2020电大高等数学基础形成性考核手册答案(含题目)

精品资料精品资料可编辑可编辑1

A.lim

x2 1 B.limln(1x)0第1章 函数

xx22 x0C.limsinx0 D.limxsin10第2章 极限与连

x x

x x⒍当x0时，变量（C）是无穷小量．（一）单项选择题

sinx

1x x⒈下列各函数对中，（C）中的两个函数相等．x2A. f(x)( x)2，g(x)x B. f(x)x2

，g(x)x

xsin1x

ln(x2)x21

⒎若函数f(x)在点x0

满足（A），则f(x)在点x0

连续。C. f(x)lnx3，g(x)3lnx D. f(x)x1，g(x)x1

limf(x)f(xxx0

) B. f(x)x0

的某个邻域内有定义⒉设函数f(x)的定义域为(,，则函数f(x)f(x的图形关于对称．A.坐标原点 B.x轴

C. limx0

f(x)f(x0

) D.limxx0

f(x)limxx0

f(x)C.y轴 D.yx⒊下列函数中为奇函数是（B）．A.yx2) B.yxcosx

（二）填空题⒈函数f(x) x29x)的定义域是x 3y

axax2

yx)

⒉已知函数f(x1)x2

x，则f(x) ．⒋下列函数中为基本初等函数是（C）．A.yx1 B.yx

⒊1)x 2x

e2．1 112yx2

1, x0y, x0

⒋若函数f(x)xxxk,

, x0，在x0处连续，则k e ．x0⒌下列极限存计算不正确的是⒌函数yx1, x0的间断点是x0．x, x00limf(x)Axx时，f(xAx0xx0

x时的无穷小量。 AE OE2R2h20

则上底＝2AE2 R2h2⒈设函数

R2h2R2h2

, x0

故Sh2

2R2 R2h2 hR求：f(2),f(0),f(1)．

f(x)x, x0

⒋求limsin3x．x0sin2x

sin3x3x

sin3x解：limsin3x

lim 3x lim 3x 3

＝133解：f22，f00，fe

x0sin2x x0sin2x2x

x0sin2x 2 1 2 2⒉求函数ylg

2x1x

的定义域．

⒌求lim

x21

2x 2x2x10 x

x1sin(xx21 (x1)(x1) x1 11解：ylg2x1有意义，要求

解得x

1或x0

解：lim

lim

sin(x1)

2 2x x0 2

x1sin(x1) x1 sin(x1)

1x1 x

⒍求lim

tan3x．则定义域为x|x

0或x122

x0 xlimtan3x

limsin3x

limsin3x

1 31133⒊在半径为R的半圆内内接一梯形，梯形的一个底边与半圆的直径重合，另一底边的

x0 x

x0

x cos3x x0 3x cos3x 1两个端点在半圆上，试将梯形的面积表示成其高的函数解： DA

⒎求lim ．1x211x211x21x21(1x21)(1x21)(1x21)sinx(1x21)sinxR

sin

lim lim

x0 x0 x0limB x0C

x1x21x2

sinxx

0 111设梯形ABCD即为题中要求的梯形，设高为h，即OE=h，下底CD＝2R直角三角形AOE中，利用勾股定理得

x1⒏求lim( )x．xx3可编辑可编辑

x1)x

1lim(

1x)x3

1)x x lim3

1)x]1x

e1

e4

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由（1）（2）得f

x

在除点x1外均连续xx3

x1

x

(1 )x

x

1x 3e)3]3e⒐求limx26x8．x4x25x4

x x x3

2

第3章 导数与微分limx26x

x

x2

limx

422

（一）单项选择题

f(x) f(x)x4

x25x

x4

x4x

x4

x1

41 3

⒈设f(0)0且极限x0

存在，则limx x0 x

（C）．⒑设函数

(x2)2, x1f(x)x, 1x1x1, x1

A. f(0) B. f(0)f(x) D.0cvx⒉设f(x)在x

可导，则lim

f(x 2h)f(x0 0

（D）．讨论f(x)的连续性。解：分别对分段点x1,x1处讨论连续性

0 h0 2h0A.2f(x) B. f(x)00（1）

lim

fx

lim

x1

C.2f(x0

) D.f(x)0f(1x)f(1)limfxlimx1

x1110

⒊设f(x)exlimx0

x （A）．lim

fx

lim

fx，即fx在x1处不连续

A.e B.2e C.1e D.1e2 4（2）

lim

fxlimx221221

⒋设f(x)x(x1)(x2) (x99)，则f(0)（D）．lim

fx

x1limx1

A.99 B.99 C.99! D.99!x

x1

⒌下列结论中正确的是（C）．f 11

A.若f(x)在点x有极限，则在点x可导．B.若f(x)在点x连续，则在点x0 0 0 0所以limx1

x limx1

x

1即f

xx1处连续

可导．可编辑可编辑C.若f(x)在点x0连续．（二）填空题

x0

有极限．D.若f(x)在点x0

有极限，则在点x0

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y

x2

lnxx

csc2xx2xlnxx2sin1, x0

⑶yx2lnx⒈设函数f(x) x

，则f(0) 0 ．

0, x0df(lnx) 2ln x 5

解：y x

lnxx2xln2x

2xlnxxln2xxx⒉设f(ex)e2x5ex，则 dx 。xx

⑷ycosx2xx3⒊曲线f(x)

