜0+内，电容电流iC和电感电压uL为有限值，则：uC(0+)=uC(0-)iL(0+)=iL(0-)它表明换路瞬间，若电容电流iC和电感电压uL为有限值，则电容电压uC和电感电流iL在该处连续，不会发生跃变。二、换路定律设t=0时电路发生换路，并把换路前一瞬间记为0-，换路后一瞬0ti过渡期为零电阻电路+-usR1R2（t=0）i三、过渡过程的定性分析0ti过渡期为零电阻电路+usR1R2（t=0）i三、过i=0,uC=Usi=0,uC=0k接通电源后很长时间，电容充电完毕，电路达到新的稳定状态：k未动作前，电路处于稳定状态：电容电路k+–uCUsRCi

(t=0)+-

(t→)+–uCUsRCi+-前一个稳定状态过渡状态新的稳定状态t1USuct0?i有一过渡期i=0,uC=Usi=0,uuL=0,i=Us/Ri=0,uL=0k接通电源后很长时间，电路达到新的稳定状态，电感视为短路：k未动作前，电路处于稳定状态：电感电路k+–uLUsRi

(t=0)+-L

(t→)+–uLUsRi+-前一个稳定状态过渡状态新的稳定状态t1US/Rit0?uL有一过渡期uL=0,i=Us/Ri=0,uL四、变量初始值的计算如果电路在t=0时发生换路，根据换路定律，在换路瞬间uC和iL不发生跃变。但是，换路时其余电流、电压，如iC、uL、iR、uR则可能发生跃变。这些变量的初始值可以通过计算0+等效电路求得。电路变量初始值的具体计算方法是：1)画出t=t0-时刻的等效电路电容开路，求出uc(t0-)

电感短路，求出iL(t0-)2)画出t=t0+时刻的等效电路电容以uc(t0+)的电压源代替电感以iL(t0+)的电流源代替四、变量初始值的计算如果电路在t=0时发生换路，根据换路定律3)根据电路求出t=t0+时的各电流、电压的初始值独立电源取t=t0+时的值例：如图所示电路，开关打开前，电路已处于稳态。t=0时，开关打开。求初始值ic(0+)，uL(0+)和iR1(0+)。解：1)求出开关打开前的电容电压uc(0-)和电感电流iL(0-)。由于t＜0时，电路处于稳态，电路各处的电流、电压为常量，因此，diL/dt=0，uL=0，电感看做短路，duC/dt=0，ic=0，电容看做开路。做出t=0-时的等效电路已知：3)根据电路求出t=t0+时的各电流、电压的初始值独立电源取由图可得根据换路定律，有2)做出t=0+时的初始值等效电路。在t=0+瞬间，电容元件可用电压等于uC(0+)的电压源代替；电感元件可用电流等于iL(0+)的电流源代替。画出t=0+的初始值等效电路如图所示。由图可得根据换路定律，有2)做出t=0+时的初始值等效电路。3)由0+等效电路可求得3)由0+等效电路可求得6－4零输入响应定义：电路的激励为零，只由电路的初始储能引起的电路响应。在t＜0时，开关s1一直闭合，开关s2断开，电路处于稳态，电容两端电压为U0。在t=0时，开关s1打开而开关s2同时闭合。求t≥0时电容两端的电压。一、一阶RC电路的零输入响应解：

1)求初始值t<0时由换路定律，得6－4零输入响应定义：电路的激励为零，只由电路的初始储

0+等效电路如图所示

则

2)建立微分方程特征方程为RCs+1=0解得s=-1/RC

解的形式为由t=0时，uc(t)=U0，得0+等效电路如图所示则2)建立微分方程特征方程为所以：表明1、uc和i随着时间t增加按指数规律衰减。2、τ＝RC的量纲为秒，称为时间常数。其大小决定了电容充放电的快慢。时间常数τ越大，电容充放电的过程就越慢；反之τ越小，电容充放电的过程就越快。3、在电路换路时，电容电压不能突变，而流过电容的电流可以跃变。所以：表明1、uc和i随着时间t增加按指数规律衰减。2、τ＝4、理论上，t时，衰减到零，工程上取(4~5)作为衰减到零的时间。5、零输入响应的比例性若初始状态增大m倍，则零输入响应也相应增大m倍。6、零输入响应一阶RC电路的零输入响应，由其时间常数和初始值决定。电容电压的初始值7、电路理论中，（微分方程的特征根）称为固有频率。4、理论上，t时，衰减到零，工程上取(4~5二、一阶RL电路的零输入响应t<0时，电路达到稳态，t=0时开关S1断开，同时S2闭合，求t≥0时电感的电流。解：t<0时t=0时，由换路定律得列微分方程则二、一阶RL电路的零输入响应t<0时，电路达到稳态，t=0时解得解得表明1、

