(新教材)人教B数学必修第三册新素养突破课件：811向量数量积的概念

第八章向量的数量积与三角恒等变换8.1向量的数量积8.1.1向量数量积的概念第八章向量的数量积与三角恒等变换(新教材)人教B数学必修第三册新素养突破课件：811向量数量积的概念1.两个向量的夹角1.两个向量的夹角【思考】在△ABC中,向量与向量的夹角是角B吗?为什么?提示:不是.向量与向量的夹角是角B的补角.【思考】2.向量的数量积2.向量的数量积【思考】(1)向量的数量积a·b与向量加法、减法和数乘的区别是什么?提示:向量的数量积a·b是一个实数,不考虑方向;向量加法、减法和数乘仍是向量,既有大小又有方向.【思考】(2)向量的数量积a·b什么时候为正,什么时候为负,什么时候为零?提示:当0°≤<a,b><90°时,a·b为正;当90°<<a,b>≤180°时,a·b为负;当<a,b>=90°时,a·b为零.(2)向量的数量积a·b什么时候为正,什么时候为负,什么时候(3)根据向量数量积的定义,如何求两个非零向量a与b的夹角?提示:先求cos<a,b>=,再根据余弦值求<a,b>.(3)根据向量数量积的定义,如何求两个非零向量a与b的夹角?(4)|a·b|≤|a||b|中等号何时成立?提示:当a与b共线时,等号成立.(4)|a·b|≤|a||b|中等号何时成立?3.向量的投影与向量数量积的几何意义(1)作法:设非零向量=a,过A,B分别作直线l的垂线,垂足分别为A′,B′.(2)结论:称向量为向量a在直线l上的投影向量或投影.3.向量的投影与向量数量积的几何意义(3)投影的数量:如果a,b都是非零向量,则称|a|cos<a,b>为向量a在向量b上的投影的数量.(4)向量数量积的几何意义:两个非零向量a,b的数量积a·b,等于a在向量b上的投影的数量与b的模的乘积.(3)投影的数量:如果a,b都是非零向量,则称|a|cos<【思考】一个向量在一个非零向量上的投影,与这个非零向量共线吗?若共线,它们的方向相同还是相反?提示:一个向量在一个非零向量上的投影,一定与这个非零向量共线,但它们既有可能方向相同,也有可能方向相反.【思考】【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)两个非零向量的夹角是唯一确定的. (

)(2)若非零向量a与b共线,则<a,b>=0°. (

)(3)a·b不能写成a×b,也不能写成ab. (

)【素养小测】提示:(1)√.由两个向量夹角的定义可知.(2)×.若非零向量a与b共线,则<a,b>=0°或<a,b>=180°.(3)√.两个向量的数量积只能表示为a·b.提示:(1)√.由两个向量夹角的定义可知.2.若|a|=2,|b|=1,a与b的夹角为60°,则a·b等于

(

)

A. B. C.1 D.2【解析】选C.a·b=|a|·|b|cos<a,b>=2×1×cos60°=1.2.若|a|=2,|b|=1,a与b的夹角为60°,则a·b3.已知|a|=9,|b|=6,a·b=-54,则a与b的夹角θ为

(

)A.45° B.135° C.120° D.150°【解析】选B.cosθ==又因为0≤θ≤π,所以θ=π,即θ=135°.3.已知|a|=9,|b|=6,a·b=-54,则a与4.已知|a|=8,|b|=4,<a,b>=120°,则向量b在a方向上的投影的数量为 (

)A.4 B.-4 C.2 D.-2【解析】选D.向量b在a方向上的投影的数量为|b|cos<a,b>=4×cos120°=-2.4.已知|a|=8,|b|=4,<a,b>=120°,则向量5.若向量a与b的夹角为60°,则向量-a与b的夹角为________.

5.若向量a与b的夹角为60°,则向量-a与b的夹角为___【解析】如图,向量-a与a互为相反向量,所以向量-a与b的夹角为120°.答案:120°【解析】如图,向量-a与a互为相反向量,类型一求两向量的数量积【典例】1.在△ABC中,||=10,||=5,∠B=135°,则·的值是________.

