代数系统一般性质课件

§5二元运算及其性质个代数系统需要满足下面三个条件(1)有一个非空集合S;2)有一些建立在集合S上的运算(3)这些运算在集合S上是封闭的上述三个条件说明如下集合S上的元素一般讲是一些经过抽象的元素,如自然数、实数、字母、字符串等。集合S给出了代数系统所研究的客体的范围运算的概念具有一定的广泛性和抽象性,不仅包括常见的算术运算(+,,×,÷),还包括抽象的运算,如两个字符串的“并置”等,也包括任意定义的运算。“运算”是代数系统对其研究客体加工的工具集合S中的元素经某一运算后它的结果仍在S中,则称此运算在集合S上是封闭的§5二元运算及其性质1例:①一个在整数集Z上且带有加法运算的系统构成了一个代数系统<Z,+>2,-1,0,1,2,3,,}且有集合Z上的运算“+”,这个加法运算对Z是封闭的②一个在实数集R上且带有两个二元运算“+”与“×”的系统构成一个代数系统<R是一个集合,在R上的两个运算它们均是封闭的定义5.1设S为集合,函数f:S×S→S称为S上的二元运算,简称为二元运算。例:①一个在整数集Z上且带有加法运算的系统2§5.1二元运算及其性质考虑:f:N×N→N,f(x,y))=x-y呢?验证一个运算是否为集合S上的二元运算需考虑两点:(1)S中任两个元素都能进行这种运算,且运算结果唯(2)S中任意两个元素的运算结果都属于S,即S对该运算是封闭的不是考虑除法运算是否是实数:0不能做除法运算集R上的二元运算呢?集合R0可以定义除法运算。§5.1二元运算及其性质3例51考察下列运算是否是指定集合上二元运算?(1)自然数集合N上的加、减、乘、除(2)整数集合Z上的加、减、乘、除。(3)非零实数集R*上的加、减、乘、除。(4)n阶实矩阵上的加、乘。(5)集合S的幂集上的U、∩(6)集合S上的所有函数的集SS上的复合运算ss={f|f:s→S}注意通常用°,*,,…等符号表示二元运算,称为算符如:设f:S×S→S称为S上的二元运算,对于任意的x,y∈S,如果x与y的运算结果是z,即f(<x,y>)=z,可利用算符。简记为ⅹ。y=z例51考察下列运算是否是指定集合上二元运算?4例52正整数集合Z+上的加法运算是一个二元运算,下列运算均是Z+的子集,下列加法运算在这些子集上是元运算吗?说明理由(1)S1={n|n是15的因子}(2)S2={n|n是15的倍数}(3)S3={n|6整除n,而24整除n2解:(1)加法运算在S1上不封闭。因为3∈S1,5∈S1但3+5=8gS1,∴不是二元运算(2)加法运算在S2上是封闭的。其证明如下:对于任意n1,n2∈S2,设n1=15k1,n2=15k2(k1,k2)则n1+n2=15k1+15k2=15(k1+k2)(k1+k2∈Z+)n1+n2∈∴是二元运算例52正整数集合Z+上的加法运算是一个二元运算,下5代数系统一般性质课件6代数系统一般性质课件7代数系统一般性质课件8代数系统一般性质课件9代数系统一般性质课件10代数系统一般性质课件11代数系统一般性质课件12代数系统一般性质课件13代数系统一般性质课件14代数系统一般性质课件15代数系统一般性质课件16代数系统一般性质课件17代数系统一般性质课件18代数系统一般性质课件19代数系统一般性质课件20代数系统一般性质课件21代数系统一般性质课件22代数系统一般性质课件23代数系统一般性质课件24代数系统一般性质课件25代数系统一般性质课件26代数系统一般性质课件27代数系统一般性质课件28代数系统一般性质课件29代数系统一般性质课件30代数系统一般性质课件31代数系统一般性质课件32代数系统一般性质课件33代数系统一般性质课件34代数系统一般性质课件35代数系统一般性质课件36代数系统一般性质课件37代数系统一般性质课件38代数系统一般性质课件39代数系统一般性质课件40代数系统一般性质课件41代数系统一般性质课件42代数系统一般性质课件43代数系统一般性质课件44代数系统一般性质课件45代数系统一般性质课件46代数系统一般性质课件47代数系统一般性质课件48代数系统一般性质课件49代数系统一般性质课件50代数系统一般性质课件51代数系统一般性质课件52代数系统一般性质课件53代数系统一般性质课件54代数系统一般性质课件55代数系统一般性质课件56代数系统一般性质课件57代数系统一般性质课件58代数系统一般性质课件59代数系统一般性质课件60§5二元运算及其性质个代数系统需要满足下面三个条件(1)有一个非空集合S;2)有一些建立在集合S上的运算(3)这些运算在集合S上是封闭的上述三个条件说明如下集合S上的元素一般讲是一些经过抽象的元素,如自然数、实数、字母、字符串等。