非圆齿轮的结构设计

2椭圆齿轮的结构设计椭圆的基本数学理论椭圆定义椭圆定义：平面到一定点距离与到一定直线距离之比为一个常数e(0<e<1)的动点M的轨迹称为椭圆。的离心率。椭圆的方程如图2.1所示，以原点为圆心，分别以为半径作两个圆，BOA与小圆的交点，过点A，垂足为BM，求当半径OA绕O旋转时点M的轨迹的参数方程。图2.1椭圆形成示意图MxA为参数。那么𝜑=𝜑𝜑=𝜑𝜑𝜑𝜑，𝜑=𝜑𝜑=𝜑𝜑𝜑𝜑（2.1）𝜑=𝜑cos𝜑（2.1）∴{𝜑=𝜑sin𝜑以上（2.1）式即为椭圆的参数方程，其中𝜑称为“离心角”对（1）式进行消参𝜑=cos𝜑

𝜑2{𝜑 ⟹𝜑=sin𝜑𝜑以上（2.2）式即为椭圆的标准方程。齿轮的基本理论齿轮传动

+𝜑2

𝜑2

=1 （2.2）命长及传动平稳等特点。齿轮传动特点：圆柱齿轮的传动效率可达991%，也有很大的经济意义。机构紧凑在同样的使用条件下，齿轮传动所需空间尺寸一般较小。工作十分可靠，寿命可长达一、二十年，这也是其他机械传动所不能比拟的。圆柱齿轮结构圆柱齿轮可分为直齿圆柱齿轮、斜齿圆柱齿轮、人字齿轮、曲线齿圆柱齿轮。如“人”轮简称曲线齿轮，其轮齿沿轴向弯曲成弧面。2.2图2.2齿轮各结构参数z称为齿槽；过所有齿顶端的园称为齿顶圆，其半径和直径分别用和表示；过所有齿槽底边的园称为齿根圆，其半径和直径分别用𝜑𝜑和𝜑𝜑表示。在任意半径𝜑𝜑的圆周上，齿槽的弧线长和轮齿的弧线长分别称为该圆上的齿槽宽和齿厚，分别用𝜑𝜑和𝜑𝜑表示。沿该圆上相邻两齿的同侧齿廓见到弧线长称为该圆上的齿距，用𝜑𝜑表示，则有=+（2.3）由于该圆的周长为𝜑𝜑∙𝜑，同时又等于𝜑∙𝜑𝜑，所以得𝜑𝜑=

∙𝜑=𝜑 ∙𝜑 （2.4）𝜑𝜑𝜑式𝜑

=𝜑𝜑称为该圆上的模数。由上面的式子可知，一个齿轮的不同圆周上的齿距是不同的，所以模数也是不同的。由于式子（2.4）中包含无理数mm。在齿轮上，这个模数等于选rdep（3（）显然有𝜑=pπ

（2.5）𝜑=s+𝜑=𝜑∙π （2.6）𝜑=𝜑∙𝜑=𝜑∙z （2.7）πα表示，且有b𝜑 =𝜑∙cosα （2.8）b式表明，当齿轮的模数mz一经确定，分度圆的大小也就确的大小可以不同，基圆的大小也随之不同，因此分度圆相同的齿力角为20°。此外，为了提高齿轮的综合强度而需要增大压力角时，推荐采用25°20°15°14.5°有一个大小确定的分度圆；而节圆则是表示一对齿轮啮合特性的圆。对于单个齿（可分性）𝜑表示；介于分度圆与齿根圆之间的部分称为齿根，其𝜑用h表示，故有:= a+ f （2.9）标准齿轮具有以下三个特征：m取标准值。具有标准的齿顶高和齿根高。其中标准齿顶高和齿根高表示为：aa= ∗a