和

随着时间t增加按指数规律衰减。2、τ＝L/R的量纲为秒，称为时间常数。其大小决定了电感电流衰减的快慢。时间常数τ越大，衰减就越慢；反之τ越小，衰减就越快。3、在电路换路时，电感电流不能突变，而电感两端的电压可以跃变。表明1、和随着时间t增加按指数规律衰减。4、理论上，t=时，衰减到零，工程上取(4~5)作为衰减到零的时间。5、零输入响应的比例性若初始状态增大m倍，则零输入响应也相应增大m倍。6、零输入响应一阶RL电路的零输入响应，由其时间常数和初始值决定。电感电流的初始值7、电路理论中，（微分方程的特征根）称为固有频率。4、理论上，t=时，衰减到零，工程上取(4~5总结一阶电容电路的零输入响应其中il(0)为电感电流的初始值，τ＝L/RR的确定其中uc(0)为电容电压的初始值，τ＝RC一阶电感电路的零输入响应R为换路后从电容或电感看过去的等效电阻总结一阶电容电路的零输入响应其中il(0)为电感电流的初始值解：t<0时t=0时，由换路定律得则P206例6-10，求则该一阶电容电路的零输入响应为t=0时，外加激励为零，只是电容的初始储能作用，故时，电容电压为零输入响应其中τ＝RC

，R为换路后从电容看过去的等效电阻∴τ＝RC=12Ω*1F=12s10V+-+-cdab1F解：t<0时t=0时，由换路定律得则P206例6-10，根据置换定理（也可根据电容的VCR），如图所示参考方向，得根据分流公式由KVL，得10V+-+-cdab1F根据置换定理（也可根据电容的根据分流公式由KVL，得10V+6-2零状态响应定义：电路的初始状态为零，仅由t≥0时的外加激励所产生的响应。一、一阶RC电路的零状态响应t<0时，电路处于稳定状态，t=0时，开关闭合，求t≥0时电容两端的电压。定性分析定量计算6-2零状态响应定义：电路的初始状态为零，仅由t≥0时

1)建立换路后的微分方程

2)解微分方程（一阶线性非齐次微分方程）1)建立换路后的微分方程2)解微分方程（一阶线性非

则原微分方程解的形式为由初始条件确定待定常数A表明1)uc从0按指数规律上升，一直到稳态值Us。2)当t=τ时，uc上升到稳态值的63％;当t=4τ时，uc上升到稳态值的98.2％。

则原微分方程解的形式为由初始条件确定待定常数A表明1)u4)微分方程通解中齐次方程解称为固有响应，它的模式与输入无关，其解的形式为，称为暂态响应（固有响应）。3)τ=RC为电容充电时间常数，τ越小，电容充电过程越快，电路的暂态过程所用时间越短；反之，τ越大，电容充电越慢，电路的暂态过程所用时间越长。5)特解称为强制响应，（或称稳态响应）其形式与输入形式相同。6)零状态响应的比例性若外施激励增大m倍，则零状态响应也相应增大m倍。一阶电容电路的零状态响应电容电压的稳态值4)微分方程通解中齐次方程解称为固有响应，它的模式与输入无二、一阶RL电路的零状态响应t<0时，电路处于稳定状态，t=0时，开关闭合，求t≥0时电感的电流。定性分析定量计算解：

1)建立换路后的微分方程二、一阶RL电路的零状态响应t<0时，电路处于稳定状态，t=

2)解微分方程（一阶线性非齐次微分方程）

则原微分方程解的形式为由初始条件确定待定常数A则一阶RL电路的零状态响应2)解微分方程（一阶线性非齐次微分方程）则原微分方程解表明1)iL从0按指数规律上升，一直到稳态值Us/R。3)当t=τ时，iL上升到稳态值的63％;当t=4τ时，iL上升到稳态值的98.2％。2)τ=L/R为时间常数，τ越小，电路的暂态过程所用时间越短；反之τ越大，电路的暂态过程所用时间越长。4)微分方程通解中齐次方程解称为固有响应，它的模式与输入无关，其解的形式为，称为暂态响应（固有响应）。5)特解称为强制响应，（或称稳态响应）其形式与输入形式相同。表明1)iL从0按指数规律上升，一直到稳态值Us/R。3)6)零状态响应的比例性若外施激励增大m倍，则零状态响应也相应增大m倍。一阶电感电路的零状态响应电感电流的稳态值6)零状态响应的比例性一阶电感电路的零状态响应电感电流的稳总结一阶电容电路的零状态响应其中iL(∞)为电感电流的稳态值，τ＝L/RR的确定其中uc(∞)为电容电压的稳态值，τ＝RC一阶电感电路的零状态响应R为换路后从电容或电感看过去的戴维南等效电阻总结一阶电容电路的零状态响应其中iL(∞)为电感电流的稳态值

