2022年华科版《勾股定理的逆定理》公开课教案

第1课时勾股定理的逆定理1．掌握勾股定理的逆定理，并能进行简单应用；(难点)2．理解勾股数的定义，探索常用勾股数的规律．(重点)一、情境导入据说几千年前的古埃及人就已经知道，在一根绳子上连续打上等距离的13个结，然后用钉子将第1个与第13个结钉在一起，拉紧绳子，再在第4个和第8个结处各钉上一个钉子，这样围成的三角形中最长边所对的角就是直角，你知道为什么吗？二、合作探究探究点一：勾股定理的逆定理【类型一】利用勾股定理的逆定理判断直角三角形判断满足以下条件的三角形是否是直角三角形．(1)在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝70°；(2)在△ABC中，AC＝7，AB＝24，BC＝25；(3)△ABC的三边长a、b、c满足(a＋b)(a－b)＝c2.解析：(1)两角可以求出另外一个角；(2)使用勾股定理的逆定理验证；(3)将式子变形即可使用勾股定理的逆定理验证．解：(1)在△ABC中，∵∠A＝20°，∠B＝70°，∴∠C＝180°－∠A－∠B＝90°，即△ABC是直角三角形；(2)∵AC2＋AB2＝72＋242＝625，BC2＝252＝625，∴AC2＋AB2＝BC2.根据勾股定理的逆定理可知，△ABC是直角三角形；(3)∵(a＋b)(a－b)＝c2，∴a2－b2＝c2，即a2＝b2＋c2.根据勾股定理的逆定理可知，△ABC是直角三角形．方法总结：在运用勾股定理的逆定理时，要特别注意找到最大边，定理描述的是最大边的平方等于另外两边的平方和．【类型二】利用勾股定理的逆定理求角的度数如图，点P为等边△ABC内一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度数．解析：根据条件PA＝3，PB＝4，PC＝5，易知PA2＋PB2＝PC2，但PA、PB、PC不在同一个三角形中，可构造边长分别为3、4、5的直角三角形来解决问题．解：在△ABC所在的平面内，以A为顶点，AC为边在△ABC外作∠DAC＝∠PAB，且AD＝AP.连接DC，PD，那么△ADC≌△APB，所以DC＝PB，∠APB＝∠ADC.因为PA＝AD，∠PAD＝∠BAC＝60°，所以△APD为等边三角形．所以PD＝PA＝AD＝3，∠ADP＝60°.又因为DC＝BP＝4，PC＝5，且PD2＋DC2＝32＋42＝52＝PC2，所以△PDC为直角三角形且∠PDC＝90°.所以∠APB＝∠ADC＝∠ADP＋∠PDC＝60°＋90°＝150°.方法总结：解答此题的关键是构建全等三角形．把长度分别为3、4、5的线段转化为同一个三角形的三边，利用勾股定理的逆定理判断此三角形是直角三角形，进而求出角度．【类型三】利用勾股定理的逆定理解决面积问题如以下图，AD是△ABC边BC上的中线，BC＝10cm，AC＝4cm，AD＝3cm，求S△ABC.解析：由△DAC的三边长，易判定该三角形是直角三角形，再由面积公式求出DC边上的高，进而可求△ABC的面积，也可根据中线等分三角形面积求解．解：过点A作AE⊥BC交BC于点E.∵AD是△ABC的中线，∴CD＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(1,2)×10＝5(cm)．∵CD2＝52＝25，AD2＋AC2＝32＋42＝25，∴AD2＋AC2＝CD2，∴△DAC是直角三角形．∵S△ADC＝eq\f(1,2)AD·AC＝eq\f(1,2)DC·AE，∴AE＝eq\f(AD·AC,DC)＝eq\f(3×4,5)＝eq\f(12,5)(cm)．∴S△ABC＝eq\f(1,2)BC·AE＝eq\f(1,2)×10×eq\f(12,5)＝12(cm2)．方法总结：先用勾股定理的逆定理判定直角三角形，再用面积法求AE的长，进而求出△ABC的面积．还可先求出S△ADC，再由AD是中线，得S△ABD＝S△ADC，即S△ABC＝2S△ADC，从而得解．【类型四】利用勾股定理的逆定理证垂直如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC＝5，BD＝12，两底AD、BC的和为13.求证：AC⊥BD.解析：由于两底的和，且对角线长度，应先将对角线平移，再寻找解题途径，由勾股定理的逆定理可以判定DB⊥DE，从而证明AC⊥BD.证明：过D作DE∥AC交BC的延长线于E点．又∵AD∥BC，∴四边形ACED为平行四边形．