2.已知|a|=4,|b|=5,当(1)a∥b;(2)a⊥b;(3)a与b的夹角为30°时,分别求a与b的数量积.类型一求两向量的数量积【思维·引】1.确定与的夹角,依据数量积的定义求值.2.依据数量积的定义求值,关注以下两点:(1)注意两个向量的夹角;(2)当a∥b时,要注意夹角为0°和180°两种情况.【思维·引】【解析】1.易知cos<,>=cos(180°-∠B)=cos45°=.所以·=||·||cos<,>=10×5×=50.答案:50【解析】1.易知cos<,>=cos(180°-2.(1)当a∥b时，若a与b同向，则〈a,b〉＝0°，a·b＝|a|·|b|cos0°=4×5＝20；若a与b反向，则〈a,b〉=180°，所以a·b＝|a|·|b|cos180°=4×5×(-1)=-20.2.(1)当a∥b时，若a与b同向，则〈a,b〉＝0°，(2)当a⊥b时，〈a,b〉=90°，所以a·b＝|a|·|b|cos90°=0.(3)当a与b的夹角为30°时，a·b＝|a|·|b|cos30°=4×5×=10.(2)当a⊥b时，〈a,b〉=90°，【内化·悟】求两个向量的数量积时,要确定哪几个量?提示:需要确定两个向量的模及向量的夹角.【内化·悟】【类题·通】求平面向量数量积的步骤(1)求a与b的夹角<a,b>,<a,b>∈[0,π].(2)分别求|a|和|b|.(3)求数量积,即a·b=|a|·|b|cos<a,b>.【类题·通】【习练·破】已知正三角形ABC的边长为1,求:

【习练·破】【解析】(1)因为与的夹角为60°.所以·=||||cos60°=1×1×=.(2)因为与的夹角为120°.所以·=||||cos120°=1×1×

【解析】(1)因为与的夹角为60°.(3)因为与的夹角为60°,所以·=||||cos60°=1×1×=.(3)因为与的夹角为60°,【加练·固】如图所示,在▱ABCD中,||=4,||=3,∠DAB=60°,求:

【加练·固】【解析】(1)因为∥,且方向相同,所以与的夹角是0°,所以·=||||cos0°=3×3×1=9.【解析】(1)因为∥,且方向相同,(2)因为∥,且方向相反,所以与的夹角是180°,所以·=||||cos180°=4×4×(-1)=-16.(2)因为∥,且方向相反,(3)因为与的夹角为60°,所以与的夹角为120°,所以·=||||cos120°=4×3×=-6.(4)因为与的夹角为60°,·=||||cos60°=3×4×=6.(3)因为与的夹角为60°,类型二向量数量积的几何意义【典例】1.已知|a|=3,|b|=5,且a·b=-12,则a在b方向上投影的数量为________,b在a方向上投影的数量为________.

类型二向量数量积的几何意义2.在△ABC中,已知||=5,||=4,||=3,求:(1)·.(2)在方向上的投影的数量.2.在△ABC中,已知||=5,||=4,|【思维·引】1.依据一个向量在另一个向量上的投影的数量的定义求值.2.(1)判断△ABC的形状,求有关角的余弦值,依据

·=-·求值.(2)依据一个向量在另一个向量上的投影的数量的定义求值.【思维·引】1.依据一个向量在另一个向量上的投影【解析】1.a·b=|a|·|b|cos<a,b>=-12,所以向量a在向量b方向上投影的数量为|a|·cos<a,b>=;向量b在向量a方向上投影的数量为|b|·cos<a,b>==-4.答案:-

-4【解析】1.a·b=|a|·|b|cos<a,b>=-12,2.因为||=5,||=4,||=3,所以△ABC为直角三角形,且C=90°.所以cosA=,cosB=.(1)·=-·=-5×4×=-16.(2)||·cos<,>=2.因为||=5,||=4,||=3,【内化·悟】分两个向量的夹角为锐角和钝角两种情况,说明b在a方向上的投影的数量,何时为正,何时为负?【内化·悟】提示:具体情况可以借助下表分析:提示:具体情况可以借助下表分析:【类题·通】求向量的投影(或其数量)的关注点和计算方法(1)关注点:注意a在b上的投影与b在a上的投影不同,审题时要看清.【类题·通】(2)计算方法:a在b方向上的投影的数量为|a|cos<a,b>=,b在a方向上的投影的数量为|b|cos<a,b>=.(2)计算方法:a在b方向上的投影的数量为【习练·破】如图,在△ABC中,AB=AC=4,∠BAC=90°,D是BC边的中点,求:(1)在方向上投影的数量;(2)在方向上投影的数量.【习练·破】【解析】连接AD,因为AB=AC=4,∠BAC=90°,所以△ABC是等腰直角三角形.又因为D是BC边的中点,所以AD⊥BC,∠ABD=45°,所以BD=2.延长AB到E(如图所示),则与的夹角为∠DBE=180°-45°=135°.【解析】连接AD,因为AB=AC=4,∠BAC=90°,因此,(1)在方向上投影的数量是||cos135°=4×=-2.(2)在方向上投影的数量是||cos135°=2×=-2.因此,【加练·固】已知|a|=4,|b|=5,则a在b上的投影数量与b在a上的投影数量的比值λ=________.

