平面向量知识点

1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算|λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.两个向量共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa．[做一做]1．判断下列四个命题：①若a∥b，则a＝b；②若|a|＝|b|，则a＝b；③若|a|＝|b|，则a∥b；④若a＝b，则|a|＝|b|.其中正确的个数是()A．1 B．2C．3 D．4答案：A2．已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝0，则eq\o(OC,\s\up6(→))等于()A．2eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)) B．－eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))C.eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→)) D．－eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up6(→))答案：A1．辨明两个易误点(1)作两个向量的差时，要注意向量的方向是指向被减向量的终点．(2)在向量共线的重要条件中易忽视“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．2．三点共线的等价关系A，P，B三点共线⇔eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))(λ≠0)⇔eq\o(OP,\s\up6(→))＝(1－t)·eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(OB,\s\up6(→))(O为平面内异于A，P，B的任一点，t∈R)⇔eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))(O为平面内异于A，P，B的任一点，x∈R，y∈R，x＋y＝1)．[做一做]3．若菱形ABCD的边长为2，则|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))|＝________.解析：|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))|＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝2.答案：24．已知a与－b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ的值为________．解析：∵a＋λb与－(b－3a)共线，∴存在实数μ，使a＋λb＝μ(3a－b)，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＝3μ，,λ＝－μ，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(μ＝\f(1,3)，,λ＝－\f(1,3))).答案：－eq\f(1,3)eq\a\vs4\al(考点一)__平面向量的有关概念__________________①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；③向量eq\o(AB,\s\up6(→))与向量eq\o(CD,\s\up6(→))共线，则A、B、C、D四点共线；④如果a∥b，b∥c，那么a∥c.以上命题中正确的个数为()A．1 B．2C．3 D．0[解析]①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量；②不正确，若a与b中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；③不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行；④不正确，如果b＝0时，则a与c不一定平行．[答案]D[规律方法]对于向量的概念应注意以下几条：(1)向量的两个特征：有大小和方向，向量既可以用有向线段和字母表示，也可以用坐标表示；(2)相等向量不仅模相等，而且方向也相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量则未必是相等向量；(3)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小．1.设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3解析：选D.向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.eq\a\vs4\al(考点二)__平面向量的线性运算(高频考点)_______平面向量的线性运算包括向量的加、减及数乘运算，是高考考查向量的热点．常以选择题、填空题的形式出现．高考对平面向量的线性运算的考查主要有以下三个命题角度：(1)求已知向量的和；(2)用已知向量表示未知向量；(3)求参数的值．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＝()A.eq\o(BC,\s\up6(→)) B.eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))C.eq\o(AD,\s\up6(→)) D.eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))[解析]如图，eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＝eq\o(EC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(FB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(EC,\s\up6(→))＋eq\o(FB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)·2eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→)).[答案]C[规律方法](1)解题的关键在于搞清构成三角形的三个向量间的相互关系，能熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化．(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧是：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果．2.(1)(2015·福建福州质量检测)在△ABC中，eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(BA,\s\up6(→))＝a，eq\o(BD,\s\up6(→))＝b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝c，则下列等式成立的是()A．c＝2b－a B．c＝2a－bC．c＝eq\f(3a,2)－eq\f(b,2) D．c＝eq\f(3b,2)－eq\f(a,2)(2)在△ABC中，已知D是AB边上一点，若eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(DB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋λeq\o(CB,\s\up6(→))，则λ等于()A.eq\f(2,3) B.eq\f(1,3)C．