1在,2处的切线斜率是k1。x2x

解 ： y

cosx2x

x3x3

cosx2x2

x32⒋曲线f(x)sinx在y1。2yx2xy2x2xlnx)

x(sinx2xln2)3(cosx2x)x4⒍设yxlnx，则y1。x

⑸ylnxx2sinx解 ：（三）计算题

y

lnxx2

sinx

lnxx

1 x sinx( 2x) (lnx x x ⒈求下列函数的导数y：

sin2x

sin2xx3⑴y(xx33)ex

⑹yx4sinxlnxxx3解:yx

x3exx3

ex

(x23)ex

3 1x2ex2

解：y

x4

lnxsin

4x3

sinxx

cosxlnx⑵ycotxx2lnx

⑺ysinxx23x可编辑可编辑解 解

cos

2 2 cosy

sinxx2

3x

sinxx2

3x

3x(cosx2x)(sinxx2)3xln3

解：y

x2 x x x3x2⑻yextanxlnx

32x

⑹ycosex2

解：y

ex

tanxex

extanx

ex 1

解：ysinex2

ex2

2ex

sinex2⒉求下列函数的导数y：⑴yex

cos2x x

⑺ysinnxcosnx解 ：yncosnxsinn

1 1 1

nsinn1xcosxcosnxnsinnxsin(nx)

ex

ex

x2 ex2 x22 x

⑻y5sinx⑵ylncosx解：y 1

sin

sinx

tanx

y5sinxln5cosxln5cosx5sinx⑼yecosxcosx

cos

解：y

ecosx

sin

sinxecosxx x x⑶yx x x

7 7 1

⒊在下列方程中，yy(x)是由方程确定的函数，求y：⑴ycosxe2y解：yx88x8 ⑷ysin2xy2sin2sinxcosx2sin2x

解：ycosxysinx2e2yy y ysinxcosx2e2y⑵ycosylnx⑸ysinx2

解：ysiny.ylnxcosy.1x

y cosyx(1sinylnx)精品资料精品资料可编辑可编辑⑶2xsinyx2y

⒋求下列函数的微分dy：（dy⑴ycotxcscx

ydx）解 ： 2xcosy.y2siny

2yxx2yy2

y(2xcosy

x2)y2

2yxy2

2siny

ycsc2xcscxcotx

dy(

1 cos

)dxy

2xy2ysiny2xy2cosyx2

⑵ylnxsinx

cos2

sin2x1sinxlnxcosx 1sinxlnxcosx⑷yxlny解：yy1 y y

解：yx⑶ysin2x

sin2x

dyx

dxsin2xy⑸lnxeyy2

y1

解：y2sinxcosx dy2sinxcosxdx⑹ytanex解：1x

eyy2yy y 1x(2yey)

解：ysec2exex dysec2ex3exdxex3sec2exdx⑹y21exsiny解：2yyexcosy.ysinx y⑺eyexy3

exsiny2yexcosy

⒌求下列函数的二阶导数：x⑴yx解：y

1x

y

11x

1

x3解：eyyex3y2y yexey

3y2

22⑵y3x

2 222 42⑻y5x2y解：y5xln5y2yln2 y 5xln512yln2

解：y3xln3 yln33xln3ln233x⑶ylnx解：y1

y1

⒊函数yx2

4x5在区间(6,6)内满足）．x x2⑷yxsinx

A.先单调下降再单调上升 B.单调下降C.先单调上升再单调下降 D.单调上升⒋函数f(x)满足f(x)0的点，一定是f(x)的（C ）．解：y

sinxxcosx

cosxcosx

sin

2cosxxsinx

A.间断点 B.极值点（四）证明题设f(x)是可导的奇函数，试证f(x)是偶函数．

C.驻点 D.拐点⒌设f(x)在(a,b)内有连续的二阶导数，x (a,b)，若f(x)满足（C），则0证：因为f(x)是奇函数所以f(x)f(x)