例6－3：如图所示电路，在t=0时开关闭合，求iL(t)、i(t)，t≥0。

解：1）t<0时，开关打开，电路处于稳态根据换路定律换路后，仅有外电路提供能量，电路响应为零状态响应换路后，电感电流的稳态值为R为换路后从电感看过去的戴维南等效电阻则例6－3：如图所示电路，在t=0时开关闭合，求iL(t)、

则电感电流（一阶RL电路的零状态响应）为2)求电流i(t)

根据置换定理，将电感用电流为电流源替代，如图所示利用网孔分析法解得则电感电流（一阶RL电路的零状态响应）为2)求电流i(t6-5线性动态电路的叠加原理一、完全响应：初始状态不为零，同时又有外加激励的作用，这时电路的响应称为完全响应。全响应=零输入响应+零状态响应二、线性一阶电路的叠加原理若初始时刻为t=0，对所有的时刻，有零输入响应线性零状态响应线性6-5线性动态电路的叠加原理一、完全响应：全响应=零输入既有初始状态，又有外激励作用，则，电容电压为全响应例：如图所示电路设t=0时，开关由a投向b，且Uc(0)=U0

建立换路后的微分方程换路后的稳态值为该一阶线性微分方程解的形式为由初始条件确定常数K则则全响应为既有初始状态，又有外激励作用，则，电讨论：1)若Is=0，则为零输入响应2)若U0=0，则为零状态响应

3)电路的完全响应

零输入响应零状态响应稳态响应暂态响应讨论：1)若Is=0，则为零输入响应2)若U0=0，则为

完全响应为零输入响应与零状态响应之和，或强制响应（稳态响应）与固有响应（暂态响应）之和。这一结论称为线性动态电路的叠加定理。注意非零初始状态的动态元件的全响应不满足叠加原理，即全响应并非激励单独作用时响应的总和。例6-12P211求响应uc(t)1)is(t)=2A，uc(0)=1V2)is(t)=3A，uc(0)=1V3)is(t)=5A，uc(0)=1V解：由题意可知，电容电压的稳态值τ=RC=1s完全响应为零输入响应与零状态响应之和，或强制响应（稳

1）零输入响应为零状态响应为全响应为2）零输入响应为零状态响应为全响应为3）零输入响应为零状态响应为全响应为全响应并非激励单独作用时响应的总和。1）零输入响应为零状态响应为全响应为2）零输入响应为例:如图所示,开关闭合前,电路已处于稳态,t=0时,开关闭合,求,若12V电源改为24V电源,情况如何?解：开关闭合前，两电源均对电容进行充电，直到电路达到稳态，即电容作开路处理，电容电压具有初始值；开关闭合后36V电源作为外激励对电路提供能量。电路响应为完全响应，根据叠加定理，可看作是零输入响应和零状态响应的和。零输入和零状态电路的时间常数一样，是，R为换路后从电容看过去的戴维南等效电阻则例:如图所示,开关闭合前,电路已处于稳态,t=0时,开关闭合如右图所示，求电容电压初始值由换路定律得仅初始状态起作用，没有外激励，需要求出初始值1、零输入响应则零输入响应为2、零状态响应初始状态为零，仅外激励作用，需要求出稳态值如右图所示，求电容电压初始值由换路定律得仅初始状态起作用，没如右图所示，求电容电压的稳态值则零状态响应为则根据叠加定理，完全响应为12V电源只在换路前起作用，只会影响初始状态，即对零状态响应没影响，只对零输入有影响。如右图所示，求电容电压的稳态值则零状态响应为则根据叠加定理，6-6三要素法本节将给出在直流输入情况下，直接写出动态电路完全响应表达式的一种简单方法，即“三要素”法。（状态变量和非状态变量均可）所谓“三要素”即变量的初始值变量的稳态值时间常数τ条件：电路为一阶电路；直流输入。一、三要素法求变量完全响应公式一阶动态电路任意变量的完全响应为：6-6三要素法本节将给出在直流输入情况下，直接写出动态画出t=0-时等效电路，电容开路，电感短路。求出uc(0-)和iL(0-)。二、利用三要素公式求解步骤（1）求初始值y