－eq\f(1,3) D．－eq\f(2,3)解析：(1)选D.因为在△ABC中，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→)))＝eq\f(3,2)eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))，所以c＝eq\f(3,2)b－eq\f(1,2)a(2)选A.如图所示，过点D分别作AC，BC的平行线，分别交BC，AC于点F，E，∴eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→)).∵eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(DB,\s\up6(→))，∴eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up6(→))，故eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up6(→))，∴λ＝eq\f(2,3).eq\a\vs4\al(考点三)__平面向量共线定理的应用____________已知非零向量e1，e2不共线．(1)如果eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1＋e2，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2e1＋8e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(e1－e2)，求证：A、B、D三点共线；(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值．[解](1)证明：∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1＋e2，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(BD,\s\up6(→))共线，且有公共点B，∴A、B、D三点共线．(2)∵ke1＋e2与e1＋ke2共线，∴存在λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，则(k－λ)e1＝(λk－1)e2.由于e1与e2不共线，只能有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k－λ＝0，,λk－1＝0，))∴k＝±1.[规律方法](1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量a、b共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立，若λ1a＋λ2b＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，否则向量a、b不共线．3.已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，其中e1、e2不共线，向量c＝2e1－9e2.问是否存在这样的实数λ、μ，使向量d＝λa＋μb与c共线？解：∵d＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2，要使d与c共线，则应有实数k，使d＝kc，即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2λ＋2μ＝2k，,－3λ＋3μ＝－9k，))得λ＝－2μ.故存在这样的实数λ、μ，只要λ＝－2μ，就能使d与c共线．,[学生用书P79])考题溯源——平面向量的线性运算(2014·高考福建卷)设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))等于()A.eq\o(OM,\s\up6(→)) B．2eq\o(OM,\s\up6(→))C．3eq\o(OM,\s\up6(→)) D．4eq\o(OM,\s\up6(→))[解析]因为点M为平行四边形ABCD对角线的交点，所以点M是AC和BD的中点，由平行四边形法则知eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝2eq\o(OM,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＝2eq\o(OM,\s\up6(→))，故eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＝4eq\o(OM,\s\up6(→)).[答案]D[考题溯源]本考题是由教材人教A必修4P92第11题“已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于O，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，用向量a、b分别表示向量eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→)).”改编而成．1.(2013·高考四川卷改编)在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AO,\s\up6(→))，则λ＝()A．1 B．2C．4 D．6解析：选B.由向量加法的平行四边形法则，得eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→)).又O是AC的中点，∴AC＝2AO，∴eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AO,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(AO,\s\up6(→)).又eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AO,\s\up6(→))，∴λ＝2.2．P是△ABC内的一点，eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，则△ABC的面积与△ABP的面积之比为()A．2 B．3C.eq\f(3,2) D．6解析：选B.由eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，得3eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AP,\s\up6(→))＋(eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＋(eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝0.所以eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(PA,\s\up6(→))＝0，P是△ABC的重心．所以△ABC的面积与△ABP的面积之比为3.1．给出下列命题：(1)两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；(2)两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；(3)λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；(4)λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中错误的命题的个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析：选C.