初中数学动态几何定值问题(word版+详解答案)

动态几何定值问题【考题研究】数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。【解题攻略】动态几何形成的定值和恒等问题是动态几何中的常见问题，其考点包括线段（和差）为定值问题；角度（和差）为定值问题；面积（和差）为定值问题；其它定值问题。解答动态几何定值问题的方法，一般有两种：第一种是分两步完成：先探求定值.它要用题中固有的几何量表示.再证明它能成立.探求的方法，常用特殊位置定值法，即把动点放在特殊的位置，找出定值的表达式，然后写出证明.第二种是采用综合法，直接写出证明.【解题类型及其思路】在中考中，动态几何形成的定值和恒等问题命题形式主要为解答题。在中考压轴题中，动态几何之定值（恒等）问题的重点是线段（和差）为定值问题，问题的难点在于准确应用适当的定理和方法进行探究【典例指引】类型一【线段及线段的和差为定值】【典例指引1】已知:△ABC是等腰直角三角形,ZBAC=90。,将厶ABC绕点C顺时针方向旋转得到△A'B'C,记旋转角为a当9O°VaV180°时，作A®丄AC,垂足为D,AD与BfC交于点E.B如图1,当ZCAD=15。时，作ZAKC的平分线EF交BC于点F.写出旋转角a的度数；求证：EA4EC=EF；如图2,在(1)的条件下，设P是直线AD上的一个动点，连接PA,PF,若AB=J2,求线段PA+PF的最小值.(结果保留根号)【举一反三】如图(1),已知NMON=90，点P为射线ON上一点，且OP=4,b、C为射线OM和ON上的两个动点(OC>OP),过点p作PA丄BC，垂足为点A,且PA=2，联结BP.S1(1)若SAPAC=2时，求tanZBPO的值；四边形ABOPAB⑵设PC=x,二y求y与x之间的函数解析式，并写出定义域；BC(3)如图(2),过点A作BP的垂线，垂足为点H，交射线ON于点Q，点B、C在射线OM和ON上运动时，探索线段OQ的长是否发生变化？若不发生变化，求出它的值。若发生变化，试用含x的代数式表示OQ的长．类型二【线段的积或商为定值】【典例指引2】如图①，矩形ABCD中，AB=2,BC=5,BP=1,ZMPN二900,将ZMPN绕点P从pb处开始按顺时针方向旋转，PM交边AB(或AD)于点E,PN交边AD(或CD)于点F•当PN旋转至PC处时，ZMPN的旋转随即停止.特殊情形：如图②，发现当PM过点A时，PN也恰好过点D，此时AABP是否与APCD相似？并说明理由；PE类比探究：如图③，在旋转过程中，養的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理PF

由；(3)拓展延伸：设AE=t时，AEPF的面积为S，试用含t的代数式表示S；在旋转过程中，若t二1时，求对应的AEPF的面积；在旋转过程中，当AEPF的面积为4.2时，求对应的t的值.【举一反三】1如图1,已知直线y=a与抛物线y二4x2交于A、B两点(A在B的左侧)，交y轴于点C⑴若AB=4,求a的值若抛物线上存在点D(不与A、B重合)，使CD=2AB，求a的取值范围如图2,直线y=kx+2与抛物线交于点E、F点P是抛物线上的动点，延长PE、PF分别交直线y=-2于类型三【角及角的和差定值】【典例指引3】如图，在△ABC中，ZABC>60°,ZBACV6O。，以AB为边作等边AABD(点C、D在边AB的同侧)，连接CD．若ZABC=90°，ZBAC二30°，求ZBDC的度数；当ZBAC=2ZBDC时，请判断厶ABC的形状并说明理由；(3)当NBCD等于多少度时，NBAC二2ZBDC恒成立.

举一反三】如图1抛物线W:y二ax2-2的顶点为点A，与x轴的负半轴交于点D，直线AB交抛物线W于另一点C，点B的坐标为(1,0).求直线AB的解析式；过点C作CE丄x轴，交x轴于点E，若AC平分ZDCE，求抛物线W的解析式；若a二1，将抛物线W向下平移m(m>0)个单位得到抛物线气，如图2,记抛物线气的顶点为竹,与x轴负半轴的交点为D],与射线BC的交点为C1.问：在平移的过程中，tanZDCB是否恒为定值？若是，请求出tanZDCB的值；若不是，请说明理由.类型四【三角形的周长为定值】【典例指引4】如图，现有一张边长为2、也的正方形ABCD,点P为正方形AD边上的一点(不与点A、点D重合)，将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP，BH.求证：ZEPB=ZEBP；求证：ZAPB=ZBPH；当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？不变化，求出周长，若变化，说明理由；设AP为x,四边形EFGP的面积为S,求出S与x的函数关系式.

【举一反三】如图，在等腰直角三角形ABC中，ZC=90。，AB=8j2，点O是AB的中点•将一个边长足够大的RtADEF的直角顶点E放在点O处，并将其绕点O旋转，始终保持DE与AC边交于点G,EF与BC边交于点H.⑴当点G在AC边什么位置时，四边形CGOH是正方形.等腰直角三角ABC的边被RtADEF覆盖部分的两条线段CG与CH的长度之和是否会发生变化，如不类型五【三角形的面积及和差为定值】【典例指引5】综合与实践：矩形的旋转问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动．具体要求：如图1，将长与宽都相等的两个矩形纸片ABCD和EFGH叠放在一起，这时对角线AC和EG互相重合.固定矩形ABCD,将矩形EFGH绕AC的中点O逆时针方向旋转，直到点E与点B重合时停止，在此过程中开展探究活动.操作发现：雄鹰小组初步发现：在旋转过程中，当边AB与EF交于点M,边CD与GH交于点N，如图2、图3所示，则线段与CN始终存在的数量关系是.雄鹰小组继续探究发现：在旋转开始后，当两个矩形纸片重叠部分为四边形时，如图3所示,四边形QMRN为菱形，请你证明这个结论.雄鹰小组还发现在问题(2)中的四边形QMRN中ZMQN与旋转角ZAOE存在着特定的数量关系，请你写出这一关系，并说明理由．实践探究：在图3中，随着矩形纸片EFGH的旋转，四边形QMRN的面积会发生变化.若矩形纸片的长为2+迈，宽为、2,请你帮助雄鹰小组探究当旋转角ZAOE为多少度时，四边形QMRN的面积最大？最大面积是多少？(直接写出答案)

EHASSoDC图1b图3fEHASSoDC图1b图3f5DCF举一反三】如图1,矩形ABCD中，E是AD的中点，以点E直角顶点的直角三角形EFG的两边EF,EG分别过点B,C,ZF=30°・(1)求证：BE=CE（2）将厶EFG绕点E按顺时针方向旋转，当旋转到EF与AD重合时停止转动•若EF，EG分别与AB，BC相交于点M,N.（如图2）①求证：△BEM竺ACEN；②若AB=2,求厶BMN面积的最大值;EAr图2图1BGF-③当旋转停止时，点B恰好在FG上（如图EAr图2图1BGF-③当旋转停止时，点B恰好在FG上（如图3）,求sinZEBG的值.A(M)DK-C图3新题训练】1.已知在平行四边形ABCD中，AB=6,BC=10,ZBAD=120。，E为线段BC上的一个动点（不与B,C重合），过E作直线AB的垂线，垂足为F,FE与DC的延长线相交于点G,（1）如图1,当AE丄BC时，求线段BE、CG的长度.

（2）如图2,点E在线段BC上运动时，连接DE，DF，△BEF与厶CEG的周长之和是否是一个定值，若是请求出定值，若不是请说明理由.、DDA迟BEEa图12、DDA迟BEEa图12.如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A,点P是抛物线上（3）如图2,设BE=x,△DEF的面积为y,试求出y关于x的函数关系式.点A、C间的一个动点（含端点），过点P作PF丄BC于点F,点D、E的坐标分别为（0,6）,（-4,0）,连接PD连接PD，PE，DE.（1）求抛物线的解析式；（2）小明探究点P的位置是发现：当点P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值，进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值，请你判定该猜想是否正确，并说明理由；（3）请直接写出APDE周长的最大值和最小值.3.如图，四边形ABCD中，AD〃BC,ZABC=90°.⑴直接填空：ZBAD=°.⑵点P在CD上，连结AP，AM平分ZDAP,AN平分ZPAB,AM、AN分别与射线BP交于点M、N.设ZDAM=a°.求ZBAN的度数（用含a的代数式表示）.若AN丄BM,试探究ZAMB的度数是否为定值？若为定值，请求出该定值；若不为定值，请用a的代数式表示它.

