三峡大学线性代数试卷及答案

2012三峡大学线性代数期末试卷考试说明：本课程为闭卷考试，考试时间100分钟。满分为：100分题号 一 二 三 四 五 六 总得分一．填空题（每题3分，共15分）1 1 1 1 R3的基为

0,

1,

1，则2在基,

,}下的坐1 0

0

1 3

1 2 3 标为 。已知方阵A，且满足方程A2A2I0，则A的逆矩阵A1 。设A为3阶实对称矩,向量 ,5T, k,2kT分别对应于特征值21 2和3的特征向,则k 。1 2 34．若矩阵A2 3 5的秩r(A)2，则t 。 3 t 6 5．设B为3阶矩阵，且A2,B3，则2AB1 。二．单项选择题（每题3分，共15分）向量组,1 2

, ,m

(m2)线性相关的充要条件( 。1,2,,m中至少有两个向量成正比；1,2,,m中至少有一个零向量；1,2,,m中至少有一个向量可由其余的向量线性表示；1,2,,m中任一部分组线性相关。已知n阶行列式A0，则下列表述正确的是（ 。A主对角线上的元素全为零；A的行向量组线性相关；AX0仅有零解；A*的秩为n。设B,C为同阶方阵，下列结论成立的有（ 。(A）ABBA； （B）(AB)1A1B1；（C）若ACBC，则BC； （D）(AB)TBT。已知n元非齐次线性方程AXb，AX0为方程AXb对应的齐次线性方程组，则有（ 。AX0AXb有惟一解；AXb有惟一解的充要条件是rAn；AXbAX0有无穷多解；AXb有两个不同的解，则AX0 的基础解系中含有两个以上向量。

k1 22 k1

0的充要条件是（ 。011101110（）k1；B）k3C）k1或k3（）k011101110求n阶行列式D 的值。 设矩阵B满足方程2 5B1 1 1 3 0 3．设A1 2 3,B3 0 1,求AB，3A2B及ABT。2 3 1 2 1 1 3 2 44．求矩阵A2 0 2的特征值与特征向量。

4 2 3T,

,

(1,3,2,1)T，1 2 3 4 (2,6,4,5（10分）f(x

,x)x22x2x22xx

，利用正交变换法将二次型f化为1 2 3 1 2 3 13标准型，并写出正交矩阵（10）x2xx2x 01 2 3 4六．设线性方程组2xx

x

1 试确定a的值，使方程组有解，并求出其31 2 3 4xx 2xx a1 2 3 4（10分）8分）设向量组,1 2

, ,n

(n3)中，前n1个向量线性相关，后n1个向量线性无关，试证明： 可表示为, , 的线性组合；1 2 n1（2）n

不能表示为1

,,

n1

的线性组合。授课教师命题教师或命题负责人签字

《线性代数》命题组年月日

院系负责人签字 年月日2007-2008学年第2学期《线性代数》A卷答案一．填空题（每题3分，共15分）1 16；A1 AI3k34t3．2AB1 。2 3二．选择题（每题3分，共15分）1．C; 2．B; ; 4．C; 5．D。三．计算下列各题（解法不唯一，答案仅供参考，下同8 31.(1)n1(n1)。2．B3 1。 3．AB2 2 43A2B9 6 7, ABT0 1。4 4 2 2 7 1 7 8 4IA1)2(8)1 2

3

81所对应的特征向量T,( 8所对应的特征向量T。3A,1 2

,,,3 4

)，对其进行初等行变换化为阶梯形矩阵，A00

0 1 0 121 1 0 20 0 1 100 0 0 0极大无关组为,1 2

,}，且4

，1 2

1

。4 1 0 1 五．解：二次型对应的矩阵A0 2 0，特征多项式为IA(2)2， 1 0 1 1 2

2,3

0.1

2所对应的特征向量有(0,1,0)T

及。30所对应的特征向量。正交单位化后得YX,

1 1( ,0, )T,

1 1( ,0, )T，1 1 20

2 2 3 2 21 1因此，Q(Y,Y

2,Y)1 0

220f2y22y2。1 2 3 1 1 1 2220 22 1 2 1 2 0 六．解：(A,b)0 5 1

5 1 ，因此，当a1时，方程组有解。 0 0 0 0 a 2

T 3 1 T一般解为 , , 0, 0

, , 1, 0

0, 1, 0, T。5

15 5 21由题设知2

,,

线性无关又, 1

线性相关所以 可1表示为,