2020高中数学 模块复习课讲义 2-1

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE17-学必求其心得，业必贵于专精模块复习课一、常用逻辑用语1．充分条件与必要条件（1）若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)若p⇔q，则p是q的充要条件．（3)若p⇒q，qp，则p是q的充分不必要条件．(4）若pq，q⇒p，则p是q的必要不充分条件．(5)若pq，qp，则p是q的既不充分也不必要条件．2．全称命题与存在性命题的否定（1)全称命题的否定p：∀x∈M，p（x)．綈p：∃x∈M，綈p(x)．（2)存在性命题的否定p：∃x∈M,p(x）．綈p：∀x∈M，綈p（x)．二、圆锥曲线与方程1．椭圆（1）椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于｜F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆．(2)椭圆的标准方程焦点在x轴上：eq\f（x2,a2)＋eq\f(y2,b2）＝1(a>b>0），焦点在y轴上:eq\f(y2，a2)＋eq\f(x2,b2）＝1(a〉b〉0）．(3）椭圆的几何性质①范围：对于椭圆eq\f(x2,a2）＋eq\f(y2，b2)＝1（a>b〉0），－a≤x≤a，－b≤y≤b。②对称性：椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2，b2）＝1或eq\f（y2,a2)＋eq\f（x2,b2)＝1（a>b〉0),关于x轴，y轴及原点对称．③顶点：椭圆eq\f（x2,a2）＋eq\f(y2,b2）＝1的顶点坐标为A1(－a，0），A2(a,0），B1(0，－b），B2(0，b)．④离心率：e＝eq\f(c，a)，离心率的范围是e∈(0，1）．⑤a,b,c的关系：a2＝b2＋c2.2．双曲线（1）双曲线的定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于｜F1F2(2)双曲线的标准方程焦点在x轴上：eq\f(x2，a2）－eq\f（y2，b2)＝1（a>0，b>0），焦点在y轴上:eq\f（y2，a2）－eq\f(x2，b2)＝1(a>0，b>0)；(3)双曲线的几何性质①范围：对于双曲线eq\f（y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1（a>0，b>0)，y≥a或y≤－a，x∈R,②对称性：双曲线eq\f(x2，a2)－eq\f（y2,b2）＝1或eq\f（y2，a2）－eq\f（x2，b2）＝1(a〉0，b〉0）关于x轴，y轴及原点对称．③顶点：双曲线eq\f（x2,a2）－eq\f(y2,b2）＝1(a〉0，b>0)的顶点坐标为A1(－a,0)，A2（a,0），双曲线eq\f(y2，a2)－eq\f(x2,b2)＝1（a〉0，b>0）的顶点坐标为A1′(0，－a)，A2′(0,a），④渐近线：双曲线eq\f（x2，a2）－eq\f(y2，b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±eq\f(b，a）x，双曲线eq\f(y2,a2）－eq\f(x2,b2）＝1（a>0，b>0）的渐近线方程为y＝±eq\f(a，b）x。⑤离心率:e＝eq\f（c,a),双曲线离心率的取值范围是e∈（1,＋∞），⑥a，b,c的关系：c2＝a2＋b2。3．抛物线（1)抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．(2）抛物线的标准方程焦点在x轴上:y2＝±2px（p>0），焦点在y轴上：x2＝±2py（p〉0)．（3）抛物线的几何性质①范围：对于抛物线x2＝2py（p〉0)，x∈R,y∈[0，＋∞）．②对称性：抛物线y2＝±2px(p〉0），关于x轴对称,抛物线x2＝±2py（p〉0)，关于y轴对称．③顶点:抛物线y2＝±2px和x2＝±2py(p〉0）的顶点坐标为（0，0)．④离心率：抛物线上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比叫做抛物线的离心率,由抛物线的定义知e＝1。三、空间向量与立体几何1．空间向量及其运算(1）共线向量定理：a∥b⇔a＝λb(b≠0),(2)P，A，B三点共线⇔eq\o（OP,\s\up8(→)）＝xeq\o(OA,\s\up8(→）)＋yeq\o(OB，\s\up8（→)）(x＋y＝1），（3)共面向量定理:p与a,b共面⇔p＝xa＋yb,(4）P,A，B,C四点共面⇔eq\o(OP,\s\up8（→））＝xeq\o(OA，\s\up8(→)）＋yeq\o(OB，\s\up8（→)）＋zeq\o（OC，\s\up8(→）)(x＋y＋z＝1),(5)空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组｛x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，把{a，b，c}叫做空间的一个基底．