(1)错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点；(2)正确，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小；(3)错误，当a＝0时，不论λ为何值，λa＝0；(4)错误，当λ＝μ＝0时，λa＝μb＝0，此时，a与b可以是任意向量．2．(2015·福建四地六校联考)已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且2eq\o(OP,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))，则()A．点P在线段AB上B．点P在线段AB的反向延长线上C．点P在线段AB的延长线上D．点P不在直线AB上解析：选B.因为2eq\o(OP,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))，所以2eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))，所以点P在线段AB的反向延长线上，故选B.3.如图，已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(BD,\s\up6(→))＝3eq\o(DC,\s\up6(→))，用a，b表示eq\o(AD,\s\up6(→))，则eq\o(AD,\s\up6(→))＝()A．a＋eq\f(3,4)bB.eq\f(1,4)a＋eq\f(3,4)bC.eq\f(1,4)a＋eq\f(1,4)bD.eq\f(3,4)a＋eq\f(1,4)b解析：选B.∵eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝a－b，又eq\o(BD,\s\up6(→))＝3eq\o(DC,\s\up6(→))，∴eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)(a－b)，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝b＋eq\f(1,4)(a－b)＝eq\f(1,4)a＋eq\f(3,4)b.4．若A，B，C，D是平面内任意四点，给出下列式子：①eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))；②eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))；③eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)).其中正确的个数是()A．0 B．1C．2 D．3解析：选C.①式的等价式是eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))，左边＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))，右边＝eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))，不一定相等；②式的等价式是eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))成立；③式的等价式是eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))成立．5.如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交BC于点D，若AB＝4，且eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))＋λeq\o(AB,\s\up6(→))(λ∈R)，则AD的长为()A．2eq\r(3) B．3eq\r(3)C．4eq\r(3) D．5eq\r(3)解析：选B.因为B，D，C三点共线，所以有eq\f(1,4)＋λ＝1，解得λ＝eq\f(3,4)，如图，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点M，N，则eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))，经计算得AN＝AM＝3，AD＝3eq\r(3).6．已知O为四边形ABCD所在平面内一点，且向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→))满足等式eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))，则四边形ABCD的形状为________．解析：∵eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))，∴eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))，∴eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，BA綊CD，∴四边形ABCD为平行四边形．答案：平行四边形7．在▱ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AN,\s\up6(→))＝3eq\o(NC,\s\up6(→))，M为BC的中点，则eq\o(MN,\s\up6(→))＝________(用a，b表示)．解析：由eq\o(AN,\s\up6(→))＝3eq\o(NC,\s\up6(→))，得4eq\o(AN,\s\up6(→))＝3eq\o(AC,\s\up6(→))＝3(a＋b)，eq\o(AM,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,2)b，所以eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)(a＋b)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)b))＝－eq\f(1,4)a＋eq\f(1,4)b.答案：－eq\f(1,4)a＋eq\f(1,4)b8．(2013·高考江苏卷)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝eq\f(1,2)AB，BE＝eq\f(2,3)BC.若eq\o(DE,\s\up6(→))＝λ1eq\o(AB,\s\up6(→))＋λ2eq\o(AC,\s\up6(→))(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．解析：由题意eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(BE,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以λ1＝－eq\f(1,6)，λ2＝eq\f(2,3)，故λ1＋λ2＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)9.在△ABC中，D、E分别为BC、AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，试用a，b表示eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AG,\s\up6(→)).