【解析】由题意,得λ=答案:

【加练·固】类型三向量数量积的性质及应用角度1与向量的夹角、垂直有关的问题【典例】1.E,F,G,H分别是四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,若(+)·(+)=0,则四边形EFGH是 (

)

A.梯形 B.正方形 C.菱形 D.矩形类型三向量数量积的性质及应用2.已知a,b是两个非零向量. 世纪金榜导学号(1)若|a|=3,|b|=4,|a·b|=6,求a与b的夹角.(2)若|a|=|b|=|a-b|,求a与a+b的夹角.2.已知a,b是两个非零向量. 世纪金榜导学号【思维·引】1.根据向量加法的三角形法则变形,利用向量垂直的几何意义判断垂直关系.2.(1)利用向量数量积的公式求解;(2)利用向量的几何意义求解.【思维·引】1.根据向量加法的三角形法则变形,利用向量垂直的【解析】1.选D.如图,连接AC,BD,则由题意可知,EF∥AC,GH∥AC,所以EF∥GH,同样,GF∥BD,EH∥BD,【解析】1.选D.如图,连接AC,BD,所以GF∥EH,所以四边形EFGH是平行四边形,又(+)·(+)=0,即·=0,所以⊥,即AC⊥BD,所以EF⊥GF,所以四边形EFGH是矩形.所以GF∥EH,所以四边形EFGH是平行四边形,2.(1)因为a·b=|a||b|cos<a,b>,所以|a·b|=||a||b|cos<a,b>|=|a||b||cos<a,b>|=6.又|a|=3,|b|=4,所以|cos<a,b>|=所以cos<a,b>=±.因为<a,b>∈[0,π],所以a与b的夹角为或.2.(1)因为a·b=|a||b|cos<a,b>,(2)如图,在平面内取一点O,作=a,=b,以,为邻边作▱OACB,因为|a|=|b|,即||=||,所以四边形OACB为菱形,OC平分∠AOB,这时=a+b,=a-b,因为|a|=|b|=|a-b|,即||=||=||,(2)如图,在平面内取一点O,作=a,=b,以所以∠AOB=,所以∠AOC=,即a与a+b的夹角为.所以∠AOB=,所以∠AOC=,即a与a+b的夹【素养·探】在与向量的夹角有关的问题中,经常利用核心素养中的直观想象,根据两个向量夹角的定义,画图确定两个向量的夹角.将本例2(2)条件“|a|=|b|=|a-b|”改为“|a+b|=|a-b|=2|a|”,求向量a+b与a-b的夹角.【素养·探】【解析】如图在以a和b为邻边的平行四边形ABCD中,因为|a+b|=|a-b|,所以四边形ABCD为矩形.在Rt△ABD中,|a-b|=2|a|,所以∠ABD=.所以a+b和a-b的夹角为.【解析】如图在以a和b为邻边的平行四边形ABCD中,角度2与向量的模有关的问题【典例】已知x=1是方程x2+|a|x+a·b=0的根,且a2=4,a与b的夹角为120°.求向量b的模. 世纪金榜导学号角度2与向量的模有关的问题【思维·引】依据a2=|a|2求|a|,依据方程根的定义求a·b,用向量数量积的定义列方程求向量b的模.【思维·引】依据a2=|a|2求|a|,依据方程根的定义求a【解析】因为a2=4,所以|a|2=4,即|a|=2,将x=1代入原方程可得1+2×1+a·b=0,所以a·b=-3,所以a·b=|a||b|cos<a,b>=2|b|cos120°=-3,所以|b|=3.【解析】因为a2=4,所以|a|2=4,即|a|=2,【类题·通】1.求向量夹角的基本步骤及注意事项(1)步骤:【类题·通】(2)注意:在个别含有|a|,|b|与a·b的等量关系式中,常利用消元思想计算cos<a,b>的值.2.求解向量模的问题要灵活应用a2=|a|2,即|a|=,勿忘记开方.(2)注意:在个别含有|a|,|b|与a·b的等量关系式中,【习练·破】1.已知|a|=4,|b|=2,b2-a2=3a·b,则向量a与向量b的夹角等于 (