(6）空间向量运算的坐标表示设a＝(a1，a2，a3）,b＝(b1，b2,b3),则①a±b＝（a1±b1,a2±b2，a3±b3),②λa＝（λa1，λa2，λa3)，③a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3,④a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3，⑤a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0，⑥|a|＝eq\r(a·a）＝eq\r（a\o\al(2,1）＋a\o\al(2,2)＋a\o\al（2，3)），⑦cos〈a，b〉＝eq\f（a·b，|a｜|b|)＝eq\f（a1b1＋a2b2＋a3b3，\r(a\o\al（2,1)＋a\o\al(2,2）＋a\o\al(2,3））\r(b\o\al（2，1）＋b\o\al（2，2）＋b\o\al（2,3）)），⑧若A（x1，y1，z1）,B（x2,y2，z2)，则eq\o(AB，\s\up8（→)）＝（x2－x1，y2－y1，z2－z1），｜eq\o(AB，\s\up8（→)）|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12＋z2－z12）.2．立体几何中的向量方法（1）异面直线所成的角两条异面直线所成的角为θ，两条异面直线的方向向量分别为a，b，则cosθ＝｜cos<a，b>｜＝eq\f（|a·b|，｜a|｜b|),(2）直线与平面所成的角直线与平面所成的角为θ，直线的方向向量为a，平面的法向量为n,则sinθ＝｜cos<a,n>｜＝eq\f(｜a·n|,|a||n｜）(3）二面角二面角为θ，n1，n2为两平面的法向量,则|cosθ|＝|cos<n1，n2〉｜＝eq\f（|n1·n2|，｜n1||n2｜）1．使a>b成立的充分不必要条件是a>b－1.(×）a>b－1a>b。2．当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．（√)3．“全等三角形的面积相等”是存在性命题．（×）4．命题p:∀x∈（0，＋∞)，则x2＋2x＋1〉0，则綈p为：∃x∈（－∞，0]，使x2＋2x＋1≤0.（×)［提示］綈p应为∃x∈(0，＋∞),使x2＋2x＋1≤0.5．命题“菱形的两条对角线相等”是全称命题且是真命题．(×）［提示]此命题是全称命题，但是是假命题．6．“x>6”是“x>1"的充分不必要条件．(√)［提示］x>6⇒x>1，但x>1x>6.7．平面内与两个定点的距离之和为定值的点的轨迹是椭圆．（×)8．椭圆上的点到焦点的最大距离为a＋c，最小距离为a－c。（√)[提示］椭圆长轴的端点到焦点的距离有最大值或最小值．9．已知F1(－4,0)，F2（4，0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆．（×）［提示］|F1F2｜＝8，故点的轨迹是线段F1F10．椭圆2x2＋3y2＝12的焦点坐标为（0，±eq\r（2）)．（×）［提示]椭圆标准方程为eq\f(x2,6）＋eq\f（y2，4)＝1，c2＝a2－b2＝2，故椭圆的焦点坐标为（±eq\r（2）,0）．11．已知椭圆的标准方程为eq\f(x2，25）＋eq\f（y2，m2）＝1（m>0），焦距为6,则实数m的值为4。（×）[提示]当焦点在x轴上时，由25－m2＝9得m＝4，当焦点在y轴上时，m2－25＝9得m＝eq\r（34)。12．已知F1(－4,0）,F2(4,0）,动点P满足|PF1｜－｜PF2｜＝8，则点P的轨迹是双曲线的右支．(×）［提示］点P的轨迹是一条射线．13．“0≤k〈3”是方程eq\f(x2，k＋1)＋eq\f（y2，k－5)＝1表示双曲线的充要条件．（×）［提示］当0≤k<3时，方程eq\f（x2，k＋1)＋eq\f（y2,k－5)＝1表示双曲线，若方程eq\f（x2，k＋1）＋eq\f(y2，k－5）＝1表示双曲线，则有（k＋1）(k－5）<0，即－1〈k〈5，故原命题错误．14．双曲线2x2－y2＝8的实轴长为2.(×）[提示］双曲线标准方程为eq\f(x2，4）－eq\f（y2,8)＝1，因此双曲线的实轴长为4。15．等轴双曲线的渐近线相同．(√)［提示］等轴双曲线的渐近线方程都是y＝±x。16．到定点和定直线距离相等的点的轨迹是抛物线．（×）［提示]当定点在定直线上时点的轨迹是一条直线．17．抛物线y＝2x2的焦点坐标是eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4）)）。