解：eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b.eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BG,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b.10．设两个非零向量e1和e2不共线．(1)如果eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1－e2，eq\o(BC,\s\up6(→))＝3e1＋2e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝－8e1－2e2，求证：A、C、D三点共线；(2)如果eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1＋e2，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2e1－3e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝2e1－ke2，且A、C、D三点共线，求k的值．解：(1)证明：∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1－e2，eq\o(BC,\s\up6(→))＝3e1＋2e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝－8e1－2e2，∴eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝4e1＋e2＝－eq\f(1,2)(－8e1－2e2)＝－eq\f(1,2)eq\o(CD,\s\up6(→))，∴eq\o(AC,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))共线．又∵eq\o(AC,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))有公共点C，∴A、C、D三点共线．(2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝(e1＋e2)＋(2e1－3e2)＝3e1－2e2，∵A、C、D三点共线，∴eq\o(AC,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))共线，从而存在实数λ使得eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(CD,\s\up6(→))，即3e1－2e2＝λ(2e1－ke2)，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3＝2λ，,－2＝－λk，))解得λ＝eq\f(3,2)，k＝eq\f(4,3).第2讲平面向量基本定理及坐标表示,[学生用书P80])1．平面向量基本定理如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．其中，不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))．(2)向量坐标的求法：①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2)．3．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a∥b⇔x1y2－x2y1＝0．[做一做]1．若向量eq\o(BA,\s\up6(→))＝(2，3)，eq\o(CA,\s\up6(→))＝(4，7)，则eq\o(BC,\s\up6(→))＝()A．(－2，－4) B．(2，4)C．(6，10) D．(－6，－10)答案：A2．已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若a－2b＋3c＝0，则c等于()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(8,3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13,3)，\f(8,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,3)，\f(4,3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13,3)，－\f(4,3)))答案：D1．辨明三个易误点(1)注意能作为基底的两个向量必须是不共线的．(2)注意运用两个向量a，b共线坐标表示的充要条件应为x1y2－x2y1＝0.(3)要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息．2．有关平面向量的两类本质平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解．向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键．[做一做]3．已知e1，e2是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是()A．a＝0，b＝e1＋e2B．a＝3e1＋3e2，b＝e1＋e2C．a＝e1－2e2，b＝e1＋e2D．a＝e1－2e2，b＝2e1－4e2答案：C4．已知向量a＝(1，m)，b＝(m，2)，若a∥b，则实数m等于()A．－ eq\r(2)B.eq\r(2)C．－eq\r(2)或eq\r(2) D．0答案：C,[学生用书P80～P81])eq\a\vs4\al(考点一)__平面向量基本定理及其应用__________如图，以向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b为邻边作▱OADB，eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CD,\s\up6(→))，用a，b表示eq\o(OM,\s\up6(→))，eq\o(ON,\s\up6(→))，eq\o(MN,\s\up6(→)).[解]∵eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝a－b，eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)a－eq\f(1,6)b，∴eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)a＋eq\f(5,6)b.∵eq\o(OD,\s\up6(→))＝a＋b，∴eq\o(ON,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(ON,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b－eq\f(1,6)a－eq\f(5,6)b＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,6)b.综上，eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)a＋eq\f(5,6)b，eq\o(ON,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b，eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,6)b.[规律方法]用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．1.