)A. B. C. D.【习练·破】【解析】选B.由已知得,3a·b=b2-a2=|b|2-|a|2=22-42=-12,所以a·b=-4,所以cos<a,b>=又0≤<a,b>≤π,所以<a,b>=.【解析】选B.由已知得,3a·b=b2-a2=|b|2-|a2.已知非零向量a,b的夹角为45°,且|a|=2,a2-2a·b+b2=4,则|b|=________.

2.已知非零向量a,b的夹角为45°,且|a|=2,【解析】因为|a|=2,<a,b>=45°,所以由a2-2a·b+b2=4得|a|2-2|a||b|cos45°+|b|2=4,即4-2|b|+|b|2=4,解得|b|=2或|b|=0,因为b是非零向量,所以|b|=2.答案:2【解析】因为|a|=2,<a,b>=45°,【加练·固】已知a,b,a·b=40,|a|=10,|b|=8,求a与b的夹角.【解析】因为a·b=|a||b|cosθ,θ为a与b的夹角,而a·b=40,|a|=10,|b|=8,所以cosθ=又因为0°≤θ≤180°,所以a与b的夹角为60°.【加练·固】第八章向量的数量积与三角恒等变换8.1向量的数量积8.1.1向量数量积的概念第八章向量的数量积与三角恒等变换(新教材)人教B数学必修第三册新素养突破课件：811向量数量积的概念1.两个向量的夹角1.两个向量的夹角【思考】在△ABC中,向量与向量的夹角是角B吗?为什么?提示:不是.向量与向量的夹角是角B的补角.【思考】2.向量的数量积2.向量的数量积【思考】(1)向量的数量积a·b与向量加法、减法和数乘的区别是什么?提示:向量的数量积a·b是一个实数,不考虑方向;向量加法、减法和数乘仍是向量,既有大小又有方向.【思考】(2)向量的数量积a·b什么时候为正,什么时候为负,什么时候为零?提示:当0°≤<a,b><90°时,a·b为正;当90°<<a,b>≤180°时,a·b为负;当<a,b>=90°时,a·b为零.(2)向量的数量积a·b什么时候为正,什么时候为负,什么时候(3)根据向量数量积的定义,如何求两个非零向量a与b的夹角?提示:先求cos<a,b>=,再根据余弦值求<a,b>.(3)根据向量数量积的定义,如何求两个非零向量a与b的夹角?(4)|a·b|≤|a||b|中等号何时成立?提示:当a与b共线时,等号成立.(4)|a·b|≤|a||b|中等号何时成立?3.向量的投影与向量数量积的几何意义(1)作法:设非零向量=a,过A,B分别作直线l的垂线,垂足分别为A′,B′.(2)结论:称向量为向量a在直线l上的投影向量或投影.3.向量的投影与向量数量积的几何意义(3)投影的数量:如果a,b都是非零向量,则称|a|cos<a,b>为向量a在向量b上的投影的数量.(4)向量数量积的几何意义:两个非零向量a,b的数量积a·b,等于a在向量b上的投影的数量与b的模的乘积.(3)投影的数量:如果a,b都是非零向量,则称|a|cos<【思考】一个向量在一个非零向量上的投影,与这个非零向量共线吗?若共线,它们的方向相同还是相反?提示:一个向量在一个非零向量上的投影,一定与这个非零向量共线,但它们既有可能方向相同,也有可能方向相反.【思考】【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)两个非零向量的夹角是唯一确定的. (

)(2)若非零向量a与b共线,则<a,b>=0°. (

)(3)a·b不能写成a×b,也不能写成ab. (

)【素养小测】提示:(1)√.由两个向量夹角的定义可知.(2)×.若非零向量a与b共线,则<a,b>=0°或<a,b>=180°.(3)√.两个向量的数量积只能表示为a·b.提示:(1)√.由两个向量夹角的定义可知.2.若|a|=2,|b|=1,a与b的夹角为60°,则a·b等于

(

)