(0+)（2）求稳态值（趋向值）y

(∞）画出t趋于无穷大时等效电路（电路处于稳态）。电容开路，电感短路。求出y(∞）。根据换路定律，有uc(0+)=uc(0-)，iL(0+)=iL(0-)。画出t=0+时等效电路，电容用uc(0+)的电压源代之；电感用iL(0+)的电流源代之。求出任意y

(0+)画出t=0-时等效电路，电容开路，电感短路。求出uc(0-)（3）求时间常数τ电容：τ＝RC电感：τ＝L/RR为换路后从动态元件看过去的戴维南/诺顿等效电阻（4）代入公式即求出电路的完全响应。零输入响应零状态响应稳态响应暂态响应（3）求时间常数τ电容：τ＝RCR为换路后从动态元件看过去例6-16：如图所示电路，t=0时开关由a投向b。试用三要素法求i(t)、iL(t)的表达式。假定换路前电路处于稳态。解：1)求iL(0+)及i(0+)

换路前电路已处于稳态，电感相当于短路，故得根据换路定律，得画t=0+的等效电路（换路后，电感用电流源替换）可得例6-16：如图所示电路，t=0时开关由a投向b。试用三要素2）求稳态值iL(∞)及i(∞)

由t=∞等效电路得3)求时间常数τ换路后戴维南等效电阻为则2）求稳态值iL(∞)及i(∞)由t=∞等效电路得3)得4)代入公式得4)代入公式例：6-17（含受控源）t<0时，Is=0；时，Is=2A，求i(t)解：1)求i(0+)先求状态变量uc(0-)换路前电路处于稳态，电容开路，可得由KVL得根据换路定律，得画t=0+的等效电路得2）求稳态值i(∞)

例：6-17（含受控源）t<0时，Is=0；时由t=∞等效电路得3)求时间常数τ求换路后戴维南等效电阻得含受控源，开路短路法求等效电阻由KVL得则由KCL得由t=∞等效电路得3)求时间常数τ求换路后戴维南等效电阻得4)代入公式得4)代入公式t06-3阶跃响应冲激响应1、单位阶跃函数的定义t＜0t＞02、延时单位阶跃函数

t＜t0t＞t0t06-3阶跃响应冲激响应1、单位阶跃函数的定义

3、方波的表示一个方波信号可用两个阶跃信号表示4、单位阶跃响应零状态电路对单位阶跃信号的响应称为单位阶跃响应。记为s(t)。若单位阶跃响应为s(t)，则在延时单位阶跃信号作用下响应应为s(t-t0)。此性质称为响应的非时变性。3、方波的表示一个方波信号可用两个阶跃信号表示4、单位阶跃如果输入信号为分段常量信号，且初始状态不为零，全响应的求解步骤为：1)求电路的零输入响应；2)再求分段常量信号作用下电路的零状态响应；3)根据叠加定理，完全响应为两者的线性叠加。例6－5：求如图所示零状态RL电路在图中所示脉冲电压作用下的电流i(t)。已知：L=1H，R=1Ω如果输入信号为分段常量信号，且初始状态不为零，全响应的求解步

解：式中表示该式仅适用于t≥0，τ＝L/R＝1s。作用下的零状态响应：

所以解：式中表示该式仅适用于t≥0，τ＝L/R＝1s。作用下的例：RC电路如图所示，已知求电压UC(t)。解：1)先求零输入响应2)再求零状态响应。-3V的直流电压始终作用于电路，产生的响应为输入由-3V的直流和在t＝0s时作用于电路的阶跃信号组成。则在t＝0s时作用于电路的阶跃输入产生的响应为其中例：RC电路如图所示，已知解：1)先求零输入响应2)再