4•将在同一平面内如图放置的两块三角板绕公共顶点A旋转，连接BC,DE•探究S^ABC与S^ADC的比是否为定值．（1）两块三角板是完全相同的等腰直角三角板时，S^Bc：SgE是否为定值？如果是，求出此定值，如果不是，说明理由.（图①）（2）—块是等腰直角三角板，另一块是含有30。角的直角三角板时，S“BC：S^de是否为定值？如果是，求出此定值，如果不是，说明理由.（图②）（3）两块三角板中，ZBAE+ZCAD=180°,AB=a,AE=b，AC=m,AD=n（a，b，m，n为常数），S^ABC：St是否为定值？如果是，用含a，b，m，n的式子表示此定值（直接写出结论，不写推理过程），如果不是，说明理由.（图③）5.（解决问题）如图1,在AABC中，AB=AC=10，CG丄AB于点G.点p是BC边上任意一点，过点P作PE丄AB,PF丄AC，垂足分别为点E，点F.pC艮1(1)若PE二3,PF二5，则AABP的面积是,CG=

猜想线段PE,PF,CG的数量关系，并说明理由.(变式探究)如图2,在AABC中，若AB=AC=BC=10，点p是AABC内任意一点，且PE丄BC,PF丄AC，PG丄AB，垂足分别为点E，点F，点G,求PE+PF+PG的值.(拓展延伸)如图3,将长方形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C处，点P为折痕EF上的任意一点，过点P作PG丄BE，PH丄BC，垂足分别为点G,点h•若AD=8，CF=3，直接写出PG+PH的值.6.如图，已知锐角△ABC中，AB、AC边的中垂线父于点OACAC若ZA=a(0°VaV90。)，求ZBOC；试判断ZABO+ZACB是否为定值；若是，求出定值，若不是，请说明理由.7.OO的直径AB=15cm,有一条定长为9cm的动弦，CD在弧AB上滑动(点C和A、点D与B不重合),且CE丄CD交AB于E,DF丄CD交AB于F.(1)求证：AE=BF(2)在动弦CD滑动过程中，四边形CDFE的面积是否为定值，若是定值，请给出证明，并求这个定值，若不是，请说明理由.8.如图，动点丄「在以匚为圆心，上三为直径的半圆弧上运动(点丄「不与点小上及】三的中点厂重合),连接d•过点一T作一佐—三于点三，以蒐为边在半圆同侧作正方形三二三，过二点作I匚的切线交射线二匚于点；，连接"、二：.探究：如左图，当一丫动点在二7上运动时；判断二二三—是否成立？请说明理由；设亠—”二二叮是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由；设—二工—是否为定值?若是,求出该定值，若不是，请说明理由；拓展：如右图，当动点丄'■在=三上运动时；分别判断(1)中的三个结论是否保持不变？如有变化，请直接写出正确的结论(均不必说明理由)9.如图，已知。0的半径为2，AB为直径，CD为弦.AB与CD交于点M，将cd沿着CD翻折后,点A与圆心O重合，延长OA至p，使APOA，链接PC.(1)求CD的长.(2)求证：PC是0O的切线.(3)点G为adb的中点，在PC延长线上有一动点Q,连接QG交AB于点E,交BC于点F(F与b、C不重合).则GEGF为一定值.请说明理由，并求出该定值.10.在平面直角坐标系中，点A和点B分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上，且OA=6，OB=8，点D是AB的中点.直接写出点D的坐标及AB的长；若直角ZNDM绕点D旋转，射线DP分别交x轴、y轴于点P、N,射线DM交x轴于点M，连接MN.当点P和点N分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴时，若△PDMs^MON,求点N的坐标；在直角ZNDM绕点D旋转的过程中，/DMN的大小是否会发生变化？请说明理由.3211.如图，△AOB中，A(—8,0)，B(0，了)，AC平分ZOAB，交y轴于点C,点P是x轴上一点，0P经过点A、C,与x轴于点D,过点C作CE丄AB,垂足为E，EC的延长线交x轴于点F，0P的半径为；求证：EF为0P的切线；OH若点H是CD上一动点，连接OH、FH,当点H在CD上运动时，试探究是否为定值？若为定FH值，求其值；若不是定值，请说明理由.BBEE芝ffl⑴®<2)Z>BBEE芝ffl⑴®<2)Z>FF12.如图，在菱形ABCD中，ZABC=60°,AB=2.过点A作对角线BD的平行线与边CD的延长线相交于点E.P为边BD上的一个动点(不与端点B,D重合)，连接PA,PE,AC.求证：四边形ABDE是平行四边形；求四边形ABDE的周长和面积；记△ABP的周长和面积分别为q和耳，△PDE的周长和面积分别为C2和S2,在点P的运动过程中，试探究下列两个式子的值或范围：①C]+C2,②S]+S2，如果是定值的，请直接写出这个定值；如果不是定值的,请直接写出它的取值范围.如图，在O中，圆心O关于弦AB的对称点C恰好在O上，连接AC、BC、BO、AO.求证：四边形AOBC是菱形；o如图，若点Q是优弧AmB(不含端点A、B)上任意一点，连接CQ交AB于点P,O的半径为2J3.O试探究线段CP与CQ的积CPCQ是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；求CPPO的取值范围.如图，抛物线的顶点坐标为C(0,8),并且经过A(8,0),点P是抛物线上点A,C间的一个动点(含端点)，过点P作直线y=8的垂线，垂足为点F,点D,E的坐标分别为(0,6),(4,0),连接PD,PE,DE.（1）求抛物线的解析式；（2）猜想并探究：对于任意一点P,PD与PF的差是否为固定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由；（3）求：①当厶PDE的周长最小时的点P坐标；②使△PDE的面积为整数的点P的个数.F5〈r=8/V\\视Q丿/OW02\115.如图1,点A（a，0）、B（b，0），其中a、b满足（3a+b》+xib—a—4=0，将点A、B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位至C、D，连接2个单位，再向右平移1个单位至C、D，连接AC、BD.DcBOOAmi（1）直接写出点D的坐标：；CF（2）连接AD交OC于一点F，求的值：OF（3）如图2,点M从O点出发，以每秒1个单位的速度向上平移运动，同时点N从B点出发，以每秒2个单位的速度向左平移运动，设射线DN交y轴于F.问S-S的值是否为定值？如果是定值，请求AFMDAOFN出它的值；如果不是定值，请说明理由.16.如图所示，D为等腰AABC底边BC上一动点，DE丄AB于E，DF丄AC于F，AC二8cm，SAABC二24，问当D点在C边上运动时，DE+DF的值是否为定值，如果是，求出这个定值,如果不是，说明理由.线相交于点C，点D为AB的中点，点E是线段AC上一个动点(不与点A和C重合)，连结de，并过点D作DF丄DE交BC于点F.判断△ABC的形状，并说明理由.(2)当点E在线段AC上运动时，四边形CEDF的面积是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是,请说明理由．1(3)当点E的横坐标为-2时，在x轴上找到一点P使得PEF的周长最小，请直接写出点P的坐标.动态几何定值问题【考题研究】数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称(翻折)、平移、旋转(中心对称、滚动)等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。【解题攻略】

动态几何形成的定值和恒等问题是动态几何中的常见问题，其考点包括线段（和差）为定值问题；角度（和差）为定值问题；面积（和差）为定值问题；其它定值问题。解答动态几何定值问题的方法，一般有两种：第一种是分两步完成：先探求定值.它要用题中固有的几何量表示.再证明它能成立.探求的方法，常用特殊位置定值法，即把动点放在特殊的位置，找出定值的表达式，然后写出证明.第二种是采用综合法，直接写出证明.【解题类型及其思路】