∴DE＝AC＝5，CE＝AD.在△BDE中，BD＝12，DE＝5，BE＝BC＋CE＝BC＋AD＝13，且52＋122＝132，DE2＋BD2＝BE2，∴△BDE为直角三角形，即∴∠BDE＝90°，那么DE⊥BD.又∵DE∥AC，∴AC⊥BD.方法总结：利用三角形三边的数量关系来判定直角三角形，从而推出两线的垂直关系．探究点二：勾股数以下几组数中是勾股数的是________(填序号)．①32，42，52；②9，40，41；③eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，eq\f(1,5)；④，1.2，1.5.解析：第①组不符合勾股数的定义，不是勾股数；第③④组不是正整数，不是勾股数；只有第②组的9，40，41是勾股数．故填②.方法总结：判断勾股数的方法：必须满足两个条件：一要符合等式a2＋b2＝c2；二要都是正整数．三、板书设计本节课采用以学生为主体，引导发现、操作探究的教学实验，符合学生的认知规律和认知水平，最大限度地调动了学生学习的积极性，有利于培养学生动手、观察、分析、猜测、验证、推理的能力，切实使学生在获取知识的过程中得到能力的培养.第2课时比例线段1．知道线段的比的概念，会计算两条线段的比；(重点)2．理解成比例线段的概念；(重点)3．掌握成比例线段的判定方法．(难点)一、情境导入请观察以下几幅图片，你能发现些什么？你能对观察到的图片特点进行归纳吗？这些例子都是形状相同、大小不同的图形．它们之所以大小不同，是因为它们图上对应的线段的长度不同．二、合作探究探究点一：线段的比【类型一】根据线段的比求长度如下列图，M为线段AB上一点，AM∶MB＝3∶5，且AB＝16cm，求线段AM、BM的长度．解：线段AM与MB的比反映了这两条线段在全线段AB中所占的份数，由AM∶MB＝3∶5可知AM＝eq\f(3,8)AB，MB＝eq\f(5,8)AB.∵AB＝16cm，∴AM＝eq\f(3,8)×16＝6(cm)，MB＝eq\f(5,8)×16＝10(cm)．方法总结：此题也可设AM＝3k，MB＝5k，利用3k＋5k＝16求解更简便，这也是解这类题常用的方法．【类型二】比例尺在比例尺为1∶50000的地图上，量得甲、乙两地的距离是3cm，那么甲、乙两地的实际距离是________m.解析：根据“比例尺＝eq\f(图上距离,实际距离)〞可求解．设甲、乙两地的实际距离为xcm，那么有1∶50000＝3∶x，解得x＝150000cm＝1500m.方法总结：理解比例尺的意义，注意实际尺寸的单位要进行恰当的转化．探究点二：成比例线段【类型一】判断线段成比例以下四组线段中，是成比例线段的是()A．3cm，4cm，5cm，6cmB．4cm，8cm，3cm，5cmC．5cm，15cm，2cm，6cmD．8cm，4cm，1cm，3cm解析：将每组数据按从小到大的顺序排列，前两条线段的比和后两条线段的比相等的四条线段成比例．四个选项中，只有C项排列后有eq\f(2,5)＝eq\f(6,15).应选C.方法总结：判断四条线段是否成比例的方法：(1)把四条线段按从小到大顺序排好，计算前两条线段的比和后两条线段的比，看是否相等作出判断；(2)把四条线段按从小到大顺序排好，计算前后两个数的积与中间两个数的积，看是否相等作出判断．【类型二】由线段成比例求线段的长三条线段的长分别为1cm，eq\r(2)cm，2cm，请你再给出一条线段，使得它的长与前面三条线段的长能够组成一个比例式．解：因为此题中没有明确告知是求1，eq\r(2)，2的第四比例项，因此所添加的线段长可能是前三个数的第四比例项，也可能不是前三个数的第四比例项，因此应进行分类讨论．设要求的线段长为x，假设x∶1＝eq\r(2)∶2，那么x＝eq\f(\r(2),2)；假设1∶x＝eq\r(2)∶2，那么x＝eq\r(2)；假设1∶eq\r(2)＝x∶2，那么x＝eq\r(2)；假设1∶eq\r(2)＝2∶x，那么x＝2eq\r(2).所以所添加的数有三种可能，可以是eq\f(\r(2),2)，eq\r(2)，或2eq\r(2).方法总结：假设使四个数成比例，那么应满足其中两个数的比等于另外两个数的比，也可转化为其中两个数的乘积恰好等于另外两个数的乘积．三、板书设计eq\a\vs4\al(比,例,线,段)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段,AB，CD的长度分别是m，n，那么这两,条线段的比就是它们长度的比，,即AB