一错再错的抽象函数

朱良满，男，1972年5月生，1993年8月参加工作，中学高级教师，数学教研组长，多年从事高三教学工作。通讯地址：湖南省溆浦县第一中学邮编：419300电话0745—3795738适合高中一错再错的抽象函数湖南省溆浦县第一中学（419300）朱良满问题1定义在上的函数是偶函数，且，当时，，求的值。《中学生数学》最新年1月（上）《一道错题的发现》指出问题1是一道错题。该文指出：当，但同时，。题目条件矛盾。该文没有指出错误的根源（即使把修改为也无法消除题目的错误）。《中学生数学》最新年2月（上）《抽象函数错题分析两例》探讨了该题的错误根源，幷予修正，其要点有二：一是函数的图象关于对称，而问题1中原来的条件“当时，”不符合上述对称性；二是将问题1修改为问题2：定义在上的函数是偶函数，且，当时，，求的值。但问题2并没有消除错误，反而带来了新的错误和疑问。疑问1按问题2的设计，函数的图象关于对称，在上是偶函数，且周期为，可画出草图如下：00由草图可知与矛盾。疑问2由问题2中的条件可知，，同时，当时，，即。问题2矛盾重重。那么，问题2为什么没有消除错误，反而一错再错呢原来，解决问题2的一个结论：“函数满足，则其图象关于对称”是错误的，正确的是：“函数的图象关于点中心对称”，此时，函数的草图如下：00由草图可知与相符合。但与的矛盾仍然没有解决，其实，这一矛盾根本不可能得到解决，因为不符合函数的定义：设、是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称：为从集合到集合的一个函数。可见，问题1、2中的不是函数，它们错误地“被函数”化了。在这一错误的前提下进行运算，自然也就矛盾重重。弄清了错误的根源，问题2可修改为：定义在上的函数是偶函数，且，当时，，求的值。再看下列一组问题：问题3已知定义在上的函数，其中，且，，求的值。分析：令，则。问题4已知定义在上的函数，其中，且，，求的值。分析：问题4错误。令，则与矛盾。问题5已知定义在上的偶函数，其中，且满足，，求的值。分析：问题5错误。令，则。令，，则。由为偶函数知，所以，即或。因此，满足条件的函数不存在。问题6若函数同时满足：对于任意的实数，，均有；；时，恒成立。求实数的取值范围。分析：问题6错误。令，，则；令，则。因此，满足条件的函数不存在。从以上问题的解决中，我们可以得到命制有关抽象函数习题的几点启发：第一，给出有关抽象函数的关系式，如，等时，应先检验关系式是否会出现“一个自变量，多个函数值”的情形，若是，则该关系式不能作为抽象函数的载体进行运算，同时，该关系式也是产生许多问题的根源，如问题6。第二，给出了抽象函数的关系式，如，能由关系式赋值计算得到的，一般无需定义该值，更不能定义错误的函数值，如问题4。第三，给出了抽象函数的关系式，如后，在添加一些条件，如部分区间的函数表达式、单调性、奇偶性、周期性等时应十分谨慎，防止又出现“一个自变量，多个函数值”的情形，如问题5。笔者最近翻阅最新年各省市的高考试卷，看到重庆市理科第15题及解析如下：（15）已知函数满足：，，则=_____________解析：取得法一：通过计算，猜测周期为6，再运用周期性进行运算。法二：取,有,同理。联立得，所以T=6，故==。笔者认为，当时，，故或，这是产生矛盾的焦点，题中应添加这一条件，才能消除矛盾，进而引导学生正确