在中考中，动态几何形成的定值和恒等问题命题形式主要为解答题。在中考压轴题中，动态几何之定

值（恒等）问题的重点是线段（和差）为定值问题，问题的难点在于准确应用适当的定理和方法进行探究【典例指引】类型一【线段及线段的和差为定值】【典例指引1】已知:△ABC是等腰直角三角形,ZBAC=90°,将厶ABC绕点C顺时针方向旋转得到△ABC,记旋转角为a当9O°VaV180。时，作A®丄AC,垂足为D,AD与BfC交于点E.（1）如图1,当NCAD=15。时，作NAEC的平分线EF交BC于点F.写出旋转角a的度数；求证：EA+EC=EF；（2）如图2,在（1）的条件下，设P是直线AD上的一个动点，连接PA,PF,若AB=€2,求线段PA+PF的最小值.（结果保留根号）【答案】（1）①105°,②见解析；（2）J62J6【解析】（1）①解直角三角形求出ZACD即可解决问题，②连接AF设EF交CA，于点O,在EF时截取EM=EC,连接CM.首先证明厶CFA是等边三角形，再证明厶FCM^AACE（SAS）,即可解决问题.（2）如图2中，连接AFPB，,ABf,作BM丄AC交AC的延长线于M.证明△A,EF^^A,EB,,推出EF=EBf,推出B，,F关于AE对称，推出PF=PB，,推出PA+PF=PA+PBf>AB；求出AB即可解决问题.

【详解】①解：由ZCA'D=15。，可知ZA，CD=90°-15°=75。，所以ZA，CA=180°-75°=105。即旋转角a为105°.②证明：连接AT,设EF交CA于点O.在EF时截取EM=EC，连接CM.VZCED=ZA'CE+ZCA'E=45°+15°=60°,.•・ZCEA'=120。，VFE平分ZCEAf，.•・ZCEF=ZFEA'=60。，VZFCO=180°-45°-75。=60。,.•・ZFCO=ZAEO,VZFOC=ZA'OE,.•.△FOCs^AOE,OFOC•'*忌=OE.OF=AO'*OC=~OE•.•ZCOE=ZFOA',.•.△COEsAFOA',.•・ZFA'O=ZOEC=60。，•••△ACF是等边三角形,••・CF=CA'=A'F,VEM=EC，ZCEM=60°，•••△CEM是等边三角形，ZECM=60°,CM=CE,VZFCAf=ZMCE=60°,.•・ZFCM=ZA'CE,.•.△FCM^AA'CE(SAS),.•・FM=A'E,・•・CE+A'E=EM+FM=EF.(2)解：如图2中，连接AT,PB，,AB',作B'M丄AC交AC的延长线于M.S2由②可知，ZEA'F='EA'B'=75。，A'E=A'E,A'F=A'B',.•.△A'EF^AA'EB',.•.EF=EB',••・B',F关于A'E对称，.•・PF=PB',・•・PA+PF=PA+PB'>AB',在RtACB'M中，CB'=BC=AB=2,ZMCB'=30。，•B'M=1CB'=1,CM=J32•AB'=7AM2+M2=、.'(、•：2+n'3)2+12=+2\/6•••PA+PF的最小值为$6+2J6【名师点睛】本题属于四边形综合题,考查旋转变换相关,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质以及三角形的三边关系等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,学会用转化的思想思考问题,属于中考压轴题,难度较大．【举一反三】如图(1),已知ZMON=90，点P为射线ON上一点，且OP=4,B、C为射线OM和ON上的两个动点(OC>OP),过点p作PA丄BC，垂足为点A，且PA=2，联结BP.S1若SAPAC=2时，求tanZBPO的值；四边形ABOPAB设PC=x,二y求y与x之间的函数解析式，并写出定义域；BC如图(2),过点A作BP的垂线，垂足为点H，交射线ON于点Q，点B、C在射线OM和ON上运动时，探索线段OQ的长是否发生变化？若不发生变化，求出它的值。若发生变化，试用含x的代数式表示OQ的长．OBJ34x+4【答案】(1)tanZOPB二O盲；⑵y二K(x>2)；⑶OQ的长度等于3.【解析】(1)根据有两对角相等的三角形相似可证明△CAPs^COB，由相似三角形的性质可知：SAPSAPAC=(OB)2，在由已知条件可求出OB的长，由正切的定义计算即可；ACOB4作AE丄PC于E,易证△PAEsAPCA，根据相似三角形的性质：对应边的比值相等PE二，再利x4TOC\o"1-5"\h\zABOE4+-用平行线的性质即可得到r，所以y_x，整理即可得到求y与x之间的函数解析式，并写BCOCJrx+4出定义域即可；PAPH点B、C在射线OM和ON上运动时，探索线段OQ的长不发生变化，由△PAHs^PBA得：_PBPAPQPH即PA2=PH・PB，由△PHQsAPOB得：_即PQ・PO=PH・PB,所以PA2=PQ・PO,再由已知数据PBPO即可求出OQ的长．【详解】(1)VZACP=ZOCBZCAP=ZO=90°:、\CAPs\COBS・sAPAC=(—)2OBACOBsAPAC——・s四边形ABOPs1・APAC=—・・3ACOB・•・(竺)2二1OB3TAP=2・•・OB=2朽OB在RtAOBP中，tanZOPB二—OP(2)作AE丄PC,垂足为E,易证△FAEs'fcaPAPEPCPA22=PE-x・•・PE=-x•?ZMON=ZAEC=90°・•・AE〃OMABOEBCOC4x+4整理得y二u(x>2)(3)线段OQ的长度不会发生变化由厶PAHs^PBAPAPH得PAPH得PBPA即PA2=PH-PB由厶PHQsApob得—=PBPH~PO即PQ-PO=PH•PB・•・PA2=PQ•POVP4=2PO=4PQ=1OQ=3即OQ的长度等于3.【点睛】此题考查相似形综合题，解题关键在于作辅助线类型二【线段的积或商为定值】【典例指引2】如图①，矩形ABCD中，AB=2,BC=5,BP=1,ZMPN=900,将ZMPN绕点p从PB处开始按顺时针方向旋转，PM交边AB（或AD）于点E,PN交边AD（或CD）于点F•当PN旋转至PC处时，ZMPN的旋转随即停止.（1）特殊情形：如图②，发现当PM过点A时，PN也恰好过点D，此时AABP是否与APCD相似？并说明理由；PE（2）类比探究：如图③，在旋转过程中，芮的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理PF由；（3）拓展延伸：设AE=t时，AEPF的面积为S，试用含t的代数式表示S；在旋转过程中，若t=1时，求对应的AEPF的面积；在旋转过程中，当AEPF的面积为4.2时，求对应的t的值.jVB说F)■答案】（1）相似；（2）定值，PE_1PF24运(3)①2,②t=2--.5【解析】（1）根据“两角相等的两个三角形相似”即可得出答案；PEBP（2）由AEBPAPGF得出二，又FG二AB二2,BP二1为定值，即可得出答案;PFGF⑶先设AE=t,BE=2-t结合Saepf=S矩形abgf-SAAEF-SABEP-^PFG得出******S二12-4t+5①将t=1代入S二12-4t+5中求解即可得出答案；②将s=4.2代入S二12-4t+5中求解即可得出答案.【详解】(1)相似理由：JZBAP+ZBPA二900,ZCPD+ZBPA二900.・・ZBAP=ZCPD又JZABP二ZPCD二900・AABPAPCD；(2)(2)PE在旋转过程中的值为定值，PF理由如下：过点F作FG丄BC于点G,JZBEP=ZGPFPEBPZEBP=ZPGF二900,・•・AEBPAPGF,:.二PFGFJ•四边形ABCD为矩形，•：四边形ABGF为矩形,・：FG二AB二2,BP二1