A. B. C.1 D.2【解析】选C.a·b=|a|·|b|cos<a,b>=2×1×cos60°=1.2.若|a|=2,|b|=1,a与b的夹角为60°,则a·b3.已知|a|=9,|b|=6,a·b=-54,则a与b的夹角θ为

(

)A.45° B.135° C.120° D.150°【解析】选B.cosθ==又因为0≤θ≤π,所以θ=π,即θ=135°.3.已知|a|=9,|b|=6,a·b=-54,则a与4.已知|a|=8,|b|=4,<a,b>=120°,则向量b在a方向上的投影的数量为 (

)A.4 B.-4 C.2 D.-2【解析】选D.向量b在a方向上的投影的数量为|b|cos<a,b>=4×cos120°=-2.4.已知|a|=8,|b|=4,<a,b>=120°,则向量5.若向量a与b的夹角为60°,则向量-a与b的夹角为________.

5.若向量a与b的夹角为60°,则向量-a与b的夹角为___【解析】如图,向量-a与a互为相反向量,所以向量-a与b的夹角为120°.答案:120°【解析】如图,向量-a与a互为相反向量,类型一求两向量的数量积【典例】1.在△ABC中,||=10,||=5,∠B=135°,则·的值是________.

2.已知|a|=4,|b|=5,当(1)a∥b;(2)a⊥b;(3)a与b的夹角为30°时,分别求a与b的数量积.类型一求两向量的数量积【思维·引】1.确定与的夹角,依据数量积的定义求值.2.依据数量积的定义求值,关注以下两点:(1)注意两个向量的夹角;(2)当a∥b时,要注意夹角为0°和180°两种情况.【思维·引】【解析】1.易知cos<,>=cos(180°-∠B)=cos45°=.所以·=||·||cos<,>=10×5×=50.答案:50【解析】1.易知cos<,>=cos(180°-2.(1)当a∥b时，若a与b同向，则〈a,b〉＝0°，a·b＝|a|·|b|cos0°=4×5＝20；若a与b反向，则〈a,b〉=180°，所以a·b＝|a|·|b|cos180°=4×5×(-1)=-20.2.(1)当a∥b时，若a与b同向，则〈a,b〉＝0°，(2)当a⊥b时，〈a,b〉=90°，所以a·b＝|a|·|b|cos90°=0.(3)当a与b的夹角为30°时，a·b＝|a|·|b|cos30°=4×5×=10.(2)当a⊥b时，〈a,b〉=90°，【内化·悟】求两个向量的数量积时,要确定哪几个量?提示:需要确定两个向量的模及向量的夹角.【内化·悟】【类题·通】求平面向量数量积的步骤(1)求a与b的夹角<a,b>,<a,b>∈[0,π].(2)分别求|a|和|b|.(3)求数量积,即a·b=|a|·|b|cos<a,b>.【类题·通】【习练·破】已知正三角形ABC的边长为1,求:

【习练·破】【解析】(1)因为与的夹角为60°.所以·=||||cos60°=1×1×=.(2)因为与的夹角为120°.所以·=||||cos120°=1×1×

【解析】(1)因为与的夹角为60°.(3)因为与的夹角为60°,所以·=||||cos60°=1×1×=.(3)因为与的夹角为60°,【加练·固】如图所示,在▱ABCD中,||=4,||=3,∠DAB=60°,求:

【加练·固】【解析】(1)因为∥,且方向相同,所以与的夹角是0°,所以·=||||cos0°=3×3×1=9.【解析】(1)因为∥,且方向相同,(2)因为∥,且方向相反,所以与的夹角是180°,所以·=||||cos180°=4×4×(-1)=-16.(2)因为∥,且方向相反,(3)因为与的夹角为60°,所以与的夹角为120°,所以·=||||cos120°=4×3×=-6.(4)因为与的夹角为60°,·=||||cos60°=3×4×=6.(3)因为与的夹角为60°,类型二向量数量积的几何意义【典例】1.已知|a|=3,|b|=5,且a·b=-12,则a在b方向上投影的数量为________,b在a方向上投影的数量为________.