设e1、e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为另一组基向量a、b的线性组合，即e1＋e2＝________a＋________b.解析：由题意，设e1＋e2＝ma＋nb.因为a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，所以e1＋e2＝m(e1＋2e2)＋n(－e1＋e2)＝(m－n)e1＋(2m＋n)e2.由平面向量基本定理，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m－n＝1，,2m＋n＝1，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝\f(2,3)，,n＝－\f(1,3).))答案：eq\f(2,3)－eq\f(1,3)eq\a\vs4\al(考点二)__平面向量的坐标运算________________已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(CA,\s\up6(→))＝c，且eq\o(CM,\s\up6(→))＝3c，eq\o(CN,\s\up6(→))＝－2b.(1)求3a＋b－3c；(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(3)求M、N的坐标及向量eq\o(MN,\s\up6(→))的坐标．[解]由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)．(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－6m＋n＝5，,－3m＋8n＝－5，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝－1，,n＝－1.))(3)设O为坐标原点，∵eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝3c，∴eq\o(OM,\s\up6(→))＝3c＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)．∴M(0，20)．又∵eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\o(ON,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝－2b，∴eq\o(ON,\s\up6(→))＝－2b＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)，∴N(9，2)．∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝(9，－18)．[规律方法]平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解，并注意方程思想的应用．2.已知O为坐标原点，点C是线段AB上一点，且A(1，1)，C(2，3)，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝2|eq\o(AC,\s\up6(→))|，则向量eq\o(OB,\s\up6(→))的坐标是________．解析：由点C是线段AB上一点，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝2|eq\o(AC,\s\up6(→))|，得eq\o(BC,\s\up6(→))＝－2eq\o(AC,\s\up6(→)).设点B为(x，y)，则(2－x，3－y)＝－2(1，2)，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2－x＝－2，,3－y＝－4，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝7.))所以向量eq\o(OB,\s\up6(→))的坐标是(4，7)．答案：(4，7)eq\a\vs4\al(考点三)__平面向量共线的坐标表示(高频考点)____平面向量共线的坐标表示是高考的常考内容，多以选择题或填空题的形式出现，难度较小，属容易题．高考对平面向量共线的坐标表示的考查主要有以下三个命题角度：(1)利用两向量共线求参数；(2)利用两向量共线的条件求向量坐标；(3)三点共线问题．(1)已知向量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8，\f(1,2)x))，b＝(x，1)，其中x>0，若(a－2b)∥(2a＋b)，则x的值为()A．4 B．8C．0 D．2(2)已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，则AC与OB的交点P的坐标为________．[解析](1)a－2b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8－2x，\f(1,2)x－2))，2a＋b＝(16＋x，x＋1)，由已知(a－2b)∥(2a＋b)，显然2a＋b≠0，故有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8－2x，\f(1,2)x－2))＝λ(16＋x，x＋1)，λ∈R，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(8－2x＝λ（16＋x）,\f(1,2)x－2＝λ（x＋1）))⇒x＝4(x>0)．(2)法一：由O，P，B三点共线，可设eq\o(OP,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＝(4λ，4λ)，则eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(4λ－4，4λ)．又eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－2，6)，由eq\o(AP,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝eq\f(3,4)，所以eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OB,\s\up6(→))＝(3，3)，所以P点的坐标为(3，3)．法二：设点P(x，y)，则eq\o(OP,\s\up6(→))＝(x，y)，因为eq\o(OB,\s\up6(→))＝(4，4)，且eq\o(OP,\s\up6(→))与eq\o(OB,\s\up6(→))共线，所以eq\f(x,4)＝eq\f(y,4)，即x＝y.又eq\o(AP,\s\up6(→))＝(x－4，y)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－2，6)，且eq\o(AP,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))共线，所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，所以P点的坐标为(3，3)．[答案](1)A(2)(3，3)[规律方法](1)向量共线的两种表示形式设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，①a∥b⇒a＝λb(b≠0)；②a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的应用②.(2)两向量共线的充要条件的作用判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出未知数的值．3.