PE1•_…PF_2即在旋转过程中PF的值为定值'AEBPNPGFPE1PF的值为定值'AEBPNPGFPE1PF2BE_PE_1••PG_PF_2又AE_t,BE_2—t.・・PB_2（2—1）_4—2t,BG_AF_BP+PG_1+（4—2t）_5—2t・・・S_S—S—S—SAEPF矩形ABGFAAEFABEPAPFG_2（5—2t）—-1x（5—2t）—-xlx（2—t）—-x2x（4—2t）_12—4t+5222即：S_t2—4t+5；①当t_1时，AEPF的面积S_12—4x1+5_2②当Saepf_4.2时，・•・t2—4t+5_力4^54亦解得：ti_2-石，t2_2+石（舍去）・当AEPF的面积为4.2时，c4需t_2—5【名师点睛】本题考查的是几何综合，难度系数较高，涉及到了相似以及矩形等相关知识点，第三问解题关键在于求出面积与AE的函数关系式.【举一反三】如图1,已知直线y=a与抛物线y_4x2交于A、B两点（A在B的左侧），交y轴于点C⑴若AB=4,求a的值（2）若抛物线上存在点D（不与A、B重合），使CD_2AB，求a的取值范围（3）如图2,直线y=kx+2与抛物线交于点E、F点P是抛物线上的动点，延长PE、PF分别交直线y=—2于M、N两点NN交y轴于Q点，求QM・QN的值。

【解析】(【解析】(1)将两个函数解析式联立，解一元二次方程求得A、B的横坐标，进而表示出AB,即可解答；(2)由(1)可得CD=*AB=2ja，设D(币,m)，过点D作DH丄y轴于点H,利用勾股定理可知DH2+CH2=CD2，进而得到(m—a)(m—a+4)=0，得到m—a+4=0，根据函数图象可知m>0，即可求得a的取值范围；11(3)设E(x,丁x2)，F(x,匚x2)，P(n,：n2)，分别表示EP和FP的解析式，当y=—2时，求得1412424nx—8nx—811xM=匚仁，xN=~nXx，联立y=4x2和y=kx+2,得到4x2—kx—2=0，利用一元二次方程根与12系数的关系得到x1+x2=4k，x1x2=—8，代入QMQN=-xMxN即可解答.【详解】(1)联立1y=a・・・4・・・4x2=a，解得:x=一2、］a,x=2、：a12AB=x—x=4\a=4BA(2)由(1)知AB=4ja••心二1AB=2ja设D(£4m,m)过点D作DH丄y轴于点H,则DH2+CH2=CD2(€4m)2+(a—m)2=4a(m—a)(m—a+4)=0又m主am—a+4=0m=a—4又m>0a—4>0a>4111(3)设E(x,丁x2),f(x，丁x2),p(n,二n2)1412424ep解析式为y=tx+b11将P,E代入可得：y=(n+x)x—nx4141当y=当y=—2时,可求xmnx—8——in+x1同理可求FP的解析式为y=4(n+x2)x-4nx2nx—8x=2Nn+x2又联立i得：y又联立i得：y=kx+2x2—kx—2=04x+x=4k,xx=—81212nx—8nx—8n2xx—8n(x+x)+64・•・QMQN=—xx=—―i2=——i2MNn+xn+xn2+n(x+x)+xx1212128n2+8n4k—64==8n2+4nk—8【点睛】•元二次本题为二次函数与一次函数综合题，难度大，主要考查二次函数与一次函数交点问题，还涉及了方程和勾股定理等知识，熟练掌握一次函数与二次函数的性质和相关知识点是解题关键.元二次类型三【角及角的和差定值】【典例指引3】如图，在△ABC中，ZABC>60°,ZBACV6O。，以AB为边作等边AABD(点C、D在边AB的同侧)，连接CD．若ZABC=90°,ZBAC二30°,求ZBDC的度数；当ZBAC二2ZBDC时，请判断厶ABC的形状并说明理由；当ZBCD等于多少度时，NBAC二2ZBDC恒成立.【答案】(1)30°；(2)△ABC是等腰三角形，理由见解析；(3)当ZBCD=150。时，ZBAC=2ZBDC恒成立.【解析】(1)证明AC垂直平分BD，从而可得CD=BC，继而得ZBDC=30°；设ZBDC=x，则ZBAC=2x，证明ZACD=ZADC，从而得AC=AD，再根据AB=AD可得AB=AC，从而得△ABC是等腰三角形；如图，作等边△BCE，连接DE,证明△BCD9AECD后可得到ZBDE=2ZBDC，再通过证明△BDE9ABAC得到ZBAC=ZBDE，从而得ZBAC=2ZBDC.【详解】("•••△ABD为等边三角形，AZBAD=ZABD=60°，AB=AD，又VZBAC=30°，••.AC平分ZBAD，.•.AC垂直平分BD，•CD=BC，•ZBDC=ZDBC=ZABC-ZABD=90°-60°=30°；2)△ABC是等腰三角形，理由：设ZBDC=x，则ZBAC=2x,有ZCAD=60°-2x,ZADC=60°+x,.•・ZACD=180°-ZCAD-ZADC=60°+x,AZACD=ZADC,.•・AC=AD,又VAB=AD,.AB=AC,即厶ABC是等腰三角形；(3)当ZBCD=150°时，ZBAC=2ZBDC恒成立,VZBCD=150°,AZECD=360°-ZBCD-ZBCE=150°,AZDCE=ZDCB.又VCD=CD,AABCD^AECD.AZBDC=ZEDC,即ZBDE=2ZBDC.又•••△ABD为等边三角形，.•・AB=BD,ZABD=ZCBE=60°,AZABC=ZDBE=60°+ZDBC.又•BC=BE,•••△BDE9ABAC.AZBAC=ZBDE,・・・ZBAC=2ZBDC.【名师点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等，熟练掌握和运用相关性质、结合图形正确添加辅助线是解题的关键.【举一反三】如图1抛物线W:y=ax2-2的顶点为点A，与x轴的负半轴交于点D，直线AB交抛物线W于另一点C，点B的坐标为(1,0)・求直线AB的解析式；过点C作CE丄x轴，交x轴于点E，若AC平分ZDCE，求抛物线W的解析式；若a=2，将抛物线W向下平移m(m>0)个单位得到抛物线气，如图2,记抛物线气的顶点为竹,与x轴负半轴的交点为什，与射线BC的交点为^•问：在平移的过程中,tanZDCiB是否恒为定值？若是，请求出tanZDCiB的值；若不是，请说明理由.251【答案】（1）y—2x—2；（2）y=--x2—2；（3）tan^DCiB恒为定值3.【解析】(1)由抛物线解析式可得顶点A坐标为(0,-2),利用待定系数法即可得直线AB解析式;(2)如图，过点B作BN丄CD于N，根据角平分线的性质可得BE=BN,由ZBND=ZCED=90°,ZBND=ZCDE可证明BNDCED，设BE=x,BD=y,根据相似三角形的性质可得CE=2x,CD=2y,根据勾股定理由得y与X的关系式，即可用含x的代数式表示出C、D坐标，代入y=ax2-2可得关于x、a△〜△的方程组，解方程组求出a值即可得答案；过点B作BF丄CD于点F,根据平移规律可得抛物线W］的解析式为y=|x2-2-m,设点什的坐标为1111(t,0)(tV0),代入y=2x2-2-m可得2+m=—t2，即可的W1的解析式为y=X2-—t2，联立直线BC解析式可用含t的代数式表示出点C1的坐标，即可得CiH=DH，可得ZCiDiH=45，根据抛物线W的解O析式可得点D坐标，联立直线BC与抛物线W的解析式可得点C、A坐标，即可求出CG、DG的长，可得CG=DG,ZCDG=ZCDH=45，即可证明CDIICD，可得ZDCB=ZDCB111111otanADCB=tanZDCB，由ZCDG=45°可得BF=DF，根据等腰三角形的性质可求出DF的长，利用勾股定理可求出CD的长，即可求出CF的长，根据三角函数的定义即可得答案.【详解】(I)；'抛物线W：y=ax2-2的顶点为点A•*.点A(0,-2)设直线AB解析式为y=kx+b；B(1，0)，'b=-2+b二0，\k二2解得：］b=-2・・・抛物线解析式为：y=2x―2(2)如图，过点b作BN丄CD于N・.・AC平分，ZDCE,BN丄CD,BE丄CE・・・BN=BE・.・ZBND=ZCED=90。,ZBDN=ZCDEBNDCED，BN_DB…CE_CDBE_DB…CE_CDAOIICE，BOBE1DB1—‘‘AOCE2CD设BE_x,BD_y，则CE_2x,CD_2y*•*CD2_DE2+CE2，4y2_(x+y)2+4x2.•・(x+y)(5x—3y)_0

