初中数学竞赛专题选讲最大最小值含答案

初中数学竞赛专题选讲(初三.20)最大最小值一、内容提要求二次函数y二ax2+bx+c(aH0)，的最大、最小值常用两种方法:①配方法：原函数可化为y=a(x+2)2+4ae-b22a4a4ae-b2y二一最小值4A4ae-b2y二一最小值4A，=4ae-b2最大值4ab・••若a>0时，当x=—匕时,2ab若a<0时，当x=—时，y2a②判别式法：原函数可化为关于x的二次方程ax2+bx+c—y=0.Vx在全体实数取值时,△20即b2—即b2—4a(c—y)20,4ay24ac—b2.若我。，详3，这时取等号，则y为最小值气产;4a4a若a<0,yW4ae-^，这时取等号，则y为最大值4ae-4a4a有时自变量x定在某个区间内取值，求最大、最小值时，要用到临界点，一般用配方法方便.用上述两种方法，可推出如下两个定理：定理一：两个正数的和为定值时，当两数相等时，其积最大.最大值是定值平方的四分之一.例如：两正数X和y,如果x+y=10,那么xy的积有最大值，最大值是25.定理二：两个正数的积为定值时，当两数相等时，其和最小.最小值是定值的算术平方根的2倍.例如：两正数x和y,如果xy=16,那么x+y有最小值，最小值是8.证明定理一,可用配方法,也叫构造函数法.设a>0,b>0,a+b=k.（k为定值）.那B么ab=a（k—a）=—a2+ka=—（a—k）2+1.24当a=*时，ab有最大值竺.24证明定理二,用判别式法,也叫构造方程法.设a>0,b>0,ab=k（k为定值），再设y=a+b.k那么y=a+k,a2—ya+k=0.（这是关于a的二次议程方程）aTa为正实数,22・°・△三0.・°・△三0.即（一y）2—4k三0,y2—4k三0.・・yW—2pk（不合题意舍去）；y±2.k.・・y=2、.；k.最小值解方程组”+匕=2尹，得a=b=.k.[ab=k.・••当a=b=、/k时，a+b有最小值2Jk.在几何中，求最大、最小值还有下列定理：定理三：一条边和它的对角都有定值的三角形，其他两边的和有最大值.当这两边相等时，其和的值最大.定理四：一条边和这边上的高都有定值的三角形，其他两边的和有最小值.当这两边相等时，其和的值最小.定理五：周长相等的正多边形，边数较多的面积较大；任何正多边形的面积都小于同周长的圆面积.二、例题例1.已知：3x2+2y2=6x,x和y都是实数，求：X2+y2的最大、最小值.解：由已知y2=竺二竺,Ty是实数，・・・y2±0.2即_三0，6x—3x2三0，x2—2xW0.

