《6.2.3 向量的数乘运算》课件（共两套）

第6章

平面向量及其应用6.2.2

向量的数乘运算☆当时，的方向和的方向相同；

当时，的方向和的方向相反；

当时，.向量的数乘1向量数乘的定义★一般地，我们规定实数和向量的积是

一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作

，它的长度和方向规定如下：☆

①向量数乘的结果仍然是向量，这

个向量的长度、方向都和

以及

有关；②实数和向量可以相乘，但不能相

加减，，无意义；

③表示和向量方向相同的单位

向量

④根据向量的数乘运算，向量

与的方向相

同或相反.

向量的数乘1向量数乘的几何意义

如图，在向量数乘中，可视为将向量的长度伸长

或缩短的倍数.

的符号表示是够改变向量的方向，当时，向量的方向和相同；当时，向量的方向和向量相反；当时，向量

理解意义常见的误区

当或时，均有,反之亦成立，即

容易出错的是当或的时候，误将当成实数0

向量的数乘1向量数乘的运算律设，为向量，，为实数，则：（1）（2）（3）

特别地，有

向量数乘运算律的验证以(1)为例验证：

若或或，显然成立；

若且且，则根据向量数乘的定义有，以及

①②③即与的模长相等.

综上，

注意，，这些特殊情况及

，同号、异号的情况.

★第二分配率的几何意义：将表示向量，的有向线段先相加，再伸长或缩短倍，

与将表示向量，的有向线段先伸长或缩短至原来的倍后再相加，所得的结果相

同.

★结合率的几何意义：将表示向量的有向线段先伸长或缩短至原来的倍，再伸长或

缩短倍，与将表示向量的有向线段伸长或缩短至原来的倍所得的结果相同.向量的数乘1运算律的几何意义以为例，解释如下：

★第一分配率的几何意义：将表示向量的有向线段伸长或缩短至原来的倍，与

将表示向量的有向线段先伸长或缩短至原来的倍后，在与表示向量的有向线段

伸长或缩短至原来的倍后相加所得的结果相同.

化简下列各式：【解】(1)原式=

(2)原式=

向量的线性运算2向量的加法、减法、数乘运算统称为向量的线性运算，线性运算的结果还是向量.对于任意向量，，以及任意实数，，，恒有以下等式成立：线性运算难点点拨

【1】向量的线性运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取

公因式”，只不过这里的“同类项”“公因式”都是向量，实数可以看做是

向量的系数.【2】对于向量的线性运算，关键是把握运算顺序，即先根据运算律去括号，再

进行数乘运算，最后进行向量的加减，即“先乘除，后加减”.向量共线定理3向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使向量共线定理理解点拨★向量共线定理中规定的原因：①若将去掉，则当时，显然和共线；

②当，若，则不存在实数使成立，此时与不共线.

③当时，若，则对一切的实数，都有，与“有唯

一一个实数”矛盾.

向量共线定理3向量共线的条件【1】当向量时，与任意向量共线；【2】当向量时，对于向量，如果有一个实数，使，那么由

向量数乘的定义知与共线.

【3】反之，已知向量与共线，且向量的长度是向量的长度的

倍，即，那么当与同方向时，有；当与

反向时，有.

【4】如果向量与不共线，且，那么.

三点共线4三点共线的判定定理对于平面内任意三点A、B、C，O为平面内不在A、B、C所在直线上的任意一点，设OC=OA+OB，若实数，满足，则A、B、C三点共线.

三点共线的判定定理的证明若存在实数，，使得OC=OA+OB，其中，O为平面内不在A、B、C所在直线上的任意一点，则OC=OA+OB=OA+OB

所以OC-OA=(OB-OA)，即AC=AB，所以AC与AB共线.又因为AC与AB有共同的起点，所以A、B、C三点共线.

在ΔABC中，D是AB边上一点.若AD=2DB，CD=CA+CB，求.

【解】由题意可得A、B、D三点共线，C为A、B、D所在直线上一点，且CD=CA+CB，则，

所以

∵E是AC的中点，所以四边形ABCG是平行四边形，所以AG=BC，所以DG=DA+AG=.又∵EF是ΔBGD的中位线，所以EF=GD=DG，所以EF=.因为四边形ABCD不一定是梯形，所以E点不一定是BG的中点.

平面几何性质运用不准确坑①如图，E、F分别是四边形ABCD对角线AC、BD的中点，设BC=，DA=，试用，表示EF.【错解】连接BE并延长，交CD于G，连接AG，如图.

在ΔABC中，EP是中位线，所以PE=BC+.

平面几何性质运用不准确坑①如图，E、F分别是四边形ABCD对角线AC、BD的中点，设BC=，DA=，试用，表示EF.【正解】如图，取AB的中点P，连接EP，FP.

在ΔABD中，FP是中位线，所以PF=AD=DA=.所以EF=EP+PF=-PE+PF=

【解】根据向量相等的概念，显然可以得到，A正确；

忽视零向量坑②已知平面向量，，，下列说法正确的是哪个？若，则若，则若若//，//，则//

因为向量包括大小和方向，所以得不出来，故B错误；

若或，故C错误；

若，满足//，//，但得不出//，故D错误.

【错解】A、B、D三点共线，证明如下：

混淆“向量共线”和“线段共线”坑③已知非零向量，不共线，且AP=2，PB=，CQ=，QD=，能否判定A、B、D三点共线?

所以CD=-2AB，即A、B、D三点共线.【正解】无法判定A、B、D三点是否共线，原因如下：

所以CD=-2AB，但向量共线包括线段平行和共线两种情况，所以无法判断.已知ΔABC的边BC上有一点D满足BD=3DC，则AD可以怎么表示？AD=-2AB+3ACAD=AB+ACAD=AB+ACAD=AB+AC题①

【解】如图所示，AD=AB+BD=AB+BC=AB+(AC-AB)=AB+BC

已知非零向量，求证：//题②【证明】∵，∴.

∵，∴.

∴//.

6.2.3向量的数乘运算第六章平面向量及其应用思考1：如图，已知向量a、b，求作向量a+b.●O作法1：三角形法则AB●OABCabab+OB=ab+OC=作法2：平行四边形法则旧知导入探究新知思考2：A·N·M·Q·P·C·B·O·思考3：知识探究（一）：数乘运算的定义规定：实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘运算.记作它的长度和方向规定如下：知识探究（二）：数乘运算的几何意义思考4：你能说明的几何意义吗？数乘向量的几何意义就是把向量沿的方向或反方向放大或缩短.若,当沿的方向放大了倍.当沿的方向缩短了倍.当,沿的反方向放大了倍.当沿的反方向缩短了倍.由其几何意义可以看出用数乘向量能解决几何中的相似问题.知识探究（三）：数乘运算的运算律思考5：如果把非零向量的长度伸长到原来的3.5倍，方向不变得到向量，向量该如何表示？向量之间的关系怎样？思考6：如果把思考4中的长度再伸长到原来的2倍，方向不变得到向量，向量该如何表示？向量之间的关系怎样？知识探究（三）：数乘运算的运算律数乘运算的运算律特别地：思考7：向量的加法、减法、数乘运算有什么共同点？向量的加法、减法、数乘运算的结果仍是向量。向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。例题讲解例1：计算：例题讲解例2：如图ABDCM小试牛刀小试牛刀