2020高中数学 第章 概率 2 2. 互斥事件学案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE18-学必求其心得，业必贵于专精2.3互斥事件学习目标核心素养1.了解互斥事件的概念及概率加法公式．2．理解互斥事件和对立事件的区别和联系．3．掌握对立事件的概率及概率的计算公式．(难点)4．能利用互斥事件、对立事件的概率计算公式解决复杂的古典概率的计算问题．(难点）1。通过学习互斥事件的概念及互斥事件和对立事件的区别与联系，培养数学抽象素养．2．通过运用互斥事件，对立事件的概率计算公式解决复杂的古典概率的计算问题，提升数学运算素养。一、互斥事件1．互斥事件的定义在一个随机试验中，我们把一次试验下不能同时发生的两个事件A与B称作互斥事件．2．事件A与B至少有一个发生给定事件A，B，我们规定A＋B为一个事件，事件A＋B发生是指事件A和事件B至少有一个发生．根据上述定义推广可得：事件A1＋A2＋…＋An表示在一次随机试验中，事件A1,事件A2,…，事件An中至少有一个发生．3．互斥事件的概率加法公式一般地，如果事件A,B互斥，那么事件A＋B发生（即A,B中至少有一个发生）的概率等于事件A,B分别发生的概率的和，即P(A＋B)＝P(A）＋P（B）．这个公式称为互斥事件的概率加法公式．如果事件A1，A2,…，An彼此互斥，那么事件A1＋A2＋…＋An发生(即A1，A2，…,An中至少有一个发生）的概率,等于这n个事件分别发生的概率的和，即P（A1＋A2＋…＋A_n)＝P（A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．二、对立事件及其概率的求法公式1．定义在每一次试验中,如果两个事件A与B不能同时发生，并且一定有一个发生,那么事件A与B称作是对立事件,事件A的对立事件记为eq\x\to(A）。2．性质P(A)＋P（eq\x\to（A））＝1，即P(A）＝1－P（eq\x\to（A)）．思考：(1）在掷骰子的试验中，事件A＝｛出现的点数为1}，事件B＝｛出现的点数为奇数}，事件A与事件B应有怎样的关系？（2)判断两个事件是对立事件的条件是什么?［提示］（1）因为1为奇数，所以A⊆B。(2）①看两个事件是不是互斥事件；②看两个事件是否必有一个发生．若满足这两个条件，则是对立事件;否则不是．1．对同一事件来说，若事件A是必然事件，事件B是不可能事件,则事件A与事件B的关系是(）A．互斥不对立 B．对立不互斥C．互斥且对立 D．不互斥、不对立C［必然事件与不可能事件不可能同时发生，但必有一个发生，故事件A与事件B的关系是互斥且对立．]2．从一批产品中取出三件产品,设A＝｛三件产品全不是次品}，B＝{三件产品全是次品},C＝{三件产品有次品，但不全是次品}，则下列结论哪个是正确的（）A．A与C互斥 B．B与C互斥C．任何两个都互斥 D．任何两个都不互斥C［由题意可知，事件A,B，C两两不可能同时发生，因此两两互斥．]3．从1,2，3，…,9中任取两数，其中:①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，是对立事件的是（）A．① B．②④C．③ D．①③C［从1~9中任取两个数，有以下三种情况．（1)两个均为奇数,(2）两个均为偶数，(3)一个奇数和一个偶数，故③为对立事件．］4．从几个数中任取实数x,若x∈（－∞，－1]的概率是0.3，x是负数的概率是0。5，则x∈（－1，0）的概率是________．0．2[设“x∈(－∞，－1]”为事件A，“x是负数”为事件B,“x∈(－1，0）”为事件C,由题意知，A，C为互斥事件，B＝A＋C，∴P(B）＝P(A)＋P(C),P(C）＝P（B)－P(A)＝0。5－0。3＝0.2.］互斥事件与对立事件的判断【例1】某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛．判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是,再判断它们是不是对立事件．