类型二向量数量积的几何意义2.在△ABC中,已知||=5,||=4,||=3,求:(1)·.(2)在方向上的投影的数量.2.在△ABC中,已知||=5,||=4,|【思维·引】1.依据一个向量在另一个向量上的投影的数量的定义求值.2.(1)判断△ABC的形状,求有关角的余弦值,依据

·=-·求值.(2)依据一个向量在另一个向量上的投影的数量的定义求值.【思维·引】1.依据一个向量在另一个向量上的投影【解析】1.a·b=|a|·|b|cos<a,b>=-12,所以向量a在向量b方向上投影的数量为|a|·cos<a,b>=;向量b在向量a方向上投影的数量为|b|·cos<a,b>==-4.答案:-

-4【解析】1.a·b=|a|·|b|cos<a,b>=-12,2.因为||=5,||=4,||=3,所以△ABC为直角三角形,且C=90°.所以cosA=,cosB=.(1)·=-·=-5×4×=-16.(2)||·cos<,>=2.因为||=5,||=4,||=3,【内化·悟】分两个向量的夹角为锐角和钝角两种情况,说明b在a方向上的投影的数量,何时为正,何时为负?【内化·悟】提示:具体情况可以借助下表分析:提示:具体情况可以借助下表分析:【类题·通】求向量的投影(或其数量)的关注点和计算方法(1)关注点:注意a在b上的投影与b在a上的投影不同,审题时要看清.【类题·通】(2)计算方法:a在b方向上的投影的数量为|a|cos<a,b>=,b在a方向上的投影的数量为|b|cos<a,b>=.(2)计算方法:a在b方向上的投影的数量为【习练·破】如图,在△ABC中,AB=AC=4,∠BAC=90°,D是BC边的中点,求:(1)在方向上投影的数量;(2)在方向上投影的数量.【习练·破】【解析】连接AD,因为AB=AC=4,∠BAC=90°,所以△ABC是等腰直角三角形.又因为D是BC边的中点,所以AD⊥BC,∠ABD=45°,所以BD=2.延长AB到E(如图所示),则与的夹角为∠DBE=180°-45°=135°.【解析】连接AD,因为AB=AC=4,∠BAC=90°,因此,(1)在方向上投影的数量是||cos135°=4×=-2.(2)在方向上投影的数量是||cos135°=2×=-2.因此,【加练·固】已知|a|=4,|b|=5,则a在b上的投影数量与b在a上的投影数量的比值λ=________.

【解析】由题意,得λ=答案:

【加练·固】类型三向量数量积的性质及应用角度1与向量的夹角、垂直有关的问题【典例】1.E,F,G,H分别是四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,若(+)·(+)=0,则四边形EFGH是 (

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A.梯形 B.正方形 C.菱形 D.矩形类型三向量数量积的性质及应用2.已知a,b是两个非零向量. 世纪金榜导学号(1)若|a|=3,|b|=4,|a·b|=6,求a与b的夹角.(2)若|a|=|b|=|a-b|,求a与a+b的夹角.2.已知a,b是两个非零向量. 世纪金榜导学号【思维·引】1.根据向量加法的三角形法则变形,利用向量垂直的几何意义判断垂直关系.2.(1)利用向量数量积的公式求解;(2)利用向量的几何意义求解.【思维·引】1.根据向量加法的三角形法则变形,利用向量垂直的【解析】1.选D.如图,连接AC,BD,则由题意可知,EF∥AC,GH∥AC,所以EF∥GH,同样,GF∥BD,EH∥BD,【解析】1.选D.如图,连接AC,BD,所以GF∥EH,所以四边形EFGH是平行四边形,又(+)·(+)=0,即·=0,所以⊥,即AC⊥BD,所以EF⊥GF,所以四边形EFGH是矩形.所以GF∥EH,所以四边形EFGH是平行四边形,2.(1)因为a·b=|a||b|cos<a,b>,所以|a·b|=||a||b|cos<a,b>|=|a||b||cos<a,b>|=6.又|a|=3,|b|=4,所以|cos<a,b>|=所以cos<a,b>=±.因为<a,b>∈[0,π],所以a与b的夹角为或.2.(1)因为a·b=|a||b|cos<a,b>,(2)如图,在平面内取一点O,作=a,=b,以,为邻边作▱OACB,因为|a|=|b|,即||=||,所以四边形OACB为菱形,OC平分∠AOB,这时=a+b,=a-b,因为|a|=|b|=|a-b|,即||=||=||,(2)如图,在平面内取一点O,作=a,=b,以所以∠AOB=,所以∠AOC=,即a与a+b的夹角为.所以∠AOB=,所以∠AOC=,即a与a+b的夹【素养·探】在与向量的夹角有关的问题中,经常利用核心素养中