所以5、单位冲激函数的定义单位冲激函数的性质所以5、单位冲激函数的定义单位冲激函数的性质6、单位冲激响应单位冲激信号作用下的零状态响应称为单位冲激响应。记为h(t)。结论线性时不变电路的单位冲激响应是其阶跃响应的导数6、单位冲激响应单位冲激信号作用下的零状态响应称为单位冲激响6-8正弦激励的过渡过程和稳态一、正弦波随时间按照正弦规律变化的电压和电流称为正弦电压和电流，统称正弦波。由三个参数确定以正弦电压为例，其瞬时值为振幅、频率和初相我国电力系统提供的正弦电压f为50Hz二、稳态当描述动态电路的变量或为不随时间变化的常量，或为随时间而变化的周期量时，均称电路进入了稳态。6-8正弦激励的过渡过程和稳态一、正弦波随时间按照正弦规设t=0时，正弦电压源作用于电路，求正弦响应uc(t)。已知uc(0)=0求解方法与步骤：（1）列微分方程其解由稳态解和瞬态解两部分组成。（2）稳态解即稳态响应，其形式由外激励决定，是与外电源同一频率的正弦函数，设为回代微分方程，由待定系数法得设t=0时，正弦电压源求解方法与步骤：（1）列微分方程其解由（3）瞬态解即瞬态响应则瞬态响应为则正弦响应uc(t)为即为稳态响应。待定系数K由初始条件得：（3）瞬态解即瞬态响应则瞬态响应为则正弦响应uc(t)为即为则全响应（零状态响应）为当电路进入稳态之后，响应将以与外施激励频率一致的正弦方式变化，该响应称为正弦稳态响应（SSS）以上结论是在零状态条件下得出，对于非零状态也一样零输入响应零状态响应稳态响应瞬态响应则全响应（零状态响应）为当电路进入稳态之后，响应将以与外施激作业：P.233.6-3，6-8，6-20，6-23，6-28，6-37作业：P.233.第六章一阶电路

重点2、一阶电路的零输入响应、零状态响应和全响应的概念及求解；1、动态电路方程的建立及初始条件的确定；3、一阶电路的“三要素”法。定义：只含有一个（或可等效为一个）动态元件的线性、非时变电路，其电路方程是一阶线性常微分方程，这种用一阶微分方程来描述的电路称为一阶电路。第六章一阶电路重点2、一阶电路的零输入响应、零状态响6-1分解方法在动态电路分析中的运用一、分解方法在电容电路的应用一阶动态电路可用分解方法分析，整个电路可分解为一个单口网络只含一个动态元件；另一个为电路中其它部分（线性含源单口网络），可用戴维南定理（诺顿定理）简化。有源电阻电路一个动态元件含源电阻网络N1N2Cuc+-(a)+-uOC(t)(b)C+-uC(t)ROURO(t)i(t)+-isc(t)(c)C+-uC(t)GOi(t)6-1分解方法在动态电路分析中的运用一、分解方法在电容根据KVL根据元件的VCR整理得同理+-uOC(t)(b)C+-uC(t)ROURO(t)i(t)+-isc(t)(c)C+-uC(t)GOi(t)根据KVL根据元件的VCR整理得同理+-uOC(t)(b)C二、分解方法在电感电路的应用（自行推导）对于一阶电路，关键是求得电路的状态变量——电容电压和电感电流。统一一下：二、分解方法在电感电路的应用（自行推导）对于一阶电路，关键是一、换路补充内容电路在一定条件下工作于相应的一种状态。如果条件改变，例如电源的接入或断开、开关的开启或闭合、元件参数的改变等，电路会由原来状态过渡到一种新的稳定状态(简称稳态)。这种状态变化过程称为过渡过程或暂态过程，简称暂态。引起过渡过程的电路结构或元件参数的突然变化，统称为换路。一、换路补充内容电路在一定条件下工作于相应的一种状态。如果条设t=0时电路发生换路，并把换路前一瞬间记为0-，换路后一瞬间记为0+。根据电容、电感元件的伏安关系，如果在无穷小区间0-＜t＜0+内，电容电流iC和电感电压uL为有限值，则：uC(0+)=uC(0-)iL(0+)=iL(0-)它表明换路瞬间，若电容电流iC和电感电压uL为有限值，则电容电压uC和电感电流iL在该处连续，不会发生跃变。二、换路定律设t=0时电路发生换路，并把换路前一瞬间记为0-，换路后一瞬0ti过渡期为零电阻电路+-usR1R2（t=0）i三、过渡过程的定性分析0ti过渡期为零电阻电路+usR1R2（t=0）i三、过i=0,uC=Usi=0,uC=0k接通电源后很长时间，电容充电完毕，电路达到新的稳定状态：k未动作前，电路处于稳定状态：电容电路k+–uCUsRCi

(t=0)+-

(t→)+–uCUsRCi+-前一个稳定状态过渡状态新的稳定状态t1USuct0?i有一过渡期i=0,uC=Usi=0,uuL=0,i=Us/Ri=0,uL=0k接通电源后很长时间，电路达到新的稳定状态，电感视为短路：k未动作前，电路处于稳定状态：电感电路k+–uLUsRi