∙𝜑 （2.10）af=( ∗+𝜑∗)∙𝜑 （2.11）a𝜑𝜑上式中， ∗和𝜑∗分别称为齿顶高系数和顶隙系数。我国规定 ∗和𝜑∗的标𝜑𝜑准值为:

a正常齿制： a

=1

=0.25a短齿制： ∗a

=0.8

=0.3𝜑显然，当 ∗和𝜑∗分别取标准值时，按照式（2.10）和（2.11）计算得到的齿顶高和齿根高为标准齿顶高和标准齿根高。𝜑（3）分度圆上齿厚等于齿宽，即𝜑=𝜑=𝜑=𝜑∙𝜑2 2只有同时具备上述三个特征的齿轮才是标准齿轮，否则为非标齿轮。但是需要强调的是对于任何齿轮，式（2.5）～（2.11）齿轮的齿顶圆直径和齿根圆直径分别为：aa{ 𝜑 =𝜑+2 a=+2 ∗)aa

（2.12）af𝜑=𝜑−2 f=−2 ∗−2𝜑∗)af综上所述，标准齿轮的几何参数决定于模数m、压力角𝜑、齿数z、齿顶高𝜑系数 ∗和齿根高系数𝜑∗，故这五个参数为标准齿轮的基本参数。𝜑1、圆的渐开线的定义2.3n-nKAKn-nAK的展角。2、渐开线的性质

图2.3渐开线形成原理图因为发生线在基圆上作纯滚动，所以发生线在基圆上滚过的一段长度等于基圆上被滚过的一段弧长，即。等于基圆上被滚过的一段弧长，即。NKNK基圆越小，渐开线越弯曲；基圆越大，渐开线越平直。3、渐开线方程根据渐开线的形成原理可以得出它的方程式。2.3A为渐开线在基圆上的起始点，K为渐开线上任意一点，其向径用KNKOKmmNKmm。根据渐开线的性质，由ΔOKN中的关系可得=𝜑 (2.13)=k cos又因为— ⌒ 𝜑— tan𝜑𝜑=𝜑𝜑=𝜑𝜑— 𝜑𝜑即

𝜑(𝜑𝜑+𝜑𝜑)=𝜑𝜑+𝜑𝜑𝜑𝜑𝜑𝜑𝜑=tan𝜑𝜑−𝜑𝜑上式表明，展角𝜑𝜑随压力角𝜑𝜑变化而变化，故𝜑𝜑又称为角𝜑𝜑的渐开线函数，工程上用inv𝜑𝜑表示𝜑𝜑，即−(2.14)为了方便计算，工程中已将不同压力角的渐开线函数invαk计算出来列成表格。综上所述，联立（3（4）两式即得渐开线的极坐标参数方程式为𝜑 ={ k𝜑

𝜑b（2.15）cos𝜑𝜑（2.15）椭圆齿轮基本理论1、基本概念

𝜑=inv𝜑𝜑=tan𝜑𝜑−𝜑𝜑节曲线是一对互相啮合的齿轮在其啮合过程中实现无滑动地滚动的共扼曲线。知道一个齿轮的节曲线后，便可根据共轭关系，求出另外一个共扼齿轮的节曲线齿轮的齿顶和齿根轮廓线是其节曲线的等距线（在法线方向上等距。在切的关系叫做位置函数。用下式表示=（2.16）其中下脚标1和2分别对应于主动轮和从动轮。传动比一主动轮回转角的函数形式确定的齿轮瞬时角速度比为==(𝜑𝜑2)⁄(𝜑𝜑1)=（2.17）𝜑𝜑 𝜑𝜑无论其运动规律在时间上怎样改变，都不会影响位置函数和传动比函数的特性。2、节曲线的方程式节曲线的计算可以分为两种情况：（1）按给定的传动比函数=计算齿轮的节曲线。设齿轮副的中（411，瞬时角速度为12为，瞬时角速度为。在起始位置==。又设要求齿轮副传递的转角函数关系为=（2.18）则齿轮副的传动比函数𝜑12为=ω1=(d𝜑1)⁄(d𝜑2)=（2.19）ω2 dt dt𝜑(𝜑1

)=1⁄𝜑′(𝜑1

) （2.20）图2.4外啮合非圆齿轮副可以证明，两齿轮在任一瞬时，总有一个相对运动速度等于零的点P，称之为瞬时传动节点(简称瞬心)。它位于联心线O1O2上，且满足条件𝜑1∙𝜑1𝜑=𝜑2∙𝜑2𝜑分别用𝜑1、𝜑2表示线段𝜑1𝜑、𝜑2𝜑，则瞬时传动比又可以表示为：𝜑12=𝜑1=𝜑2=