（×)[提示]抛物线标准方程为x2＝eq\f(1,2）y,故焦点坐标为eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f（1，8）)）.18．抛物线y2＝2px(p〉0)中过焦点的最短弦长为2p。(√)［提示]抛物线中通径是最短的弦长．19．抛物线y＝ax2（a≠0）的准线方程为y＝2,则实数a的值是eq\f（1，8）。(×）［提示］抛物线标准方程为x2＝eq\f（1,a)y，则－eq\f（1,4a）＝2，解得a＝－eq\f（1，8).20．AB为抛物线y2＝2px(p＞0）的过焦点Feq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（p,2），0)）的弦,若A(x1，y1)，B(x2，y2），则｜AB｜＝x1＋x2＋p.(√）21．若空间任一点O和不共线的三点A，B，C满足eq\o(OP,\s\up8（→））＝eq\f(1，2)eq\o(OA,\s\up8（→））＋eq\f(3，2)eq\o（OB，\s\up8（→）)－eq\o（OC，\s\up8（→))，则点P与A，B，C共面．(√)［提示]eq\f(1,2)＋eq\f（3,2)－1＝1，故四点共面．22．a，b为空间向量，则cos<a，b>＝cos〈b，a〉．（√)［提示]<a，b〉＝〈b，a〉，则cos<a，b〉＝cos〈b,a>．23．两个平面垂直，则这两个平面的法向量也垂直．(√)［提示]由平面法向量的定义可知．24．直线与平面垂直，则直线的方向向量与平面的法向量垂直．（×)[提示］直线的方向向量与平面的法向量平行．25．若向量e1，e2,e3是三个不共面的向量，且满足k1e1＋k2e2＋k3e3＝0，则k1＝k2＝k3＝0.(√)［提示］假设k1≠0,则e1＝－eq\f(k2，k1)e2－eq\f（k3，k1）e3，则e1，e2，e3共面．26．若直线的方向向量与平面的法向量所成的角为150°,则直线与平面所成的角为30°。（×）［提示]直线与平面所成的角为60°。27．若直线与平面所成的角为0°，则直线在平面内．(×)［提示］直线与平面也可能平行．28．两个平面的法向量所成的角为120°，则两个平面所成的二面角也是120°.(×)［提示]二面角的度数是120°或60°.29．两条异面直线所成的角为30°，则两条直线的方向向量所成的角可能是150°.（√）[提示]根据向量所成角的定义知正确．30．若二面角是30°，则在二面角的两个半平面内与二面角的棱垂直的直线的方向向量所成的角也是30°。(×)［提示］在二面角的两个半平面内与棱垂直的直线的方向向量所成的角是30°或150°.1．（2018·全国卷Ⅱ)双曲线eq\f（x2，a2）－eq\f（y2,b2）＝1（a〉0,b>0)的离心率为eq\r（3)，则其渐近线方程为()A．y＝±eq\r（2)x B．y＝±eq\r(3）xC．y＝±eq\f(\r(2），2)x D．y＝±eq\f(\r（3),2）xA[因为双曲线的离心率为eq\r(3)，所以eq\f(c，a）＝eq\r（3），即c＝eq\r(3)a.又c2＝a2＋b2，所以(eq\r（3）a）2＝a2＋b2,化简得2a2＝b2,所以eq\f（b,a）＝eq\r（2）.因为双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(b，a）x，所以y＝±eq\r(2)x。故选A]2．(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点（－2,0）且斜率为eq\f(2，3）的直线与C交于M，N两点,则eq\o(FM，\s\up8(→）)·eq\o（FN，\s\up8(→））＝（）A．5 B．6C．7 D．8D[法一:过点（－2，0）且斜率为eq\f(2，3)的直线的方程为y＝eq\f(2,3)（x＋2）,由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（y＝\f(2，3)x＋2,,y2＝4x，))得x2－5x＋4＝0，解得x＝1或x＝4,所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，，y＝2))或eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝4,,y＝4,）)不妨设M（1，2)，N(4,4），易知F(1，0)，所以eq\o(FM,\s\up8（→））＝（0,2),eq\o（FN,\s\up8（→））＝(3，4)，所以eq\o（FM，\s\up8(→）)·eq\o（FN，\s\up8（→)）＝8.故选D。法二：过点（－2，0）且斜率为eq\f（2，3）的直线的方程为y＝eq\f(2，3)（x＋2），由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（y＝\f(2，3)x＋2，，y2＝4x，))得x2－5x＋4＝0，设M(x1，y1），N(x2，y2），则y1＞0，y2＞0，根据根与系数的关系，得x1＋x2＝5，x1x2＝4.