(1)已知向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1，－3)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(2，－1)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(k＋1，k－2)，若A、B、C三点不能构成三角形，则实数k应满足的条件是()A．k＝－2 B．k＝eq\f(1,2)C．k＝1 D．k＝－1(2)(2015·河北唐山模拟)设向量a，b满足|a|＝2eq\r(5)，b＝(2，1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为________．(3)(2014·高考陕西卷)设0＜θ＜eq\f(π,2)，向量a＝(sin2θ，cosθ)，b＝(cosθ，1)，若a∥b，则tanθ＝________．解析：(1)若点A、B、C不能构成三角形，则向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))共线，∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)，∴1×(k＋1)－2k＝0，解得k＝1.(2)∵b＝(2，1)，且a与b的方向相反，∴设a＝(2λ，λ)(λ<0)．∵|a|＝2eq\r(5)，∴4λ2＋λ2＝20，λ2＝4，λ＝－2.∴a＝(－4，－2)．(3)因为a∥b，所以sin2θ＝cos2θ，2sinθcosθ＝cos2θ.因为0＜θ＜eq\f(π,2)，所以cosθ＞0，得2sinθ＝cosθ，tanθ＝eq\f(1,2).答案：(1)C(2)(－4，－2)(3)eq\f(1,2),[学生用书P82])方法思想——求向量中的范围、最值问题(解析法)给定两个长度为1的平面向量eq\o(OA,\s\up6(→))和eq\o(OB,\s\up6(→))，它们的夹角为eq\f(2π,3).如图所示，点C在以O为圆心的eq\o(AB,\s\up8(︵))上运动．若eq\o(OC,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，其中x，y∈R，求x＋y的最大值．[解]以O为坐标原点，eq\o(OA,\s\up6(→))所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(1，0)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))).设∠AOC＝αeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3)))))，则C(cosα，sinα)，由eq\o(OC,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(cosα＝x－\f(1,2)y,sinα＝\f(\r(3),2)y))；所以x＝cosα＋eq\f(\r(3),3)sinα，y＝eq\f(2\r(3),3)sinα，所以x＋y＝cosα＋eq\r(3)sinα＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))，又α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3)))，所以当α＝eq\f(π,3)时，x＋y取得最大值2.[名师点评]本题首先通过建立平面直角坐标系，引入向量的坐标运算，然后用三角函数的知识求出x＋y的最大值．引入向量的坐标运算使得本题比较容易解决，体现了坐标法解决问题的优势，凸显出了向量的代数特征，为用代数的方法研究向量问题奠定了基础．已知|a|＝|b|＝2，a⊥b，若向量c满足|c－a－b|＝2，求|c|的取值范围．解：因为a⊥b，不妨令a＝(0，2)，b＝(2，0)，c＝(x，y)，由|c－a－b|＝2，得(x－2)2＋(y－2)2＝4，|c|可看做(x，y)到原点的距离，而点(x，y)在以(2，2)为圆心，2为半径的圆上．如图所示，当点(x，y)在位置P时到原点的距离最近，在位置P′时到原点的距离最远，而PO＝OA－2＝2eq\r(2)－2，P′O＝OA＋2＝2eq\r(2)＋2，所以2eq\r(2)－2≤|c|≤2eq\r(2)＋2.1．如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，则eq\o(BE,\s\up6(→))＝()A．b－eq\f(1,2)a B．b＋eq\f(1,2)aC．a＋eq\f(1,2)b D．a－eq\f(1,2)b解析：选A.eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)a＝b－eq\f(1,2)a.2.(2015·宁夏质检)如图，设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，给出下列向量组：①eq\o(AD,\s\up6(→))与eq\o(AB,\s\up6(→))；②eq\o(DA,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))；③eq\o(CA,\s\up6(→))与eq\o(DC,\s\up6(→))；④eq\o(OD,\s\up6(→))与eq\o(OB,\s\up6(→)).其中可作为该平面内其他向量的基底的是()A．①② B．①③C．①④ D．③④解析：选B.eq\o(AD,\s\up6(→))与eq\o(AB,\s\up6(→))不共线，eq\o(CA,\s\up6(→))与eq\o(DC,\s\up6(→))不共线，而eq\o(DA,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))共线，eq\o(OD,\s\up6(→))与eq\o(OB,\s\up6(→))共线，由平面向量基底的概念知①③可作为该平面内其他向量的基底．3．已知向量a＝(eq\r(3)，1)，b＝(0，－2)．若实数k与向量c满足a＋2b＝kc，则c可以是()A．(eq\r(3)，－1) B．(－1，－eq\r(3))C．(－eq\r(3)，－1) D．(－1，eq\r(3))解析：选D.∵a＝(eq\r(3)，1)，b＝(0，－2)，∴a＋2b＝(eq\r(3)，－3)＝－eq\r(3)(－1，eq\r(3))，故向量c可以是(－1，eq\r(3))．4．已知点A(1，3)，B(4，－1)，则与向量eq\o(AB,\s\up6(→))同方向的单位向量为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－\f(4,5))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，－\f(3,5)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，\f(4,5))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)，\f(3,5)))解析：选A.eq\o(AB,\s\up6(→))＝(4－1，－1－3)＝(3，－4)，则|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(32＋（－4）2)＝5.与eq\o(AB,\s\up6(→))同方向的单位向量为eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),\a\vs4\al(|\o(AB,\s\up6(→))|))＝eq\f(1,5)(3，－4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－\f(4,5))).5.