.•.点C(x+1,2x),点D(1—5x,0I3丿•••点C，点D是抛物线W：y二ax2-2上的点,x=a(x+1)2—2—2<(5\—20=a1一一x〔I3丿Vx>0,解得：x1解得：x1=0（舍去）3925L539\2L539\20=a1——x——I325丿—2,25••a=-32如图，过点C如图，过点C]作C]H丄x轴于H,过点C作CG丄x轴G,过点B作BF丄CD于点Fa=2・•・a=2・•・抛物线W的解析式为y=|x2-2,•••将抛物线W向下平移m个单位，得到抛物线气・•・抛物线气的解析式为：y=2x2―2―m设点D］的坐标为G，°)C<0),1/.0=—12-2-m212+m=—122.•抛物线气的解析式为：y=x2—212•・•抛物线气与射线BC的交点为-解得：x=2—t<解得：x=2—t<iy=2—2t1122丄2(不合题意舍去)，y=2+2t2•:点C］的坐标(2—t,2—2t).•・CH=2—2t,OH=2—t1・•・DH=DO+OH=2—t+(—t)=2—2t11・C1H=DH，且CH丄x轴，CDH=45111°•y=2x2—2与x轴交于点d.点D(—2,0)，1y=2x—2与y=x2—2交于点C，点a解得：.点C(4,6)，A(0，-2).GC=6,DG=OD+OG=2+4=6，

.•・DG=CG,且cg丄x轴,・•・ZGDC=45°=ZCDH11CD//CD，11ZDCB=ZDCB11tanZDCB=tanZDCB11-ZCDB=45,BF丄CD,BD=OD+OB=2+1=3o・•・ZFDB=ZFBD=45・•・DF=BF,DB=41DF=3・DF=•・•点D(—2,0)，点C(4,6)CD={(—2—4)2+(0—6)2=6迈・CF=CD—DF=哑・CF=CD—DF=哑2tanZDCB=tanZDCB11BF=1CF=3・tanZD1C1B恒为定值【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、二次函数的图象的平移、相似三角形的判定与性质及三角函数的定义难度较大属中考压轴题熟练掌握相关的性质及判定定理是解题关键．类型四【三角形的周长为定值】【典例指引4】如图，现有一张边长为2迈的正方形ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合），将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H,折痕为EF,连接BP，BH.（1）求证：ZEPB=/EBP；（2）求证：/APB=/BPH；（3）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？不变化，求出周长，若变化，说明理由；（4）设AP为x四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式.【答案】（1）见解析（2）见解析（3）周长固定，周长为4迈.（4）S=—-2x+8【解析】（1）根据折叠的性质，对应边相等，即能解决问题.（2）根据折叠的性质和问题（1）的结论即能解决问题.（3）通过证明过B点向PG作垂线，垂足为Q,通过分别证明BPA今BPQ和RtBHQ^RtBHC，将△pdh的周长问题转化成两固定边长之和，即能解决问题，【详解】（1）证明：•・•四边形EPGF由四边形EFCB折叠而来，EB与EP重叠△・・・EP=EB°.\ZEPB=ZEBP（2）证明••四边形EPGF由四边形EFCB折叠而来，EB与EP重叠，PG与BC重叠.\ZEPG=ZEBC又VZEPB=ZEBP.\ZEPG-ZEPB=ZEBC-ZEBP，即ZBPH=ZPBC•/AD〃BC,・ZAPB=ZPBC,・ZAPB=ZBPH(3)解：△PDH的周长不发生变化.如图所示，过点B作BQ丄PG于点Q.c在厶BPA和厶BPQ中，AAPB=ZQPB•:<PB=PB,ZA=ZPQB.・・BPA=BPQ(ASA):.PQ二AP,AB二BQ,△△・・・BQ二BCRtBHQ和RtBHC，JBQ=BC•fBH=BH△.・・RtBHQ^RtBHC(HL)・・・QH=HC△△_•••△PDH的周长为：l=PD+DH+PH=PD+AP+DH+HC=AD+BC=4J2为固定值，固定不变.如图，过点F作FM垂直AB于点M.・.・ZBEF+ZABP=90。,ZBEF+ZMFE=90。・・・ZMFE=ZABP在厶ABP和厶MFE中/A二ZEMF・.・<AB二MF,上ABP二ZMFE.・・ABP今MFE(ASA)ME=AP=x在厶AEP中，根据勾股定理，可得:x2+(4-BE)2=BE2解得：BE=+28・・・S=S=1(CF+BE)xBC，即四边形EFCB21(、S=1x乂-x+2+三+2x42I88丿=乂-2x+82即S关于x的关系式为：S=-2x+82【点睛】本题考查了折叠的性质、勾股定理、三角形全等，二次函数、综合性较强，解决本题的关键是熟练掌握折叠的性质、直角三角形各边长之间关系及三角形全等的判定方法.【举一反三】如图，在等腰直角三角形ABC中，ZC=90。，AB=8.2，点O是AB的中点•将一个边长足够大的RtADEF的直角顶点E放在点O处，并将其绕点O旋转，始终保持DE与AC边交于点G,EF与BC边交于点H.⑴当点G在AC边什么位置时，四边形CGOH是正方形.⑵等腰直角三角ABC的边被RtADEF覆盖部分的两条线段CG与CH的长度之和是否会发生变化，如不发生变化，请求出CG与CH之和的值：如发生变化，请说明理由.【答案】⑴点G在AC的中点时，四边形CGOH是正方形；（2）CG与CH的和不会发生变化，CG+CH=8.1【解析】（1）由三角形中位线定理可得OG〃BC,OG=-BC，可证四边形CGOH是矩形，由等腰直角三角形的性质可得ZACO=ZCOG=45°，可得CG=GO，可得结论；（2）由“ASA”可证厶GOC9AHOB，可得CG=BH，即可得CG+CH=HB+CH=BC=8.【详解】解：（1）当点G在AC的中点时，四边形CGOH是正方形，连接CO，VO为AB的中点，点G是AC中点,1.•・OG〃BC,OG=BC，2AZCGO=ZC=90°，VZGOF=90°，・•・四边形CGOH是矩形，VAC=BC,ZACB=90°，AO=BO,.•・ZACO=45。，且ZCGO=9O。，AZACO=ZCOG=45°，.•・CG=GO,・矩形CGOH是正方形；（2）CG与CH的和不会发生变化,理由如下：连接OC，•••△ABC是等腰直角三角形且点O为中点••・ZGCO=ZB=45。，ZCOB=90°,CO=BOVZDOF=90°=ZCOB,ZGOC=ZHOB，且CO=BO,ZGCO=ZB=45°,••.△GOC9AHOB(ASA)HB=GC，CG+CH=HB+CH=BC•/AB=8叮2BC=AC=8CG+CH=8.【点睛】此题考查的是中位线的性质、矩形的判定、正方形的判定、全等三角形的判定及性质和等腰直角三角形的性质，掌握中位线的性质定理、正方形的判定定理和用ASA证明两三角形全等是解决此题的关键.类型五【三角形的面积及和差为定值】【典例指引5】综合与实践：矩形的旋转问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动．具体要求：如图1，将长与宽都相等的两个矩形纸片ABCD和EFGH叠放在一起，这时对角线AC和EG互相重合•固定矩形ABCD,将矩形EFGH绕AC的中点O逆时针方向旋转，直到点E与点B重合时停止，在此过程中开展探究活动.操作发现：雄鹰小组初步发现：在旋转过程中，当边AB与EF交于点M,边CD与GH交于点N,如图2、图3所示，则线段与CN始终存在的数量关系是•雄鹰小组继续探究发现：在旋转开始后，当两个矩形纸片重叠部分为四边形时，如图3所示,四边形QMRN为菱形，请你证明这个结论．雄鹰小组还发现在问题(2)中的四边形QMRN中ZMQN与旋转角ZAOE存在着特定的数量关系，请你写出这一关系，并说明理由．实践探究：