易知F(1，0)，所以eq\o(FM，\s\up8(→））＝（x1－1，y1)，eq\o(FN，\s\up8(→)）＝（x2－1，y2)，所以eq\o(FM,\s\up8（→)）·eq\o（FN，\s\up8（→)）＝(x1－1)(x2－1）＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋4eq\r(x1x2)＝4－5＋1＋8＝8.故选D.］3．（2018·全国卷Ⅱ)在长方体ABCD.A1B1C1D1中，AB＝BC＝1,AA1＝eq\r(3)，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为（)A.eq\f（1,5） B.eq\f（\r(5)，6)C。eq\f(\r（5），5） D。eq\f（\r(2),2）C[法一：如图，补上一相同的长方体CDEF­C1D1E1F1，连接DE1,B1E1。易知AD1∥DE1，则∠B1DE1为异面直线AD1与DB1所成角．因为在长方体ABCD。A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝eq\r（3),所以DE1＝eq\r(DE2＋EE\o\al（2，1)）＝eq\r（12＋\r(3）2)＝2，DB1＝eq\r（12＋12＋\r(3)2）＝eq\r（5），B1E1＝eq\r(A1B\o\al（2,1）＋A1E\o\al(2，1)）＝eq\r（12＋22)＝eq\r(5），在△B1DE1中，由余弦定理得cos∠B1DE1＝eq\f（22＋\r(5)2－\r（5)2，2×2×\r（5)）＝eq\f(\r（5），5),即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为eq\f（\r（5)，5)，故选C。法二：如图，连接BD1，交DB1于O,取AB的中点M,连接DM，OM,易知O为BD1的中点，所以AD1∥OM，则∠MOD为异面直线AD1与DB1所成角．因为在长方体ABCD。A1B1C1D1中，AB＝BC＝1,AA1＝eq\r(3)，AD1＝eq\r（AD2＋DD\o\al（2,1））＝2,DM＝eq\r（AD2＋\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1，2)AB)）2)＝eq\f（\r（5)，2)，DB1＝eq\r（AB2＋AD2＋DD\o\al(2,1))＝eq\r（5)，所以OM＝eq\f（1,2)AD1＝1，OD＝eq\f（1，2)DB1＝eq\f（\r（5）,2)，于是在△DMO中，由余弦定理，得cos∠MOD＝eq\f(12＋\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（\r（5），2)）)2－\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（\r（5），2))）2，2×1×\f（\r(5），2)）＝eq\f（\r（5)，5),即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为eq\f（\r（5)，5），故选C.法三：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图所示．由条件可知D（0，0，0），A（1，0,0），D1（0，0，eq\r(3）)，B1（1，1，eq\r(3）),所以eq\o(AD1,\s\up8（→))＝（－1，0，eq\r（3)），eq\o（DB1,\s\up8（→))＝(1,1，eq\r（3)),则由向量夹角公式，得cos〈eq\o（AD1,\s\up8（→)），eq\o(DB1,\s\up8(→）)〉＝eq\f（\o(AD1，\s\up8（→））·\o（DB1，\s\up8(→)）,｜\o（AD1，\s\up8(→）)|·｜\o(DB1,\s\up8（→)）|）＝eq\f(2，2\r（5））＝eq\f(\r(5),5），即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为eq\f（\r（5），5），故选C.]4．(2018·全国卷Ⅰ）已知双曲线C：eq\f（x2，3)－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N。若△OMN为直角三角形，则｜MN｜＝（）A．eq\f(3，2) B．3C．2eq\r(3) D．4B［因为双曲线eq\f(x2，3）－y2＝1的渐近线方程为y＝±eq\f(\r（3），3)x，所以∠MON＝60°。