(2015·长春模拟)设向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝e1，eq\o(OB,\s\up6(→))＝e2，若e1与e2不共线，且点P在线段AB上，|eq\o(AP,\s\up6(→))|∶|eq\o(PB,\s\up6(→))|＝2，则eq\o(OP,\s\up6(→))＝()A.eq\f(1,3)e1－eq\f(2,3)e2B.eq\f(2,3)e1＋eq\f(1,3)e2C.eq\f(1,3)e1＋eq\f(2,3)e2D.eq\f(2,3)e1－eq\f(1,3)e2解析：选C.由题意知eq\o(AP,\s\up6(→))＝2eq\o(PB,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＝3eq\o(PB,\s\up6(→))，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)e1＋eq\f(2,3)e2.6．若三点A(1，－5)，B(a，－2)，C(－2，－1)共线，则实数a的值为________．解析：eq\o(AB,\s\up6(→))＝(a－1，3)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－3，4)，据题意eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(AC,\s\up6(→))，∴4(a－1)＝3×(－3)，即4a＝－5，∴a＝－eq\f(5,4).答案：－eq\f(5,4)7．在△ABC中，点P在BC上，且eq\o(BP,\s\up6(→))＝2eq\o(PC,\s\up6(→))，点Q是AC的中点，若eq\o(PA,\s\up6(→))＝(4，3)，eq\o(PQ,\s\up6(→))＝(1，5)，则eq\o(BC,\s\up6(→))＝________．解析：eq\o(AQ,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\o(PA,\s\up6(→))＝(－3，2)，∴eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AQ,\s\up6(→))＝(－6，4)．eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－2，7)，∴eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(PC,\s\up6(→))＝(－6，21)．答案：(－6，21)8．(2015·九江模拟)P＝{a|a＝(－1，1)＋m(1，2)，m∈R}，Q＝{b|b＝(1，－2)＋n(2，3)，n∈R}是两个向量集合，则P∩Q等于________．解析：P中，a＝(－1＋m，1＋2m)，Q中，b＝(1＋2n，－2＋3n)．则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1＋m＝1＋2n，,1＋2m＝－2＋3n.))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝－12，,n＝－7.))此时a＝b＝(－13，－23)．答案：{(－13，－23)}9．已知a＝(1，0)，b＝(2，1)．(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？(2)若eq\o(AB,\s\up6(→))＝2a＋3b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋mb且A、B、C三点共线，求m的值．解：(1)ka－b＝k(1，0)－(2，1)＝(k－2，－1)，a＋2b＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2)．∵ka－b与a＋2b共线，∴2(k－2)－(－1)×5＝0，即2k－4＋5＝0，得k＝－eq\f(1,2).(2)法一：∵A、B、C三点共线，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))，即2a＋3b＝λ(a＋mb)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2＝λ,3＝mλ))，解得m＝eq\f(3,2).法二：eq\o(AB,\s\up6(→))＝2a＋3b＝2(1，0)＋3(2，1)＝(8，3)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋mb＝(1，0)＋m(2，1)＝(2m＋1，m)．∵A、B、C三点共线，∴eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(BC,\s\up6(→)).∴8m－3(2m＋1)＝0，即2m－3＝0，∴m＝eq\f(3,2).10.(2015·山东莱芜模拟)如图，已知△OCB中，点C是以A为中点的点B的对称点，D是将eq\o(OB,\s\up6(→))分为2∶1两部分的一个内分点，DC和OA交于点E，设eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b.(1)用a和b表示向量eq\o(OC,\s\up6(→))、eq\o(DC,\s\up6(→))；(2)若eq\o(OE,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))，求实数λ的值．解：(1)由题意知，A是BC的中点，且eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up6(→)).由平行四边形法则，得eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→)).∴eq\o(OC,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝2a－b，eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→))＝(2a－b)－eq\f(2,3)b＝2a－eq\f(5,3)b.(2)如题图，eq\o(EC,\s\up6(→))∥eq\o(DC,\s\up6(→)).又∵eq\o(EC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OE,\s\up6(→))＝(2a－b)－λa＝(2－λ)a－b，eq\o(DC,\s\up6(→))＝2a－eq\f(5,3)b，∴eq\f(2－λ,2)＝eq\f(－1,－\f(5,3))，∴λ＝eq\f(4,5).第3讲平面向量的数量积及应用举例,[学生用书P82～P83])1．平面向量的数量积平面向量数量积的定义已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cos_θ叫做a和b的数量积(或内积)，记作a·b．即a·b＝|a||b|cos_θ，规定0·a＝0.2．向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a．(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c．3．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)性质几何表示坐标表示模|a|＝eq\r(a·a)|a|＝eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))夹角cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))·\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2)))a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤eq\r(（xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)）（xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2)）)[做一做]1．