(1)恰有1名男生与恰有2名男生；(2）至少1名男生与全是男生；(3)至少1名男生与全是女生．[解]从3名男生和2名女生中任选2名同学有3类结果：两男或两女或一男一女．（1)因为恰有1名男生与恰有2名男生不可能同时发生,所以它们是互斥事件但不是对立事件；(2)当恰有2名男生时，至少1名男生与全是男生同时发生,所以它们不是互斥事件．(3）因为至少1名男生与全是女生不可能同时发生，所以它们是互斥事件，由于它们必有一个发生,所以它们是对立事件．1．判断两个事件是否为互斥事件,主要看它们能否同时发生．若能同时发生，则这两个事件不是互斥事件；若不能同时发生，则这两个事件是互斥事件．2．判断两个事件是否为对立事件，主要看是否同时满足两个条件：一是不能同时发生;二是必有一个发生．这两个条件同时成立,那么这两个事件是对立事件，只要有一个条件不成立，那么这两个事件就不是对立事件．1．（1)抛掷一枚骰子，记事件A为“落地时向上的数是奇数”，事件B为“落地时向上的数是偶数"，事件C为“落地时向上的数是2的倍数”，事件D为“落地时向上的数是2或4”,则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是（）A．A与B B．B与CC．A与D D．B与D（2）一个均匀正方体玩具的各个面上分别标有数字1，2,3,4,5，6。将这个玩具向上抛掷1次，设事件A表示向上的一面出现奇数点，事件B表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C表示向上的一面出现的点数不小于4，则下列结论正确的序号为________．①A与B是互斥而非对立事件；②A与B是对立事件；③B与C是互斥而非对立事件；④B与C是对立事件．(3）从装有2个红球和2个白球(球除颜色外其他均相同）的口袋中任取2个球，观察红球个数和白球个数，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．①至少有1个白球，都是白球;②至少有1个白球，至少有一个红球;③至少有1个白球，都是红球．［解](1）C(2）④［（1）A与D互斥，但不对立．（2）一个均匀正方体玩具的各个面上分别标有数字1，2,3,4，5,6.将这个玩具向上抛掷1次,所得到的基本事件有6种：得到的点数为1点、得到的点数为2点、得到的点数为3点、得到的点数为4点、得到的点数为5点、得到的点数为6点．事件A包含的结果有得到的点数为1点、得到的点数为3点、得到的点数为5点,事件B包含的结果有得到的点数为1点、得到的点数为2点、得到的点数为3点，事件C包含的结果有得到的点数为4点、得到的点数为5点、得到的点数为6点，所以B与C是对立事件．故填④.](3)解：①不是互斥事件．因为“至少有1个白球”即“1个白球1个红球或两个白球"和“都是白球”可以同时发生，所以不是互斥事件．②不是互斥事件．因为“至少有1个白球”即“1个白球1个红球或2个白球”，“至少有1个红球”即“1个红球1个白球或2个红球"，两个事件可以同时发生，故不是互斥事件．③是互斥事件也是对立事件．因为“至少有1个白球”和“都是红球"不可能同时发生，且必有一个发生，所以是互斥事件也是对立事件．互斥事件的概率【例2】袋中有12个相同的小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是eq\f(1,3），得到黑球或黄球的概率是eq\f（5,12），得到黄球或绿球的概率也是eq\f(5,12)。(1)求得到黑球、得到黄球及得到绿球的概率；(2)求得到的小球既不是黑球也不是绿球的概率．［思路探究]从12球中任取一球，取到红球、黑球、白球互斥，所以可用互斥事件概率的加法公式求解．[解](1)从袋中任取一球，记事件A为“得到红球”，B为“得到黑球",C为“得到黄球"，D为“得到绿球”，则事件A，B，C，D两两互斥．由已知P（A）＝eq\f（1,3)，P(B＋C）＝P（B）＋P（C)＝eq\f（5，12)，P(C＋D)＝P(C）＋P(D)＝eq\f（5,12），∴P(B＋C＋D）＝1－P（A)＝1－eq\f（1,3)＝eq\f（2,3)。