（4）在图3中，随着矩形纸片EFGH的旋转，四边形QMRN的面积会发生变化.若矩形纸片的长为2+迈,宽为、2，请你帮助雄鹰小组探究当旋转角NAOE为多少度时，四边形QMRN的面积最大？最大面积是多少？（直接写出答案）EEA00DCCDGC图1BbEEA00DCCDGC图1Bb图3【答案】（1）结论：AM=CN,理由见解析；（2）证明见解析；（3）结论：/MQN—AOE，理由见解析;（4）ZAOE=45°或135°时，四边形QMRN面积最大为2迈【解析】⑴先证明△AOK^AAOJ（ASA）,推出OK=OJ,AK=CJ,ZAOK=ZAJO,再证明△EKM^AGJN（ASA）即可的解；⑵过点Q作QK丄EF,QL丄CD,垂足分别为点K,L、先证明四边形QMRN是平行四边形，再证明QM=QN即可的解；（3）由三角形的外角的性质以及平行线的性质即可解决问题；⑷如图3-2中，连接BD,在DC上取一点J,使得DJ=AD=込，则AJ=2,通过解直角三角形求出ZBOC的度数,再结合图象即可得解.【详解】（1）结论：AM=CN.EAS0DCG02理由：如图2EAS0DCG02理由：如图2中，设AB交EG于K,CD交EG于J.•・•四边形ABCD是矩形，四边形EFGH是矩形,：・AB〃CD,EF//EG,OA=OC=OE=OG,:.ZMEK=ZJGN,ZOAK=ZOAJ,•.•ZAOK=ZAOJ,:、\AOZ\AOJ(ASA),：.OK=OJ,AK=CJ,ZAOK=ZAJO,:・EK=JG,•:/EKM=/AKO,ZGJN=ZCJO,:.ZEKM=ZGJN,:.△EKM^^GJN(ASA),:・KM=JN,:.AM=AN.(2)证明：过点Q作QK丄EF,QL丄CD,垂足分别为点K,L.EBO1GS3EBO1GS3由题可知：矩形ABCD竺矩形EFGH,:.AD=EH,AB〃CD,EF//HG,:四边形QMRN为平行四边形，•:QK丄EF,QL丄CD,:・QK=EH,QL=AD,ZQKM=ZQLN=90°,:,QK=QL,又VAB/CD,EF/HG,:.ZKMQ=ZMQN,ZMQN=ZLNQ,:.ZKMQ=ZLNQ,:.△QKM^^QLN(AAS),:・MQ=NQ:四边形QMRN为菱形.(3)结论：ZMQN=ZAOE.理由：如图3-1中，•.•ZQND=Z1+Z2,ZAOE=Z1+Z3,又由题意可知旋转前Z2与Z3重合,：・/2=/3,：・/QND-/AOE,'：ABHCD,:.ZMQN=ZQND,:.ZMQN=ZAOE.(4)如图3-2中，连接BD,在DC上取一点J使得DJ=AD=41，则AJ=2,G03-2•：CD=2+j2,・・・CJ=AJ=2,AZJCA=ZJAC,•:ZAJD=45°=ZJCA+ZJAC,AZACJ=22.5°,•:OC=OD,••・ZOCD=ZODC=22.5。，AZBOC=45°,观察图象可知，当点F与点C重合或点G与点D重合时，四边形QMRN的面积最大，最大值=2辽••・ZAOE=45。或135。时，四边形QMRN面积最大为2迈【名师点睛】本题考查矩形的性质、菱形的性质和判定,解直角三角形和全等三角形等知识,解题的关键是能正确找到全等三角形.【举一反三】如图1,矩形ABCD中，E是AD的中点，以点E直角顶点的直角三角形EFG的两边EF,EG分别过点B,C,ZF=30°・求证：BE=CE将厶EFG绕点E按顺时针方向旋转，当旋转到EF与AD重合时停止转动•若EF,EG分别与AB,BC相交于点M,N.(如图2)求证：△BEM^^CEN；若AB=2,求厶BMN面积的最大值;

③当旋转停止时，点B恰好在FG上（如图3）,求sinNEBG的值.EAr图③当旋转停止时，点B恰好在FG上（如图3）,求sinNEBG的值.EAr图2图1CBGF，AQT\DK-C图3/6J2【答案】（1）详见解析；（2）①详见解析；②2；③、.4【解析】（1）只要证明厶BAE9ACDE即可；（2）①利用（1）可知△EBC是等腰直角三角形，根据ASA即可证明；构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；如图3中，作EH丄BG于H.设NG=m,则BG=2m,BN=EN=*3m,EB=p6m.利用面积法求出EH,根据三角函数的定义即可解决问题.【详解】（1）证明：如图1中，El•・•四边形ABCD是矩形，.•・AB=DC,ZA=ZD=90°,•E是AD中点，.AE=DE，.•.△BAE9ACDE,.BE=CE.(2)①解：如图2中,由（1）可知，△EBC是等腰直角三角形,.•・ZEBC=ZECB=45。，VZABC=ZBCD=90°,?.ZEBM=ZECN=45°,•?ZMEN=ZBEC=90°,AZBEM=ZCEN,VEB=EC,.•.△BEM9ACEN；②•.•△BEMmCEN,.•・BM=CN,设BM=CN=x，贝BN=4-x,11•••Sabmn=2叹（4-x）=-2（x-2）2+2,1•-2v°'.x=2时,△BMN的面积最大,最大值为2．③解：如图3中，作EH丄BG于H.设NG=m,贝BG=2m,BN=EN=耳3m,EB=耳6m.TOC\o"1-5"\h\zEG=m+、；'3m=<3m,11VSABEG=・EG・BN=・BG・EH,△BEG22v;3m?(1+J3)m3+朽TOC\o"1-5"\h\z••EH==m,2m23+羽在RtAEBH中，sinZEBH=EH二2"+迈.EBy[6m4【点睛】本题考查四边形综合题、矩形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、旋转变换、锐角三角函数等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，学会利用参数解决问题【新题训练】1已知在平行四边形ABCD中，AB=6,BC=10,ZBAD=120°,E为线段BC上的一个动点(不与B,C重合)，过E作直线AB的垂线，垂足为F，FE与DC的延长线相交于点G,如图1,当AE丄BC时，求线段BE、CG的长度.如图2,点E在线段BC上运动时，连接DE,DF,△BEF与厶CEG的周长之和是否是一个定值，若是请求出定值，若不是请说明理由.如图2,设BE=x,△DEF的面积为y,试求出y关于x的函数关系式.DABBEEG图DABBEEG图1【答案】(1)BE=3,EG=73；(2)是定值，为15+5；(3)y=-3x2+11^3(OVxVlO).284【解析】(1)先求出BE,AE,进而求出BF,EF,再用平行四边形的面积求出FG,即可得出结论;先求出BH,AH,再用相似表示出BF,EF,进而得出CG,EG,即可得出结论；利用三角形的面积公式即可得出结论．【详解】(1)T四边形ABCD是平行四边形，.•・AD〃BC,AB〃CD,AZBAD+ZB=180°,•.•ZBAD=120。,TAE丄BC于E,在RtAABE中，ZBAE=30。，AB=6,.•・BE=3,AE=3\：3TEF丄AB,.•・ZBFE=90。，在RtABEF中，ZBEF=30°,TSabcd=BCxAE=ABxFG,ABCD・•・10x3J3=6FG,.•・FG=5J322）如图2，过点A作AH丄BC于H,.•・BH=3,AH=3、'3TZAHB=ZBFE=90°,ZB=ZB,.•.△ABHsAEBF,ABBHAH•_…~be~~bf~~EF设BE=a