(2014·高考湖北卷)设向量a＝(3，3)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a－λb)，则实数λ＝________．解析：由题意得，(a＋λb)·(a－λb)＝0，即a2－λ2b2＝18－2λ2＝0，解得λ＝±3.答案：±32．(2014·高考江西卷)已知单位向量e1，e2的夹角为α，且cosα＝eq\f(1,3)，若向量a＝3e1－2e2，则|a|＝________．解析：|a|2＝a·a＝(3e1－2e2)·(3e1－2e2)＝9|e1|2－12e1·e2＋4|e2|2＝9－12×1×1×eq\f(1,3)＋4＝9.∴|a|＝3.答案：31．辨明三个易误点(1)①0与实数0的区别：0a＝0≠0，a＋(－a)＝0≠0，a·0eq\a\vs4\al(＝)0≠0；②0的方向是任意的，并非没有方向，0与任何向量平行，我们只定义了非零向量的垂直关系．(2)a·b＝0不能推出a＝0或b＝0，因为a·b＝0时，有可能a⊥b.(3)a·b＝a·c(a≠0)不能推出b＝c，即消去律不成立．2．有关向量夹角的两个结论(1)两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)；(2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立(因为夹角为π时不成立)．[做一做]3．已知向量a，b和实数λ，则下列选项中错误的是()A．|a|＝eq\r(a·a) B．|a·b|＝|a|·|b|C．λ(a·b)＝λa·b D．|a·b|≤|a|·|b|解析：选B.|a·b|＝|a||b||cosθ|，只有a与b共线时，才有|a·b|＝|a||b|，可知选项B是错误的．4．(2015·湖北武汉调研)已知向量a，b满足|a|＝3，|b|＝2eq\r(3)，且a⊥(a＋b)，则a与b的夹角为()A.eq\f(π,2) B.eq\f(2π,3)C.eq\f(3π,4) D.eq\f(5π,6)解析：选D.a⊥(a＋b)⇒a·(a＋b)＝a2＋a·b＝|a|2＋|a||b|cos〈a，b〉＝0，故cos〈a，b〉＝－eq\f(\r(3),2)，故所求夹角为eq\f(5π,6).,[学生用书P83～P85])eq\a\vs4\al(考点一)__平面向量数量积的运算______________(1)(2015·沧州模拟)已知平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若|a|＝2，|b|＝3，a·b＝－6，则eq\f(x1＋y1,x2＋y2)的值为()A.eq\f(2,3) B．－eq\f(2,3)C.eq\f(5,6) D．－eq\f(5,6)(2)(2014·高考江苏卷)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，eq\o(CP,\s\up6(→))＝3eq\o(PD,\s\up6(→))，eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝2，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))的值是________．[解析](1)由已知得，向量a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)反向，3a＋2b＝0，即3(x1，y1)＋2(x2，y2)＝(0，0)，得x1＝－eq\f(2,3)x2，y1＝－eq\f(2,3)y2，故eq\f(x1＋y1,x2＋y2)＝－eq\f(2,3).(2)由eq\o(CP,\s\up6(→))＝3eq\o(PD,\s\up6(→))，得eq\o(DP,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DP,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→)).因为eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝2，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up6(→))＋\f(1,4)\o(AB,\s\up6(→))))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up6(→))－\f(3,4)\o(AB,\s\up6(→))))＝2，即eq\o(AD,\s\up6(→))2－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(3,16)eq\o(AB,\s\up6(→))2＝2.又因为eq\o(AD,\s\up6(→))2＝25，eq\o(AB,\s\up6(→))2＝64，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝22.[答案](1)B(2)22[规律方法]向量数量积的两种运算方法：(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.运用两向量的数量积可解决长度、夹角、垂直等问题，解题时应灵活选择相应公式求解．1.(1)(2013·高考湖北卷)已知点A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，则向量eq\o(AB,\s\up6(→))在eq\o(CD,\s\up6(→))方向上的投影为()A.eq\f(3\r(2),2) B.eq\f(3\r(15),2)C．－eq\f(3\r(2),2) D．－eq\f(3\r(15),2)(2)(2015·贵阳市适应性考试)如图，在矩形ABCD中，AB＝eq\r(2)，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\r(2)，则eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BF,\s\up6(→))的值是()A.eq\r(2) B．2C．0 D．1(3)(2015·广东梅州模拟)已知向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(2，2)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(4，1)，在x轴上存在一点P使eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))有最小值，则P点的坐标是()A．(－3，0) B．(2，0)C．(3，0) D．(4，0)解析：(1)选A.由已知得eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，1)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(5，5)，因此eq\o(AB,\s\up6(→))在eq\o(CD,\s\up6(→))方向上的投影为eq\f(\o(AB,\s\up6(→))·\o(CD,\s\up6(→)),|\o(CD,\s\up6(→))|)＝eq\f(15,5\r(2))＝eq\f(3\r(2),2).(2)选A.∵eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(