∵B与C＋D，B＋C与D也互斥，∴P（B)＝P（B＋C＋D）－P(C＋D）＝eq\f(2，3)－eq\f（5，12）＝eq\f（1,4)，P(D）＝P(B＋C＋D）－P（B＋C)＝eq\f(2，3）－eq\f(5,12）＝eq\f（1，4),P(C）＝1－P(A＋B＋D)＝1－(P(A)＋P（B)＋P(D))＝1－eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1，3）＋\f(1，4）＋\f(1,4）））＝1－eq\f（5，6)＝eq\f(1，6).故得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是eq\f（1，4）,eq\f(1,6），eq\f(1,4)。（2)∵得到的球既不是黑球也不是绿球，∴得到的球是红球或黄球,即事件A＋C，∴P(A＋C)＝P（A）＋P(C）＝eq\f(1,3)＋eq\f（1,6）＝eq\f(1,2），故得到的小球既不是黑球也不是绿球的概率为eq\f(1,2）。1．解决本题的关键是明确取到不同颜色的球不可能同时发生，即互斥．由此可知用概率加法公式求解．2．若随机试验中，涉及多个事件,应先分析判断这几个事件是否互斥(或对立)，若是，可利用互斥事件概率的加法公式求解．当某一事件包含几个互斥的事件时，求该事件发生的概率也用上述规律．2．(1)一个口袋内装有大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0。58，摸出红球或黑球的概率为0.62，那么摸出红球的概率为()A．0。42 B．0。38C．0.2 D．0。8(2）向三个相邻的军火库投一枚炸弹,炸中第一个军火库的概率为0.2，炸中第二个军火库的概率为0.12,炸中第三个军火库的概率为0。28，三个军火库中，只要炸中一个另两个也会发生爆炸,求军火库发生爆炸的概率．［解](1)C［记分别摸一个球为红球、白球和黑球为事件A，B，C,则A，B,C为互斥事件,且A＋B＋C为必然事件，由题意知P（A)＋P（B)＝0.58，P（A）＋P(C)＝0。62,P(A)＋P(B)＋P(C)＝1，解得P(A)＝0.2.]（2）设A，B,C分别表示炸中第一、第二及第三个军火库这三个事件，事件D表示军火库爆炸,已知P（A）＝0.2，P（B）＝0。12,P（C)＝0.28.又因为只投掷了一枚炸弹，故不可能炸中两个及以上军火库，所以A，B，C是互斥事件，且D＝A＋B＋C，所以P（D)＝P(A＋B＋C）＝P（A）＋P(B）＋P（C)＝0。2＋0.12＋0。28＝0.6，即军火库发生爆炸的概率为0。6.对立事件的概率与求法［探究问题]1．若令A＝“小明考试及格”，eq\x\to(A）＝“小明考试不及格”，则事件A与事件eq\x\to(A)能不能同时发生，或者都不发生？为什么？提示：不可能同时发生，由于事件A与eq\x\to（A)是互斥事件，所以不可能同时发生，事件A与eq\x\to(A)也不可能都不发生，因为一次考试中，小明的成绩要么及格,要么不及格，二者必居其一，故A与eq\x\to（A)必有一个发生．2．将一枚质地均匀的骰子随机抛掷一次，观察骰子向上一面的点数．设U＝“出现点数的全体”，A＝“出现的点数是偶数”，B＝“出现的点数是奇数"，则A，U是互斥事件吗?A，B是互斥事件吗?B，U是互斥事件吗?”提示：A，U不是互斥事件,A，B是互斥事件,B，U不是互斥事件．【例3】一盒中装有各色球12个,其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球．从中随机取出1球，求：(1)取出1球是红球或黑球的概率；（2）取出1球是红球或黑球或白球的概率．［思路探究]先设出有关的互斥事件，然后把所求事件的概率转化为求某些互斥事件和的概率，另外也可考虑用古典概型以及对立事件来解决．［解]法一：利用等可能事件求概率．（1)从12个球中任取1球得红球有5种取法，得黑球有4种取法，得红球或黑球共有5＋4＝9(种)不同取法，任取1球有12种取法．所以任取1球得红球或黑球的概率为P1＝eq\f(9，12）＝eq\f（3，4）.