.6_丄_3/3aBFEF1・・・BF=2a，a,•.•AB〃CD,.6_丄_3/3aBFEF1・・・BF=2a，a,•.•AB〃CD,BF•BEEF••CGCEEG1a—a…2a2CG10-aEG.•.△BEFs^CEG,(10-a),・・cg=2(10-a),1•:CBEF+CCEG=BE+BF+EF+CE+CG+EG=a+a+△BEF△CEG1a+10-a+2（10-卡10-a)=10+5+5p'3=15+53）同（2）的方法得,EF=x,21CG=-(10-x),11••・DG=CD+CG=6+5-2x=11-2x，<31R3x)=-X2+—84(0<31R3x)=-X2+—84(0VxV10).△DEF222【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、勾股定理、二次函数的应用,运用相似三角形的性质是解决第（2）小题的关键．2•如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A,点P是抛物线上点A、C间的一个动点（含端点），过点P作PF丄BC于点F,点D、E的坐标分别为（0,6）,（-4,0）,连接PD,PE,DE.11求抛物线的解析式；小明探究点P的位置是发现：当点P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值，进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值，请你判定该猜想是否正确，并说明理由；请直接写出△PDE周长的最大值和最小值.1【答案】(1)y=-X2+8；(2)正确，d=IPD-PFI为定值2；理由见解析；(3)△PDE周长的最大值是82J13+14,最小值是2J13+10.【解析】(1)利用待定系数法求出抛物线解析式即可；首先表示出P,F点坐标，再利用两点之间距离公式得出PD,PF的长，进而求出即可；过E作EF丄x轴，交抛物线于点P,求得&△PDE=ED+PE+PD=ED+PE+PF+2=ED+2+(PE+PF),当P、E、F三点共线时，PE+PF最小；当P与A重合时，PE+PF最大；即可解答.【详解】(I)：•边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，••・C(0，8)，A(-8，0)，设抛物线解析式为：y=ax2+c,fc=8则LanI64a+c二01•:抛物线解析式为y=-x2+8.81(2)设P(x,-x2+8),则F(x,8),8贝9PF贝9PF=8-(-X2+8)81111PD2=X2+[6-(-8X2+8)]2=64X4+"2X2+4=(§X2+2)21PD=8x2+2,11.*.d=IPD-PFI=Ix2+2-x2|=288:,d=\PD-PFI为定值2；如图，过点E作EF丄x轴，交抛物线于点P,%由d=\PD-PFI为定值2,得Jpde=ED+PE+PD=ED+PE+PF+2=ED+2+(PE+PF),又TD(0,6),E(-4,0).DE=：62+42=辰=2・•・CNPDE=2+2+(PE+PF),当PE和PF在同一直线时PE+PF最小，得CnPDE最小值=233+2+8=2<13+10.设P为抛物线AC上异于点A的任意一点，过P作PM〃x轴，交AB于点M,连接ME,如图2.由于E是AO的中点，易证得ME>PE（当点P接近点A时，在厶PME中，显然ZMPE是钝角，故ME>PE,与A重合时，等号成立），而ME<AE+AM,所以pe<ae+am.所以当P与A重合时，PE+PF最大，AE=8-4=4,PD=AO2+DO2=82+62=10.得C“DE最大值=2近3+4+10=2+14.综上所述，△PDE周长的最大值是2J13+14,最小值是2J13+10.【点睛】此题主要考查了二次函数综合以及两点距离公式以及配方法求二次函数最值等知识，利用数形结合得出符合题意的答案是解题关键.3.如图，四边形ABCD中，AD〃BC,ZABC=90°.⑴直接填空：ZBAD=°.(2)点P在CD上，连结AP,AM平分ZDAP,AN平分ZPAB,AM、AN分别与射线BP交于点M、N.设ZDAM=a°.求ZBAN的度数(用含a的代数式表示).若AN丄BM,试探究ZAMB的度数是否为定值？若为定值，请求出该定值；若不为定值，请用a的代数式表示它.【答案】(1)90；(2［①ZBAN=(45-a)。；②ZAMB=45°.【解析】(1)依据平行线的性质，即可得到ZBAD的度数；⑵①根据AM平分ZDAP,ZDAM=a。，即可得到ZBAP=(90-2a)°,再根据AN平分ZPAB，即可得到1ZBAN=-(90-2a)°=(45-a)°；②根据AM平分ZDAP,AN平分ZPAB，即可得出ZMAN=ZMAP+ZPAN=45。，再根据AN丄BM,即可得到ZAMB的度数为定值.【详解】解：(1)TAD〃BC,ZABC=90°,AZBAD=180°-90°=90°.故答案为：90；(2)①TAM平分ZDAP,ZDAM=a。，.•・ZDAP=2a。，VZBAD=90°,.•・ZBAP=(90-2a)。，TAN平分ZPAB,1.•・ZBAN=2(90-2a)°=(45-a)。；②TAM平分ZDAP,AN平分ZPAB,11?.ZPAM=ZPAD,ZPAN=ZPAB,22111?.ZMAN=ZMAP+ZPAN=ZPAD+ZZPAB=90°=45°,222TAN丄BM,?.ZANM=90°,.•・ZAMB=180°-90°-45°=45°.【点睛】本题主要考查了平行线的性质,解题时注意：两直线平行,同旁内角互补.将在同一平面内如图放置的两块三角板绕公共顶点A旋转，连接BC,DE.探究abc与S^ADC的比是否为定值.DDEE5B⑴两块三角板是完全相同的等腰直角三角板时，SDDEE5B⑴两块三角板是完全相同的等腰直角三角板时，SbABC：S'ADE是否为定值？如果是，求出此定值，如果不是，说明理由.（图①）（2）—块是等腰直角三角板，另一块是含有30。角的直角三角板时，S、abc：S&ade是否为定值？如果是，求出此定值，如果不是，说明理由.（图②）（3）两块三角板中，ZBAE+ZC4D=180。，AB=a,AE=b,AC=m,AD=n（a,b，m，n为常数），S、ABCtS、ADE是否为定值？如果是，用含a,b，m，n的式子表示此定值（直接写出结论，不写推理过程），如果不是，说明理由.（图③）【答案】⑴结论：兀abc：沐L为定值•理由见解析；（2）沐ABC：沐ADE=F，为定值’理由见解析；（3）S解析；（3）S、ABC：S、ADEma=石，为定值•理由见解析.【解析】（1）结论：S“BC：S“de=定值•如图1中，作DH丄AE于H，CG丄BA交BA的延长线于G•首先证明ZDAE=ZCAG，利用三角形的面积公式计算即可.（2）结论：SAABC：SAADE=定值•如图1中，作DH丄AE于H，CG丄BA交BA的延长线于G•首先证明ZDAE=ZCAG，利用三角形的面积公式计算即可.（3）结论：SAABC：SaADE=定值•如图1中，作DH丄AE于H，CG丄BA交BA的延长线于G•首先证明ZDAE=ZCAG，利用三角形的面积公式计算即可.【详解】（1）结论：SAabc：S“de=定值.理由：如图1理由：如图1中，作DH丄AE于H,CG丄BA交BA的延长线于G.VZBAE=ZCAD=90°，Z.ZBAC+ZEAD=180°，ZBAC+ZCAG=180°，AZDAE=ZCAG，VAB=AE=AD=AC，

