高二数学：专题20 数学归纳法（解析版）

专题20数学归纳法一、单选题1．（2020·河南省高二月考（理））利用数学归纳法证明时，第一步应证明（）A． B．C． D．【答案】D【解析】的初始值应为1，而.故选D2．（2020·白山市第一中学高二开学考试（理））某个命题与自然数有关，若时命题成立，那么可推得当时该命题也成立，现已知时，该命题不成立，那么可以推得A．时该命题不成立 B．时该命题成立C．时该命题不成立 D．时该命题成立【答案】C【解析】假设时该命题成立，由题意可得时，该命题成立，而时，该命题不成立，所以时，该命题不成立.而时，该命题不成立，不能推得该命题是否成立．故选C．3．（2020·宁县第二中学高二期中（理））用数学归纳法证明不等式的过程中，由递推到时，不等式左边（）A．增加了一项B．增加了两项，C．增加了A中的一项，但又减少了另一项D．增加了B中的两项，但又减少了另一项【答案】D【解析】当时，左边，当时，左边，所以，由递推到时，不等式左边增加了，；减少了；故选：D4．（2020·梅河口市第五中学高二月考（理））用数学归纳法证：（时）第二步证明中从“到”左边增加的项数是（）A．项 B．项 C．项 D．项【答案】D【解析】当时，左边，易知分母为连续正整数，所以，共有项；当时，左边，共有项；所以从“到”左边增加的项数是项.故选D5．（2018·黑龙江省哈尔滨市第六中学校高二期中（理））用数学归纳法证明“”，在验证是否成立时，左边应该是()A． B． C． D．【答案】C【解析】用数学归纳法证明“”，在验证时，把代入，左边.故选：C.6．（2019·瓦房店市实验高级中学高二月考（理））用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（）A． B．C． D．【答案】C【解析】当n=k时，等式左端=1+2+…+k2，当n=k+1时，等式左端=1+2+…+k2+k2+1+k2+2+…+（k+1）2，增加了项（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+…+（k+1）2．故选：C．7.（2020·江苏省天一中学高二期中）对于不等式<n+1(n∈N*),某同学应用数学归纳法的证明过程如下:(1)当n=1时,<1+1,不等式成立.(2)假设当n=k(k∈N*)时,不等式成立,即<k+1.那么当n=k+1时,=(k+1)+1,所以当n=k+1时,不等式也成立.根据(1)和(2),可知对于任何n∈N*,不等式均成立.则上述证法（）A．过程全部正确 B．n=1验得不正确C．归纳假设不正确 D．从n=k到n=k+1的证明过程不正确【答案】D【解析】题目中当n=k+1时不等式的证明没有用到n=k时的不等式，正确的证明过程如下：在（2）中假设时有成立，即成立，即时成立，故选D．8．（2020·郏县第一高级中学高二开学考试（理））用数学归纳法证明不等式的过程中，由递推到时不等式左边（）A．增加了 B．增加了C．增加了，但减少了 D．以上各种情况均不对【答案】C【解析】当时，，当时，，故增加了，但减少了.故选：.9．（2020·甘肃省兰州一中高二月考（理））用数学归纳法证明时，由“”等式两边需同乘一个代数式，它是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意有，假设时，成立，则当时，左边右边∴由数学归纳法可知上式成立∴显然等式两边需同乘故选：D.10．（2020·巴楚县第一中学高二期中（理））在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步验证n等于()A．1B．2C．3D．0【答案】C【解析】因为多边形的边数最少是，即三角形，在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为条时，第一步验证等于，故选C.11．（2020·河南省高二学业考试（理））利用数学归纳法证明“，”时，从””变到“”时，左边应增加的因式是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意“”时，左边为，“”时，左边为，从而可得增加两项为，且减少项为，故选D.12．（2018·浙江省诸暨中学高二月考）已知,存在自然数,使得对任意,都能使整除,则最大的的值为()A．30 B．9 C．36 D．6【答案】C【解析】由，得，，，，由此猜想.下面用数学归纳法证明：(1)当时，显然成立。(2)假设时，能被36整除，即能被36整除；当时,是2的倍数，能被36整除，当时，也能被36整除.由（1）（2）可知对一切正整数都有能被36整除，的最大值为36.故选：C.二、填空题13．（2019·邳州市第四中学高二期中（理））用数学归纳法证明且，第一步要证的不等式是_________．【答案】【解析】式子的左边应是分母从1，依次增加1，直到，所以答案为．14．（2016·上海市金山中学高一期末）用数学归纳法证明“”，在验证成立时，等号左边的式子是______.【答案】【解析】因为左边的式子是从开始，结束，且指数依次增加1所以，左边的式子为，故答案为.15．（2019·江苏省连云港市锦屏高级中学高二期中（理））利用数学归纳法证明“”时从“”变到“”时，左边应增加的项是______________.【答案】【解析】当时，等式为，当时，等式为，因此，从“”变到“”时，左边应增加的项是.故答案为：.16．（2019·江苏省高二期中（理））用数学归纳法证明“当时，能被31整除”时，从到时需添加的项是______.【答案】【解析】根据数学归纳法，当时：原式为：；当时，原式为.故需添加的项是：.故答案为：.三、解答题17．（2020·陕西省西安一中高二期中（理））用数学归纳法证明：．【答案】详见解析【解析】证明（1）当时，左边，右边，命题成立．（2）假设时，命题成立，即．则当时，．所以当时，命题成立．综合（1）（2）可知，原命题成立．18．（2020·武威第六中学高二期中（理））已知数列的前项和为，且满足，（1）求，，，并猜想数列的通项公式；（2）用数学归纳法证明你的猜想．【答案】（1），，，；（2）见解析【解析】（1），当时，，且，于是，从而可以得到，，猜想通项公式；（2）下面用数学归纳法证明：．①当时，满足通项公式；②假设当时，命题成立，即，由（1）知，，即证当时命题成立.由①②可证成立．19．（2020·新疆维吾尔自治区高二期中（理））已知数列，，，…，，…，（1）计算；（2）由以上结果推测计算的公式，并用数学归纳法给出证明.【答案】（1）；（2），证明见详解【解析】（1），，；（2）由（1）猜想，下面用数学归纳法加以证明：检验初始值时等式成立，假设时命题成立，证明当时，命题也成立.①时，，成立；②假设时，有成立，则当时，，时，猜想也成立，故由①，②可知，猜想对都成立.20．（2020·湖北省高二月考）已知数列满足，．（1）计算，，的值，并猜想数列通项公式；（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想．【答案】（1），，，猜想：．（2）见解析【解析】（1）因为数列满足，，所以当时，，得，当时，，，得，当时，，，得由此猜想，（2）用数学归纳法证明如下：①当时，，猜想成立；②假设当时猜想成立，即；则当时，得所以当时猜想成立根据①、②可知猜想正确.21．（2020·白山市第一中学高二开学考试（理））已知数列，首项，前项和足.（1）求出，并猜想的表达式；（2）用数学归纳法证明你的猜想.【答案】（1），，，；（2）证明见解析【解析】（1）根据题意，由，，得：，由，得：，由，得：，由，得：，猜想的表达式为：；综上所述，答案为：，，，；；（2）证明：1.当时，，∵，∴猜想正确；2.假设当时，猜想正确，即；那当时，由已知得：将归纳假设代入上式，得：∴，这就是说，当时，猜想正确；综上所述1，2知：对一切，都有成立.22．（2018·浙江省高三月考）已知是等差数列,是等比数列,．设是数列的前项和．(1)求；(2)试用数学归纳法证明：．【答案】(1)；(2)见解析