f(x)在x0

取到极小值．两边导数得：f(x)(1)f(xf(x)f(x)所以f(x)是偶函数。

A. f(x0f(x0

)0,f(x0)0,f(x0

)0 B. f(x0)0 D. f(x0

)0,f(x0)0,f(x0

)0)0高等数学基础形考作业3答案：第4章 导数的应用（一）单项选择题⒈若函数f(x满足条件则存在ab，使得f)f(bf(a)．

⒍设f(x)在(ab内有连续的二阶导数，且f(x)0,f(x)0，则f(x)在此区间内是（A）．A.单调减少且是凸的 B.单调减少且是凹的C.单调增加且是凸的 D.单调增加且是凹的（二）填空题A.在(a,b)内连续 B.在(a,b)内可导

ba

⒈设f(x)在(abx0

(a,b)，且当xx0

时f(x)0，当xx 时0C.在(a,b)内连续且可导 D.在[a,b]内连续，在(a,b)内可导

f(x)0，则x0

是f(x)的 极小值 点．⒉函数f(x)x24x1的单调增加区间是）．

⒉若函数f(x)在点x0

可导，且x0

是f(x)的极值点，则f(x0

) 0 ．A.(,2)B.(1,1)C.(2,A.(,2)B.(1,1)C.(2,)D.(2,)⒋函数f(x)e的单调增加区间是(0,)可编辑可编辑⒌若函数f(x在[ab内恒有

(x)0，则f(x在[ab上的最大值是f(a

极值点：f12⒍函数f(x)25x3x3（三）计算题

0,2

最大值最小值

f(3)6f(1)2⒈求函数y(x1)(x5)2的单调区间和极值．

y

2x上的点，使其到点A(2,0)的距离最短．解：令yx52(x)2(x) (x)(x) 解：设p(x,y是y

2x上的点，d为p到A点的距离，则：驻点xx5列表：

d(x2)2(x2)2y2Xyy+1(1,5)50—0(5,)+上升32下降极小值0上升

2 (x2)22x2 (x2)22x(x2)22x

x1

(x2)22x(x2)22x极大值：

f32

y2 2极小值：f(5)0

y22上, 2或- 2到(的距离最。。⒉求函数yx2

2x3在区间[0内的极值点，并求最大值和最小值．

圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为L体的体积最大？y2x20

x驻点），列表：

解：设园柱体半径为R，高为h，则体积V2h(L2：V[h(2hh2[L23h20

h2

L xyy（0,1）+xyy（0,1）+10（1,3）—上升极大值2下降

2x3x22

R L232

当h

,R333

2L时其体积最大。3f(0)3 f6 f2

一体积为V解：设园柱体半径为R，高为h，则体积VR精品资料精品资料可编辑可编辑S表面积

RhR

2 R233V

f(x)ex10 x） x,f(x)单调上升f(0)令S2

4R0

V R3R h3V23V2

f(x)0,即ex(x3V23V23R

h 时表面积最大。

第5章 不定积分62.5解：设底长为x，高为。则：

第6章 定积分及其应用62.5x2hSx

h62.5x24xhx2

250x

（一）单项选择题⒈若f(x)的一个原函数是1，则x

f(x)（D）．S2x

2500x2

x3125x5

A.lnx B.1x2答：当底连长为5米，高为2.5米时用料最省。

1

2（四）证明题⒈当x0时，证明不等式xln(1x)．证：在区间上对函数fxlnx应用拉格朗日定理，有

x x3⒉下列等式成立的是（D）．Af(x)xf(x) B.f(x)f(x)C.

ln11x

df(x)dxf(x)

df(x)dxf(x)dx其中1

1x,

1xx)

⒊若f(x)cosx，则f(x)dx（B）．A.sinxc B.cosxcC.sinxc D.cosxc⒉当x0时，证明不等式ex

x1．

⒋dx2f(x3)dx（B）．dx设f(x)e

(x

A. f(x3) B.x2f(x3)C.1

f(x)

1f(x3)

⒎若无穷积分

1dx收敛，则p0。3 3 1 xpx⒌若f(x)dxF(x)c，则 x

f( x)dx（B）． （三）计算题cos1x 1 1 1F( x)c B.2F( x)c

⒈ dxcos

d( )sin cxC.F(2 x)c x

1 F( x)c ⒉

x2xxdx2exdxx

x x xx2excx⒍下列无穷限积分收敛的是（D）．1

⒊ 1xlnx

dx

1lnx

d(lnx)ln(lnx)cA.1

dx B.exdxx 0

⒋xsin2xdx1xd2x1xcos2x

1cos2xdx1xcos2x

1sinxC. x

1dx D.1dx

2 2 2 2 41（二）填空题

1 x2

⒌e3lnxdx