集合S给出了代数系统所研究的客体的范围运算的概念具有一定的广泛性和抽象性,不仅包括常见的算术运算(+,,×,÷),还包括抽象的运算,如两个字符串的“并置”等,也包括任意定义的运算。“运算”是代数系统对其研究客体加工的工具集合S中的元素经某一运算后它的结果仍在S中,则称此运算在集合S上是封闭的§5二元运算及其性质61例:①一个在整数集Z上且带有加法运算的系统构成了一个代数系统<Z,+>2,-1,0,1,2,3,,}且有集合Z上的运算“+”,这个加法运算对Z是封闭的②一个在实数集R上且带有两个二元运算“+”与“×”的系统构成一个代数系统<R是一个集合,在R上的两个运算它们均是封闭的定义5.1设S为集合,函数f:S×S→S称为S上的二元运算,简称为二元运算。例:①一个在整数集Z上且带有加法运算的系统62§5.1二元运算及其性质考虑:f:N×N→N,f(x,y))=x-y呢?验证一个运算是否为集合S上的二元运算需考虑两点:(1)S中任两个元素都能进行这种运算,且运算结果唯(2)S中任意两个元素的运算结果都属于S,即S对该运算是封闭的不是考虑除法运算是否是实数:0不能做除法运算集R上的二元运算呢?集合R0可以定义除法运算。§5.1二元运算及其性质63例51考察下列运算是否是指定集合上二元运算?(1)自然数集合N上的加、减、乘、除(2)整数集合Z上的加、减、乘、除。(3)非零实数集R*上的加、减、乘、除。(4)n阶实矩阵上的加、乘。(5)集合S的幂集上的U、∩(6)集合S上的所有函数的集SS上的复合运算ss={f|f:s→S}注意通常用°,*,,…等符号表示二元运算,称为算符如:设f:S×S→S称为S上的二元运算,对于任意的x,y∈S,如果x与y的运算结果是z,即f(<x,y>)=z,可利用算符。简记为ⅹ。y=z例51考察下列运算是否是指定集合上二元运算?64例52正整数集合Z+上的加法运算是一个二元运算,下列运算均是Z+的子集,下列加法运算在这些子集上是元运算吗?说明理由(1)S1={n|n是15的因子}(2)S2={n|n是15的倍数}(3)S3={n|6整除n,而24整除n2解:(1)加法运算在S1上不封闭。因为3∈S1,5∈S1但3+5=8gS1,∴不是二元运算(2)加法运算在S2上是封闭的。其证明如下:对于任意n1,n2∈S2,设n1=15k1,n2=15k2(k1,k2)则n1+n2=15k1+15k2=15(k1+k2)(k1+k2∈Z+)n1+n2∈∴是二元运算例52正整数集合Z+上的加法运算是一个二元运算,下65代数系统一般性质课件66代数系统一般性质课件67代数系统一般性质课件68代数系统一般性质课件69代数系统一般性质课件70代数系统一般性质课件71代数系统一般性质课件72代数系统一般性质课件73代数系统一般性质课件74代数系统一般性质课件75代数系统一般性质课件76代数系统一般性质课件77代数系统一般性质课件78代数系统一般性质课件79代数系统一般性质课件80代数系统一般性质课件81代数系统一般性质课件82代数系统一般性质课件83代数系统一般性质课件84代数系统一般性质课件85代数系统一般性质课件86代数系统一般性质课件87代数系统一般性质课件88代数系统一般性质课件89代数系统一般性质课件90代数系统一般性质课件91代数系统一般性质课件92代数系统一般性质课件93代数系统一般性质课件94代数系统一般性质课件95代数系统一般性质课件96代数系统一般性质课件97代数系统一般性质课件98代数系统一般性质课件99代数系统一般性质课件100代数系统一般性质课件101代数系统一般性质课件102代数系统一般性质课件103代数系统一般性质课件104代数系统一般性质课件105代数系统一般性质课件106代数系统一般