(t=0)+-L

(t→)+–uLUsRi+-前一个稳定状态过渡状态新的稳定状态t1US/Rit0?uL有一过渡期uL=0,i=Us/Ri=0,uL四、变量初始值的计算如果电路在t=0时发生换路，根据换路定律，在换路瞬间uC和iL不发生跃变。但是，换路时其余电流、电压，如iC、uL、iR、uR则可能发生跃变。这些变量的初始值可以通过计算0+等效电路求得。电路变量初始值的具体计算方法是：1)画出t=t0-时刻的等效电路电容开路，求出uc(t0-)

电感短路，求出iL(t0-)2)画出t=t0+时刻的等效电路电容以uc(t0+)的电压源代替电感以iL(t0+)的电流源代替四、变量初始值的计算如果电路在t=0时发生换路，根据换路定律3)根据电路求出t=t0+时的各电流、电压的初始值独立电源取t=t0+时的值例：如图所示电路，开关打开前，电路已处于稳态。t=0时，开关打开。求初始值ic(0+)，uL(0+)和iR1(0+)。解：1)求出开关打开前的电容电压uc(0-)和电感电流iL(0-)。由于t＜0时，电路处于稳态，电路各处的电流、电压为常量，因此，diL/dt=0，uL=0，电感看做短路，duC/dt=0，ic=0，电容看做开路。做出t=0-时的等效电路已知：3)根据电路求出t=t0+时的各电流、电压的初始值独立电源取由图可得根据换路定律，有2)做出t=0+时的初始值等效电路。在t=0+瞬间，电容元件可用电压等于uC(0+)的电压源代替；电感元件可用电流等于iL(0+)的电流源代替。画出t=0+的初始值等效电路如图所示。由图可得根据换路定律，有2)做出t=0+时的初始值等效电路。3)由0+等效电路可求得3)由0+等效电路可求得6－4零输入响应定义：电路的激励为零，只由电路的初始储能引起的电路响应。在t＜0时，开关s1一直闭合，开关s2断开，电路处于稳态，电容两端电压为U0。在t=0时，开关s1打开而开关s2同时闭合。求t≥0时电容两端的电压。一、一阶RC电路的零输入响应解：

1)求初始值t<0时由换路定律，得6－4零输入响应定义：电路的激励为零，只由电路的初始储

0+等效电路如图所示

则

2)建立微分方程特征方程为RCs+1=0解得s=-1/RC

解的形式为由t=0时，uc(t)=U0，得0+等效电路如图所示则2)建立微分方程特征方程为所以：表明1、uc和i随着时间t增加按指数规律衰减。2、τ＝RC的量纲为秒，称为时间常数。其大小决定了电容充放电的快慢。时间常数τ越大，电容充放电的过程就越慢；反之τ越小，电容充放电的过程就越快。3、在电路换路时，电容电压不能突变，而流过电容的电流可以跃变。所以：表明1、uc和i随着时间t增加按指数规律衰减。2、τ＝4、理论上，t时，衰减到零，工程上取(4~5)作为衰减到零的时间。5、零输入响应的比例性若初始状态增大m倍，则零输入响应也相应增大m倍。6、零输入响应一阶RC电路的零输入响应，由其时间常数和初始值决定。电容电压的初始值7、电路理论中，（微分方程的特征根）称为固有频率。4、理论上，t时，衰减到零，工程上取(4~5二、一阶RL电路的零输入响应t<0时，电路达到稳态，t=0时开关S1断开，同时S2闭合，求t≥0时电感的电流。解：t<0时t=0时，由换路定律得列微分方程则二、一阶RL电路的零输入响应t<0时，电路达到稳态，t=0时解得解得表明1、

和

随着时间t增加按指数规律衰减。2、τ＝L/R的量纲为秒，称为时间常数。其大小决定了电感电流衰减的快慢。时间常数τ越大，衰减就越慢；反之τ越小，衰减就越快。3、在电路换路时，电感电流不能突变，而电感两端的电压可以跃变。表明1、和随着时间t增加按指数规律衰减。4、理论上，t=时，衰减到零，工程上取(4~5)作为衰减到零的时间。5、零输入响应的比例性若初始状态增大m倍，则零输入响应也相应增大m倍。6、零输入响应一阶RL电路的零输入响应，由其时间常数和初始值决定。电感电流的初始值7、电路理论中，（微分方程的特征根）称为固有频率。4、理论上，t=时，衰减到零，工程上取(4~5总结一阶电容电路的零输入响应其中il(0)为电感电流的初始值，τ＝L/RR的确定其中uc(0)为电容电压的初始值，τ＝RC一阶电感电路的零输入响应R为换路后从电容或电感看过去的等效电阻总结一阶电容电路的零输入响应其中il(0)为电感电流的初始值解：t<0时t=0时，由换路定律得则P206例6-10，求则该一阶电容电路的零输入响应为t=0时，外加激励为零，只是电容的初始储能作用，故时，电容电压为零输入响应其中τ＝RC