解得0WxW2.这是在区间内求最大、最小值，一般用配方法，6x-3x21/x9X2+y2=x2+二一(x—3)2+222在区间0WxW2中，当x=2时，X2+y2有最大值4.・••当x=0时，X2+y2=0是最小值.例2.已知：一个矩形周长的数值与它面积的数值相等.求：这个矩形周长、面积的最小值.解：用构造方程法.设矩形的长，宽分别为a,b其周长、面积的数值为k.那么2(a+b)=ab=k.口口a+b=—k，即］2ab=k.・・.a和b是方程X2—kx+k=0的两个实数根.2Ta,b都是正实数，•••△±0.k即(——)2—4k±0.2解得k±16；或解得k±16；或kW0.kW0不合题意舍去.・••当k±16取等号时，a+b,ab的值最小，最小值是16.即这个矩形周长、面积的最小值是16.例3.如图△ABC的边BC=a,高AD=h,要剪下一个矩形EFGH，问EH取多少长时，矩形的面积最大？最大面积是多少？解：用构造函数法设EH=x,S=y,则GH二2矩形x•.•△ahgs^abc，ax(h-x)ahahy=h一产-訐r.・••当x=2时，y最大值=罟即当eh=2时，矩形面积的最大值是罟例4.如图已知：直线m〃n，A，B，C都是定点，AB=a,AC=b,点P在AC上,BP的延长线交直线m于D.问：点P在什么位置时，S+S最小?△PAB△PCD解：设ZBAC=a，PA=x,则PC二b—x.°・°m〃n，.CD°・°m〃n，•ABPA・・・CD=a(-x)xS+S=△PAB△PCDS+S=△PAB△PCD2axSina+2叮(b_x)Sina=2=2aSina/b2一2bx+x2、(x+)=2aSina(2x+=2aSina(2x+竺-2b).xb2•・・2xX=2b2(定值),x根据定理二，2x+有最小值.xb2b21—・•・当2x=了,x=2<2b时,S+S的最小值是(辽—l)abSina.△PABAPCD例5.已知：RtAABC中，内切圆O的半径例5.已知：RtAABC中，内切圆O的半径r=1.求：S的最小值.△ABC解:VS=-ab△ABC2・・ab=2S.△AV2r=a+b—c,・V2r=a+b—c,・c=a+b－2r.・・a+b—2r=・・a+b—2r=、：a2+b2两边平方,得a2+b2+4r2+2ab—4(a+b)r=a2+b2.4r2+2ab—4(a+b)r=0.用r=1,ab=2S代入，得4+4S—4(a+b)=0.△△a+b=S+1.△•・・ab=2S且a+b=S+1.△△・°・a,b是方程•・・ab=2S且a+b=S+1.△△・°・a,b是方程X2—(S+l)x+2S=0的两个根.△△*•*a,b是正实数，•••△三0,即[—(S+1)]2—4X2S三0,△△S2—6S+1三0.△△解得S±3+2迈或SW3—2迈.△△SW3—2v2不合题意舍去.△•S的最小值是3+2迈.△ABC例6.已知：.如图△ABC中，AB=<6+迈,ZC=30。.求：a+b的最大值.解：设a+b=y,则b=y—a.根据余弦定理，得(\：6+、：2)2=a2+(y—a)2—2a(y—a)Cos30。写成关于a的二次方程：(2+“3)a2—(2+p3)ya+y2—(8+4、.：3)=0.Ta是实数，•△±0.即(2+\；3)2y2—4(2+1；3)[y2—(8+4丐3)]±0,y2—(8+4、；3)2WO.

—(8+4p3)WyW(8+4p3).a+b的最大值是8+4、.：3.又解：根据定理三TAB和ZC都有定值.・••当a=b时，a+b的值最大.由余弦定理，（.6<2）2二a2+b2—2abCos30可求出a二b=4+2J3三、练习x,x,x,x,x满足.x+x+x+x+x=.xxxxx，那么.x的最大值是TOC\o"1-5"\h\z1234512345123455若矩形周长是定值20cm，那么当长和宽分别为____,____时，其面积最大，最大面积是.面积为100cm2的矩形周长的最大值是•a,b均为正数且a+b=ab,那么a+b的最小值是•9若x>0,则x+—的最小值是•x6A"C~°如图直线上有A、B、C、D四个点•那么到A，B，C，D距离之和为最小值的点，位于.，其和的最小值等于定线段••△DEF△DEF如右图△ABC中，AB=2,AC=3,I,II,III是以AB,BC,CA为边的正方形，则阴影部份的面积的和的最大值是.下列四个数中最大的是()(A)tan48。+cot48。..(B)sin48。+cos48。.(C)tan48。+cos48。.(D)cot48。+sin48。.9•已知抛物线y=—X2+2x+8与横轴交于B,C两点，点D平分BC,若在横轴上侧的点A为抛物线上的动点，且ZBAC为锐角，则AD的取值范围是如图△ABC中，ZC=RtZ,CA=CB=1，点P在AB上,△ABC中，AB=AC=a，以BC为边向外作等边三角形BDC，问当ZBAC取什么度数时AD最长？已知X2+2y2=1,x,y都是实数，求2x+5y2的最大值、最小值.△ABC中ZB二60。,AC=1，求BA+BC的最大值及这时三角形的形状.直角三角形的面积有定值k,求它的内切圆半径的最大值.D,E,F分别在△ABC的边BC、AC、AB上，若BD:DC=CE:EA=AF:FA=k:(1—k)(0<k<1).问k取何值时，S的值最小？

△ABC中，BC=2，高AD=1，点P,E,F分别在边BC,AC,AB上，且四边形PEAF是平行四边形•问点P在BC的什么位置时，S的值最大？PEAF参考答案5.5，525.40cm46上,BC+AD.最大值是9,TS二1X3X2XSinBAC,ZBAC=90度时值最大.△2(A).3<ADW9P在AB中点时，S=1,S=-•至二x△最大值8△22x与J2—X的和有定值，当x=「2—x时，S值最大.△当ZBAC=120度时，AD最大，在△ABD中，设ZBAD=a由正弦定理当150°—a=90。时,AD当150°—a=90。时,AD最大.==2a,Sin(18O—30-a)Sin30°