（2.21）

𝜑1当瞬时传动比P的位置及1、2回转平面上的轨迹，称为两齿轮的瞬心线，也就是齿轮的节曲线。由式（2.21）可得主动轮1的节曲线方程为𝜑1(𝜑1)=得到从动轮2的节曲线方程为

𝜑 1+𝜑12

𝜑1+𝜑(𝜑1)

（2.22）𝜑2=𝜑−𝜑1(𝜑1)=

𝜑𝜑12} （2.23）𝜑2=

0

1𝜑12

=∫𝜑10

1𝜑(𝜑1)

𝜑𝜑1上面是以极坐标形式表示的外啮合非圆齿轮副节曲线方程。按此式计算节曲线时，两极角的计量方向与相应的回转角速度方向相反(见图2.4)。如果给定的条件是齿轮1的节曲线方程：𝜑1=𝜑1(𝜑1)则传动比函数为𝜑12=𝜑(𝜑1)=从动轮2的节曲线方程为

（2.24）𝜑1(𝜑1)𝜑2=𝜑−𝜑1(𝜑1)21𝜑 =210

1𝜑12

𝜑𝜑 =101

𝜑1(𝜑1)

𝜑𝜑} （2.25）2（5，则回转角的方向相同。图2.5啮合非圆齿轮副用同样的方法可以求得主、从动轮的节曲线方程𝜑1=

𝜑 𝜑12−1

𝜑𝜑(𝜑1)−1

（2.26）𝜑2=𝜑+𝜑1(𝜑1)=

𝜑𝜑12} （2.27）2𝜑 =20

1𝜑12

𝜑𝜑 =𝜑1(𝜑1)10 1

𝜑𝜑1(2)按要求再现的函数计算节曲线设要求非圆齿轮传动再现某个函数 𝜑=𝜑(𝜑)，x在闭[x1，x2]连续可导。可令主动轮1的转角𝜑1与自变量x成正比，从动轮2的转角与𝜑(𝜑)成正比，即写成𝜑 =𝜑1(𝜑−𝜑1) } （2.28）则传动比为

2=𝜑2[𝜑(𝜑)−𝜑(𝜑1)]𝜑 =𝜑𝜑2

（2.29）𝜑2𝜑′(𝜑)上面两式中的、是函数x的一阶导数。由式2、式（3、式（8）及式（9，可以得到外啮合主动、从动轮1和2的节曲线方程式分别为𝜑1=𝜑1(𝜑−𝜑1)𝜑1=

} （2.30）𝜑1+𝜑2𝜑′(𝜑)=−=𝜑−=

} （2.31）𝜑1+𝜑2𝜑′(𝜑)1Pt11的正方向夹角用𝜑1表示(图2.4)，则由节曲线方程𝜑1=𝜑1(𝜑1)可知tan𝜑1=

（2.32）𝜑𝜑1⁄𝜑𝜑1对于传递传动比函数2=(1（2）可得𝜑′tan𝜑1=−𝜑12+1𝜑′12对于再现函数𝜑=𝜑(𝜑)的非圆齿轮副，由式（2.30）可得

（2.33）tan𝜑1

=𝜑′′(𝜑)

（2.34）2的节曲线在P22正方向夹角用𝜑2表示，则由节曲线方程𝜑2=𝜑2(𝜑2)可知tan𝜑2=

（2.35）𝜑𝜑2⁄𝜑𝜑2由式（2.23）和式（2.31）均可得到tan𝜑1=−tan𝜑2，即𝜑1+𝜑2=180°这也证明了两齿轮的曲线在P动过程中是作纯滚动的，在同一时间，两节曲线切点滚过的弧长相等。椭圆齿轮副椭圆齿轮是非圆齿轮中最常用的一种。当用相同的椭圆齿轮传动时，随着椭圆偏心率的不同，可得到不同的传动比变化曲线。以完成各种机构的变速传动，或作为速度和加速度调节之用。rr1r21 2O1eO2122a图2.6椭圆齿轮副2.6所示，齿轮121的基础圆的半径为、向径、变形距为e(也可以称为偏心量)，非圆齿轮2的向径为r212过𝜑2角。椭圆齿轮的节曲线方程式为：式中向径的极角；