，R为换路后从电容看过去的等效电阻∴τ＝RC=12Ω*1F=12s10V+-+-cdab1F解：t<0时t=0时，由换路定律得则P206例6-10，根据置换定理（也可根据电容的VCR），如图所示参考方向，得根据分流公式由KVL，得10V+-+-cdab1F根据置换定理（也可根据电容的根据分流公式由KVL，得10V+6-2零状态响应定义：电路的初始状态为零，仅由t≥0时的外加激励所产生的响应。一、一阶RC电路的零状态响应t<0时，电路处于稳定状态，t=0时，开关闭合，求t≥0时电容两端的电压。定性分析定量计算6-2零状态响应定义：电路的初始状态为零，仅由t≥0时

1)建立换路后的微分方程

2)解微分方程（一阶线性非齐次微分方程）1)建立换路后的微分方程2)解微分方程（一阶线性非

则原微分方程解的形式为由初始条件确定待定常数A表明1)uc从0按指数规律上升，一直到稳态值Us。2)当t=τ时，uc上升到稳态值的63％;当t=4τ时，uc上升到稳态值的98.2％。

则原微分方程解的形式为由初始条件确定待定常数A表明1)u4)微分方程通解中齐次方程解称为固有响应，它的模式与输入无关，其解的形式为，称为暂态响应（固有响应）。3)τ=RC为电容充电时间常数，τ越小，电容充电过程越快，电路的暂态过程所用时间越短；反之，τ越大，电容充电越慢，电路的暂态过程所用时间越长。5)特解称为强制响应，（或称稳态响应）其形式与输入形式相同。6)零状态响应的比例性若外施激励增大m倍，则零状态响应也相应增大m倍。一阶电容电路的零状态响应电容电压的稳态值4)微分方程通解中齐次方程解称为固有响应，它的模式与输入无二、一阶RL电路的零状态响应t<0时，电路处于稳定状态，t=0时，开关闭合，求t≥0时电感的电流。定性分析定量计算解：

1)建立换路后的微分方程二、一阶RL电路的零状态响应t<0时，电路处于稳定状态，t=

2)解微分方程（一阶线性非齐次微分方程）

则原微分方程解的形式为由初始条件确定待定常数A则一阶RL电路的零状态响应2)解微分方程（一阶线性非齐次微分方程）则原微分方程解表明1)iL从0按指数规律上升，一直到稳态值Us/R。3)当t=τ时，iL上升到稳态值的63％;当t=4τ时，iL上升到稳态值的98.2％。2)τ=L/R为时间常数，τ越小，电路的暂态过程所用时间越短；反之τ越大，电路的暂态过程所用时间越长。4)微分方程通解中齐次方程解称为固有响应，它的模式与输入无关，其解的形式为，称为暂态响应（固有响应）。5)特解称为强制响应，（或称稳态响应）其形式与输入形式相同。表明1)iL从0按指数规律上升，一直到稳态值Us/R。3)6)零状态响应的比例性若外施激励增大m倍，则零状态响应也相应增大m倍。一阶电感电路的零状态响应电感电流的稳态值6)零状态响应的比例性一阶电感电路的零状态响应电感电流的稳总结一阶电容电路的零状态响应其中iL(∞)为电感电流的稳态值，τ＝L/RR的确定其中uc(∞)为电容电压的稳态值，τ＝RC一阶电感电路的零状态响应R为换路后从电容或电感看过去的戴维南等效电阻总结一阶电容电路的零状态响应其中iL(∞)为电感电流的稳态值

例6－3：如图所示电路，在t=0时开关闭合，求iL(t)、i(t)，t≥0。

解：1）t<0时，开关打开，电路处于稳态根据换路定律换路后，仅有外电路提供能量，电路响应为零状态响应换路后，电感电流的稳态值为R为换路后从电感看过去的戴维南等效电阻则例6－3：如图所示电路，在t=0时开关闭合，求iL(t)、

则电感电流（一阶RL电路的零状态响应）为2)求电流i(t)