(2）从12个球中任取一球得红球有5种取法，得黑球有4种取法，得白球有2种取法．从而得红球或黑球或白球的概率为P2＝eq\f(5＋4＋2，12）＝eq\f（11,12）.法二:利用互斥事件求概率．记事件A1＝{任取1球为红球｝；A2＝｛任取1球为黑球｝；A3＝{任取1球为白球｝;A4＝｛任取1球为绿球},则P(A1）＝eq\f（5，12），P（A2）＝eq\f（4,12），P(A3）＝eq\f(2,12)，P（A4）＝eq\f（1，12）.根据题意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事件概率公式，得(1）取出1球为红球或黑球的概率为P(A1＋A2）＝P(A1)＋P(A2）＝eq\f（5，12）＋eq\f（4，12）＝eq\f（3,4）。（2）取出1球为红球或黑球或白球的概率为P(A1＋A2＋A3）＝P(A1）＋P(A2）＋P（A3）＝eq\f(5,12）＋eq\f(4，12）＋eq\f（2，12)＝eq\f（11,12）。法三利用对立事件求概率的方法．(1)由法二知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A1＋A2的对立事件为A3＋A4。所以取得1球为红球或黑球的概率为P（A1＋A2）＝1－P(A3＋A4)＝1－P(A3）－P(A4)＝1－eq\f(2，12)－eq\f（1,12）＝eq\f(9,12)＝eq\f(3,4）.(2）A1＋A2＋A3的对立事件为A4，所以P（A1＋A2＋A3）＝1－P(A4）＝1－eq\f（1,12)＝eq\f（11，12)。求复杂事件的概率通常有两种方法:1将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件;2若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少,可考虑利用对立事件的概率公式,即“正难则反”。它常用来求“至少…"或“至多…”型事件的概率。3．据统计，某储蓄所一个窗口等候的人数及相应概率如下表：排队人数012345人及5人以上概率0.10。160.30。30.10。04（1)求至多2人排队等候的概率；(2)求至少2人排队等候的概率．［解]记在窗口等候的人数为0，1，2分别为事件A，B,C，则A,B，C两两互斥．（1)至多2人排队等候的概率是P（A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0。1＋0。16＋0.3＝0.56。(2）至少2人排队等候的反面是“等候人数为0或1”，而等候人数为0或1的概率为P(A＋B）＝P(A）＋P（B)＝0。1＋0.16＝0。26，故至少2人排队等候的概率为1－0.26＝0。74.1．互斥事件和对立事件既有区别又有联系．互斥未必对立;对立一定互斥．2．互斥事件的概率加法公式是一个很基本的计算公式，解题时要在具体的情景中判断各事件间是否互斥，只有互斥事件才能用概率加法公式P(A＋B）＝P(A）＋P（B)．3．求复杂事件的概率通常有两种方法：(1）将所求事件转化成彼此互斥事件的并事件；（2）先求其对立事件的概率，再求所求事件的概率。1．思考辨析（1)已知事件A与事件B，则P（A＋B）＝P（A)＋P(B)． （）（2）若三个事件A，B,C两两互斥,则P(A)＋P（B）＋P(C）＝1. (）（3)事件A与事件B互斥，则事件A与B互为对立事件． ()（4)事件A与事件B若满足P(A)＋P（B）＝1,则A，B是对立事件． (）［解析](1)×,A与B互斥时，P（A＋B)＝P（A)＋P（B）．(2）×，P(A)＋P（B)＋P（C)的值不确定．（3)×，A与B不一定对立．（4）×，例如a,b，c,d四个球，选中每个球的概率相同,事件A为选中a，b两个球,则P（A）＝eq\f(1,2）;事件B为选中b，c两个球，则P（B）＝eq\f(1,2），则P(A)＋P（B）＝1,但A,B不是对立事件．[答案］（1)×（2)×(3）×(4）×2．某产品共有三个等级，分别为一等品、二等品和不合格品．从一箱产品中随机抽取1