𝜑1

= 1+𝜑cos

（2.36）e——椭圆的对称中心到焦点的距离；b——椭圆的短半轴𝜑1+𝜑2=2𝜑即：𝜑2

=a(1+2ecos 1+𝜑cos 1

（2.37）椭圆齿轮传动比函数为：

12

=2𝜑cos1−𝜑2

（2.38）图2.7传动角变化曲线由上式可知：当=时，传动比有最大值，𝜑21max

1+𝜑，当1−𝜑𝜑1=180°时，传动比有最小值，𝜑2min=1−𝜑，传动比随主动轮传动角θ1化规律如图2.7所示。2max122max

与最小角速度𝜑度2min

之比为:𝜑≤1/3由此可见，椭圆齿轮的离心率e越大，τ值也越大，则传动比的变化也剧烈。在一般的设计中，常取 τ≤1/3，可使运动平滑无突跳。若主动齿轮以等角速度回转且为已知时则很容易求得从动轮的瞬时角速度𝜑𝜑2

=

1−𝜑2

（2.39）𝜑𝜑

11+2𝜑𝜑𝜑𝜑𝜑1+𝜑2当𝜑1=0时，从动轮的瞬时角速度最小𝜑𝜑2(min)=𝜑1𝜑−𝜑

（2.40）𝜑𝜑 当=时，从动齿轮的瞬时角速度最大(max)=

（2.41）𝜑𝜑 最大角速度和最小角速度交替出现，设K为最大和最小角速度之比，则：𝜑=(𝜑+𝜑)2𝜑−𝜑

（2.42）通常取k≤5,就可保证构件运动平滑而无“跳动”。设计椭圆齿轮时，通常根据机器的结构特点选取中心距A＝2a,在满足某一速比K时，则短半轴可由下式求出：𝜑=

（2.43）在大多数情况下，K值不超过4。这样的椭圆齿轮节曲线形状不会太扁平，其周长近似于(𝜑+。因此椭圆齿轮的齿数等于直径为(a的圆齿轮齿数：𝜑=（2.44）𝜑式中m——齿轮的模数数倍齿距，即𝜑=。椭圆齿轮的结构设计结构设计由包装机原技术参数如下，每次包装机刀辊需切削的透明纸长度为169.3mm，包装速度为800包/min，即刀辊转速𝜑1=800𝜑/𝜑𝜑𝜑则透明纸输送速度为𝜑输送产品正常工作时要求𝜑裁切

=169.3×800=135440𝜑𝜑/𝜑𝜑𝜑≥𝜑输送原机型采用圆柱齿轮，则1𝜑 =𝜑𝜑𝜑 ≥135440 则𝜑≥135440=53.89mm1裁切 被安装在很小的斜面，可按最高速度计算𝜑1=800mm/min1−𝜑𝜑2=imax×𝜑1=1+𝜑×𝜑1−𝜑𝜑=𝜑𝜑椭圆齿轮传动的最大和最小角速度之比为K，且)𝜑=(𝜑+𝜑2)𝜑−𝜑若选取不同的K值来分析他对刀辊上的切刀旋转直径的影响，即如表2.1所示[4]。表2.1K值分析表KKeD（mm）20.171573≥38.106130.267949≥31.113440.333333≥26.945050.381966≥24.100360.420204≥22.0005实践证明，当𝜑≤时，椭圆齿轮节曲线形状不太扁平，可以保证机构运动平滑而无“跳动”，使传动平稳，故在大多数情况下，取𝜑≤度、刚度的情况下，应尽可能减小刀辊直径,这样可大幅减小转动惯量，减小机轮的优越性,故选取𝜑=。由于原结构上圆齿轮副的中心距为 56mm，所以椭圆齿轮的长轴𝜑=28mm根据齿轮强度需要，我们选取模数m=2。在设计椭圆齿轮时，要准确地计算椭圆节曲线的全长L，使其相等或成整数倍齿距，即4L=4a∫π√1−ε2sin240

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