根据置换定理，将电感用电流为电流源替代，如图所示利用网孔分析法解得则电感电流（一阶RL电路的零状态响应）为2)求电流i(t6-5线性动态电路的叠加原理一、完全响应：初始状态不为零，同时又有外加激励的作用，这时电路的响应称为完全响应。全响应=零输入响应+零状态响应二、线性一阶电路的叠加原理若初始时刻为t=0，对所有的时刻，有零输入响应线性零状态响应线性6-5线性动态电路的叠加原理一、完全响应：全响应=零输入既有初始状态，又有外激励作用，则，电容电压为全响应例：如图所示电路设t=0时，开关由a投向b，且Uc(0)=U0

建立换路后的微分方程换路后的稳态值为该一阶线性微分方程解的形式为由初始条件确定常数K则则全响应为既有初始状态，又有外激励作用，则，电讨论：1)若Is=0，则为零输入响应2)若U0=0，则为零状态响应

3)电路的完全响应

零输入响应零状态响应稳态响应暂态响应讨论：1)若Is=0，则为零输入响应2)若U0=0，则为

完全响应为零输入响应与零状态响应之和，或强制响应（稳态响应）与固有响应（暂态响应）之和。这一结论称为线性动态电路的叠加定理。注意非零初始状态的动态元件的全响应不满足叠加原理，即全响应并非激励单独作用时响应的总和。例6-12P211求响应uc(t)1)is(t)=2A，uc(0)=1V2)is(t)=3A，uc(0)=1V3)is(t)=5A，uc(0)=1V解：由题意可知，电容电压的稳态值τ=RC=1s完全响应为零输入响应与零状态响应之和，或强制响应（稳

1）零输入响应为零状态响应为全响应为2）零输入响应为零状态响应为全响应为3）零输入响应为零状态响应为全响应为全响应并非激励单独作用时响应的总和。1）零输入响应为零状态响应为全响应为2）零输入响应为例:如图所示,开关闭合前,电路已处于稳态,t=0时,开关闭合,求,若12V电源改为24V电源,情况如何?解：开关闭合前，两电源均对电容进行充电，直到电路达到稳态，即电容作开路处理，电容电压具有初始值；开关闭合后36V电源作为外激励对电路提供能量。电路响应为完全响应，根据叠加定理，可看作是零输入响应和零状态响应的和。零输入和零状态电路的时间常数一样，是，R为换路后从电容看过去的戴维南等效电阻则例:如图所示,开关闭合前,电路已处于稳态,t=0时,开关闭合如右图所示，求电容电压初始值由换路定律得仅初始状态起作用，没有外激励，需要求出初始值1、零输入响应则零输入响应为2、零状态响应初始状态为零，仅外激励作用，需要求出稳态值如右图所示，求电容电压初始值由换路定律得仅初始状态起作用，没如右图所示，求电容电压的稳态值则零状态响应为则根据叠加定理，完全响应为12V电源只在换路前起作用，只会影响初始状态，即对零状态响应没影响，只对零输入有影响。如右图所示，求电容电压的稳态值则零状态响应为则根据叠加定理，6-6三要素法本节将给出在直流输入情况下，直接写出动态电路完全响应表达式的一种简单方法，即“三要素”法。（状态变量和非状态变量均可）所谓“三要素”即变量的初始值变量的稳态值时间常数τ条件：电路为一阶电路；直流输入。一、三要素法求变量完全响应公式一阶动态电路任意变量的完全响应为：6-6三要素法本节将给出在直流输入情况下，直接写出动态画出t=0-时等效电路，电容开路，电感短路。求出uc(0-)和iL(0-)。二、利用三要素公式求解步骤（1）求初始值y

(0+)（2）求稳态值（趋向值）y

(∞）画出t趋于无穷大时等效电路（电路处于稳态）。电容开路，电感短路。求出y(∞）。根据换路定律，有uc(0+)=uc(0-)，iL(0+)=iL(0-)。画出t=0+时等效电路，电容用uc(0+)的电压源代之；电感用iL(0+)的电流源代之。求出任意y

(0+)画出t=0-时等效电路，电容开路，电感短路。求出uc(0-)（3）求时间常数τ电容：τ＝RC电感：τ＝L/RR为换路后从动态元件看过去的戴维南/诺顿等效电阻（4）代入公式即求出电路的完全响应。零输入响应零状态响应稳态响应暂态响应（3）求时间常数τ电容：τ＝RCR为换路后从动态元件看过去例6-16：如图所示电路，t=0时开关由a投向b。试用三要素法求i(t)、iL(t)的表达式。假定换路前电路处于稳态。解：1)求iL(0+)及i(0+)

换