2020高中数学 课时素养评价二十三 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 2

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE10-学必求其心得，业必贵于专精课时素养评价二十三圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积（25分钟·50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为 (）A。1∶2 B。1∶3 C。1∶5 D.3∶2【解析】选C.设圆锥的高为a,则底面半径为a2则S底=π·a22=πa24，S侧=π·a2·a2+a2【加练·固】圆柱的一个底面积是S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是 ()A。4πS B.2πS C.πS D。23【解析】选A.底面半径是Sπ，所以正方形的边长是2πSπ=2πS，故圆柱的侧面积是（2πS）2.圆台上、下底面面积分别是π、4π,侧面积是6π，这个圆台的体积是 ()A.233π B.2C。736π D.【解析】选D。S1=π,S2=4π，所以r=1，R=2，S侧=6π=π(r+R)l，所以l=2，所以h=3。所以V=13π×(1+4+2)×3=733.设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是 （）A。43π B。8π3 C.43π 【解析】选C。设正方体棱长为a,由题意可知，6a2=24，所以a=2。设正方体外接球的半径为R，则3a=2R，所以R=3,所以V球=43πR3=434.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依恒内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图所示，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？"已知1斛米的体积约为1。62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有 （）A.14斛 B.22斛 C。36斛 D。66斛【解析】选B.由l=14×2πr=8得圆锥底面的半径r=16π≈163,所以米堆的体积V=14×13πr2h=14×2569×5=3209（立方尺二、填空题(每小题4分，共8分）5.若圆锥的侧面展开图是圆心角为180°,半径为4的扇形，则这个圆锥的表面积是________。

【解析】设圆锥的底面半径为r,则2πr=4π，所以r=2，所以圆锥的表面积为S=πr2+12π×42=4π+12π×16=12答案：12π6。两个半径为1的实心铁球，熔化成一个球，这个大球的半径是________.

【解析】设大球的半径为R，则有43πR3=2×43π×13,R3=2,所以R=答案:3三、解答题(共26分)7.（12分）如图所示，△ABC中，AC=3,BC=4，AB=5，以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周,求所得到的旋转体的表面积.【解析】过C点作CD⊥AB于点D.如图所示,△ABC以AB所在直线为轴旋转一周，所得到的旋转体是两个底面重合的圆锥，这两个圆锥的高的和为AB=5，底面半径DC=AC·BCAB故S表=π·DC·(BC+AC）=845π8。（14分）一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球，在圆锥里又有一个内切球。求:(1)圆锥的侧面积。（2）圆锥内切球的体积。【解析】（1）如图所示，作出轴截面，则等腰△SAB内接于☉O,而☉O1内切于△SAB.设☉O的半径为R，则有43πR3=972π所以R3=729，R=9。所以SE=2R=18.因为SD=16，所以ED=2.连接AE，又因为SE是直径，所以SA⊥AE，SA2=SD·SE=16×18=288，所以SA=122。因为AB⊥SD，所以AD2=SD·DE=16×2=32，所以AD=42.所以S圆锥侧=π×42×122=96π.（2）设内切球O1的半径为r，因为△SAB的周长为2×(122+42）=322，所以12r×322=12×82所以内切球O1的体积V球=43πr3=2563（15分钟·30分）1。(4分)等边圆柱(轴截面是正方形)、球、正方体的体积相等，它们的表面积的大小关系是 （)A.S球〈S圆柱〈S正方体 B.S正方体〈S球<S圆柱C.S圆柱〈S球〈S正方体 D。S球<S正方体〈S圆柱【解析】选A。设等边圆柱底面圆半径为r，球半径为R,正方体棱长为a,则πr2·2r=43πR3=a3,Rr3=32，S圆柱=6πr2，S球=4πR2，S正方体=6a2,S球S圆柱=4πR26S正方体S圆柱=6a26π2。(4分）圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4,若母线长为10,则圆台的表面积为 (）A.81π B.100π C.168π D。169π【解析】选C.圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为r，下底面半径为R，则它的母线长为l=h2+(R-r)2=(4r)2+S表=S侧+πr2+πR2=100π+4π+64π=168π。3。（4分）湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为6cm,深为1cm的空穴，则该球半径是________cm,表面积是________cm2。

【解析】设球心为O，OC是与冰面垂直的一条球半径,冰面截球得到的小圆圆心为D，AB为小圆D的一条直径,设球的半径为R，则OD=R—1，则(R-1)2+32=R2，解得R=5cm，所以该球表面积为S=4πR2=4π×52=100π(cm2).答案:5100π4.(4分）如图,一个底面半径为2的圆柱被一平面所截,截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3,则该几何体的体积为________。

【解析】用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5=20π,故所求几何体的体积为10π.答案：10π【加练·固】如图所示的几何体是一棱长为4的正方体，若在其中一个面的中心位置上，挖一个直径为2、深为1的圆柱形的洞，则挖洞后几何体的表面积是________.

【解析】正方体的表面积为4×4×6=96,圆柱的侧面积为2π×1=2π,则挖洞后几何体的表面积约为96+2π.答案:96+2π5.(14分）轴截面为正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为2,求球的体积。 【解析】如图所示，作出轴截面,因为△ABC是正三角形，所以CD=12所以AC=4，AD=32×4=23因为Rt△AOE∽Rt△ACD，所以OEAO=CD设OE=R，则AO=23—R，所以R23-R=所以V球=43πR3=43π·23所以球的体积等于3231.若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r、R,则球的表面积为 （）A.4π（r+R)2 B.4πr2R2C。4πRr D.π（R+r)2【解析】选C.如图，设球的半径为r1,则在Rt△CDE中,DE=2r1,CE=R-r，DC=R+r。由勾股定理得4r12=(R+r）2-（R-r）2，解得r1=故球的表面积为S球=4πr12=42.一个圆锥的底面半径为2cm，高为6cm，在其内部有一个高为xcm的内接圆柱。 （1)求圆锥的侧面积.(2）当x为何值时,圆柱的侧面积最大?并求出侧面积的最大值。【解析】