1S—ABCSaAED-•AB-AC-sin/CAG-1--1-AE-AD-sinZDAE2理由：如图1中，作DH丄AE于H,CG丄BA交BA的延长线于G.不妨设ZADC=30°理由：如图1中，作DH丄AE于H,CG丄BA交BA的延长线于G.不妨设ZADC=30°,则AD^.3AC,AE=AB,VZBAE=ZCAD=90°,Z.ZBAC+ZEAD=180°,ZBAC+ZCAG=180°,AZDAE=ZCAG,S—ABCSAED2•AE•AD-ZE(3)如图3中，如图2中，S^abc：S^ade=定值.理由：如图1中，作DH丄AE于H,CG丄BA交BA的延长线于G.VZBAE=ZCAD=90°,.•.ZBAC+ZEAD=180。，ZBAC+ZCAG=180。,.•・ZDAE=ZCAG,*.*AB=a,AE=b,AC=m,AD=nS—ABCSS—ABCSAED2-AB-AC-sinzCAG2-aead-zaemanb△【点睛】本题属于几何变换综合题,考查了等腰直角三角形的性质,30度的直角三角形的性质,三角形的面积等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,属于中考常考题型．5・(解决问题)如图1，在AABC中，AB=AC=10,CG丄AB于点G.点p是BC边上任意一点，过点p作PE丄AB，PF丄AC，垂足分别为点E，点F.⑴若PE=3，PF=5，则AABP的面积是，CG=.猜想线段PE，PF，CG的数量关系，并说明理由.(变式探究)如图2,在AABC中,若AB=AC=BC=10，点p是AABC内任意一点，且PE丄BC,PF丄AC，PG丄AB，垂足分别为点E，点F，点G，求PE+PF+PG的值.(4)(拓展延伸)如图(4)(拓展延伸)如图3,将长方形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上点C落在点C处，点P为折痕EF上的任意一点，过点P作PG丄BE,PH丄BC，垂足分别为点G，点h•若AD=8,CF=3,直接写出PG+PH的值.【答案】（1）15,8；（2）PE+PF二CG，见解析；（3）5运；（4）4【解析】解决问题（1）只需运用面积法：S=S+S，即可解决问题；AABCAABPAACP（2）解法同（1）；1（3）连接PA、PB、PC，作AM丄BC于M，由等边三角形的性质得出BM二-BC二5，由勾股定理得出AM='■:AB2-BM2=5P3，得出AABC的面积=~~BCxAM=25\：3，由AABC的面积=ABCP的面积+AACP的面积+AAPB的面积=1BCxPE+1ACxPF+1ABxPG=1AB（PE+PF+PG）=25爲，即可2222得出答案；（4）过点E作EQ丄BC，垂足为Q,易证BE=BF，过点E作EQ丄BF，垂足为Q，由解决问题（1）可得PG+PH=EQ，易证EQ=DC，BF=DF，只需求出BF即可.【详解】解：（1）TPE丄AB，AB=10，PE=311AABP的面积=—ABxPE=—x10x3=1522PE丄AB，PF丄AC，CG丄AB且S=S+SAABCAABPAACP・•・AB-CG=AB-PE+AC-PF•・•AB=AC・CG=PE+PF=3+5=8.故答案为：15，8.（2）•PE丄AB，PF丄AC，CG丄AB且S二S+SAABCAABPAACP・•・AB-CG二AB-PE+AC-PF•・•AB=AC・•・CG二PE+PF.(3)连接PA、pb、PC，作AM丄BC于m，如图2所示:BEC［图2)AB=AC=BC=10AABC是等边三角形，AM丄BC，1.•・BM二一BC二52・•・AM=JAB2-BM2=、：'1O2—52=5、打11——AABC的面积=—BCxAM=—x10x5弋3=25订3PE丄BCPF丄ACPG丄AB・•・AABC的面积二ABCP的面积+AACP的面积+AAPB的面积1111二一BCxPE+—ACxPF+—ABxPG二一AB(PE+PF+PG2222二25J3・•・pE+PF+PG二寄二心(4)过点E作EQ丄BC,垂足为Q,如图3所示:｛图:H•・•四边形abcd是矩形，・•・AD二BC,ZC=ZADC=90。•・•AD=8,CF=3・•・BF二BC-CF二AD-CF二5由折叠可得：DF二BF二5,ZBEF=ZDEF•・•ZC=90°・•・DC=^DF2-FC2=<52—32=4•・•EQ丄BC,ZC=ZADC=90°:,ZEQC=90°=ZC=ZADC・•・四边形eqcd是矩形,EQ=DC=4AD//BCZDEF=ZEFBZBEF=ZDEFZBEF=ZEFBBE=BF由解决问题（1）可得：PG+PH=EQ.•・PG+PH=4,即PG+PH的值为4.【点睛】本题是四边形综合题目考查了矩形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定、平行线的性质与判定、等边三角形的性质、勾股定理等知识考查了用面积法证明几何问题考查了运用已有的经验解决问题的能力体现了自主探究与合作交流的新理念是充分体现新课程理念难得的好题．6•如图，已知锐角△ABC中，AB、AC边的中垂线交于点O若ZA=a(0°VaV90。)，求ZBOC；试判断ZABO+ZACB是否为定值；若是，求出定值，若不是，请说明理由.【答案】(1)2a；(2)是定值【解析】试题分析：(1)根据线段垂直平分线的性质得到AO=BO=CO,根据等腰三角形的性质得到ZOAB=ZOBA,ZOCA=ZOAC，根据周角定义即可得到结论；(2)根据等腰三角形的性质得到ZOBC=ZOCB，于是得到ZOBC=90°-a,根据三角形的内角和即可得到结论.解:(1)AB、AC边的中垂线交于点O,.•・AO=BO=CO,AZOAB=ZOBA,ZOCA=ZOAC,AZAOB+ZAOC=(180°-ZOAB-ZOBA)+(180°-ZOAC-ZOCA),AZAOB+ZAOC=(180°-2ZOAB)+(180°-2ZOAC)=360。-2(ZOAB+ZOAC)=360。-2ZA=360。-2a,.ZBOC=360°-(ZAOB+ZAOC)=2a；(2)ZABO+ZACB为定值，VBO=CO,.ZOBC=ZOCB,VZOAB=ZOBA,ZOCA=ZOAC,.ZOBC=(180°-2ZA)=90°-a,•.•ZABO+ZACB+ZOBC+ZA=180°,.ZABO+ZACB=180°-a-(90°-a)=90°.【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质,周角的定义,三角形的内角和,等腰三角形的性质,熟练掌握各定理是解题的关键.7.OO的直径AB=15cm，有一条定长为9cm的动弦，CD在弧AB上滑动（点C和A、点D与B不重合），且CE丄CD交AB于E,DF丄CD交AB于F.（1）求证：AE=BF（2）在动弦CD滑动过程中，四边形CDFE的面积是否为定值，若是定值，请给出证明，并求这个定值，若不是，请说明理由.【答案】（1）见解析；（2）四边形CDFE面积是定值，证明见解析.【解析】1）要证:AE=BF,就要从点O向CD作垂线，然后利用垂径定理和平行线等分线段定理可知AE=BF；（2）是定值，要求四边形的面积就要分析这个四边形是什么形状的，从图中可以看出是梯形，那就要利用梯形的计算公式计算，即（上底+下底）x高一2,从图中给出的数量关系可知，上底加下底是定值，高也是定值，所以面积是定值.【详解】（1）如图，过O作OG丄CD于G，则G为CD的中点，又EC丄CD，FD丄CD,.•・EC〃OG〃FD,••・O为EF的中点，即OE=OF,又AB为0O的直径，.OA=OB,••・AE=BF（等式性质），（2）四边形CDFE的面积是定值,理由如下过点O作OG丄CD于G,连接0D.则DG二-CD二4.5cm.2在^OGD中,ZOGD二90,OD=-AB=7.5cm,根据勾股定理得OG=^7.52-4.52=6cm,则GD=4.5cm.•：OD、DG是定值，・•・OG是定值，：CEIIOGIIDF,G为CD中点，・O为EF中点，当CD与AB不平行时.・•・OG为梯形CDFE的中位线，・•・CE+DF=2OG=2x6=12cm,:,梯形的高也是定值9cm,・••梯形的面积是定值=12x9v2=54cm2.当CDIAB时，四边形ECDF是矩形，OG=EC=FD=6,・•矩形的面积=6x9=54cm2是定值.综上所述，四边形CDFE的面积是定值.【点睛】考查了垂径定理和平行线的性质，要学会几何图形的综合应用的解法，充分利用已知条件求证结论.如图，动点-T在以。为圆心，一二为直径的半圆弧上运动(点二不与点；三及】三的中点F重合),连接：T•过点-T作丄三—三于点三，以三三为边在半圆同侧作正方形三二■疋，过■■点作二二的切线交