不妨设过点F的直线与直线y＝eq\f（\r（3),3）x交于点M，由△OMN为直角三角形，不妨设∠OMN＝90°,则∠MFO＝60°，又直线MN过点F（2,0)，所以直线MN的方程为y＝－eq\r（3）(x－2)，由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(y＝－\r（3）x－2，,y＝\f(\r(3),3）x，)）得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝\f（3，2）,,y＝\f（\r(3），2)，))所以Meq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(3,2),\f(\r（3）,2）)）,所以｜OM|＝eq\r（\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(3，2))）2＋\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（\r（3），2))）2）＝eq\r(3），所以|MN｜＝eq\r（3）|OM|＝3，故选B.]5．（2018·全国卷Ⅲ）已知点M（－1，1)和抛物线C:y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB＝90°,则k＝________.［解析］法一:由题意知抛物线的焦点为（1，0）,则过C的焦点且斜率为k的直线方程为y＝k（x－1)（k≠0）,由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，，y2＝4x))消去y得k2（x－1）2＝4x，即k2x2－（2k2＋4）x＋k2＝0。设A（x1，y1)，B（x2，y2），则x1＋x2＝eq\f（2k2＋4,k2)，x1x2＝1.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（y＝kx－1，,y2＝4x））消去x得y2＝4eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1，k）y＋1）)，即y2－eq\f（4,k)y－4＝0，则y1＋y2＝eq\f（4,k），y1y2＝－4。由∠AMB＝90°，得eq\o(MA,\s\up8(→))·eq\o(MB,\s\up8（→))＝(x1＋1，y1－1）·（x2＋1，y2－1）＝x1x2＋x1＋x2＋1＋y1y2－（y1＋y2）＋1＝0，将x1＋x2＝eq\f(2k2＋4,k2），x1x2＝1与y1＋y2＝eq\f(4，k)，y1y2＝－4代入，得k＝2.法二:设抛物线的焦点为F，A（x1,y1),B(x2，y2）,则eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（y\o\al(2,1)＝4x1,y\o\al(2,2）＝4x2,））所以yeq\o\al（2,1）－yeq\o\al(2，2）＝4(x1－x2)，则k＝eq\f（y1－y2，x1－x2）＝eq\f(4，y1＋y2）.取AB的中点M′(x0，y0）,分别过点A，B作准线x＝－1的垂线，垂足分别为A′，B′，又∠AMB＝90°，点M在准线x＝－1上，所以｜MM′｜＝eq\f(1，2）|AB｜＝eq\f（1，2）（|AF|＋|BF｜)＝eq\f（1,2)（｜AA′|＋｜BB′｜)．又M′为AB的中点，所以MM′平行于x轴，且y0＝1,所以y1＋y2＝2，所以k＝2。[答案］26．(2018·全国Ⅰ卷）如图，四边形ABCD为正方形,E，F分别为AD，BC的中点,以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF.（1）证明：平面PEF⊥平面ABFD；（2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值．［解］（1）由已知可得，BF⊥PF,BF⊥EF，又PF⊂平面PEF,EF⊂平面PEF，且PF∩EF＝F,所以BF⊥平面PEF。又BF⊂平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD。（2)作PH⊥EF，垂足为H。由（1）得,PH⊥平面ABFD.以H为坐标原点,eq\o(HF,\s\up8(→））的方向为y轴正方向,|eq\o(BF，\s\up8(→）)｜为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H­xyz.由（1)可得，DE⊥PE。又DP＝2，DE＝1,所以PE＝eq\r（3）.又PF＝1，EF＝2,PF2＋PE2＝EF2，故PE⊥PF.可得PH＝eq\f（\r(3),2)，EH＝eq\f（3,2）.则H(0,0，0），Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（0，0,\f（\r(3），2))），Deq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（－1,－\f(3,2），0）),eq\o（DP，\s\up8(→))＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1