2020高中数学 第章 平面向量及其应用 .2 平面向量的运算 向量的减法运算 第二册

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE11-学必求其心得，业必贵于专精课时作业3向量的减法运算知识点一向量减法的几何意义1.在▱ABCD中,｜eq\o(AB，\s\up15（→)）＋eq\o(AD,\s\up15(→））｜＝|eq\o（AB，\s\up15（→））－eq\o（AD，\s\up15（→））｜，则必有（）A。eq\o（AD，\s\up15(→）)＝0 B.eq\o(AB，\s\up15（→)）＝0或eq\o(AD，\s\up15（→))＝0C．▱ABCD是矩形 D．▱ABCD是正方形答案C解析在▱ABCD中,|eq\o（AB，\s\up15(→)）＋eq\o（AD，\s\up15(→））｜＝|eq\o(AB，\s\up15(→）)－eq\o(AD，\s\up15（→))|，即|eq\o（AC，\s\up15（→)）|＝｜eq\o（DB，\s\up15(→）)|，可得▱ABCD是矩形．2．已知如图，在正六边形ABCDEF中，与eq\o(OA，\s\up15（→))－eq\o(OC，\s\up15（→））＋eq\o(CD，\s\up15（→））相等的向量有________．①eq\o(CF，\s\up15（→）);②eq\o(AD，\s\up15(→））；③eq\o（DA,\s\up15（→）)；④eq\o（BE,\s\up15（→））;⑤eq\o(CE，\s\up15(→）)＋eq\o（BC,\s\up15（→)）;⑥eq\o（CA,\s\up15（→）)－eq\o（CD，\s\up15(→)）；⑦eq\o（AB,\s\up15(→)）＋eq\o（AE,\s\up15(→））。答案①解析eq\o（OA,\s\up15(→）)－eq\o（OC,\s\up15(→））＋eq\o（CD，\s\up15(→）)＝eq\o(CA，\s\up15（→））＋eq\o(CD，\s\up15(→））＝eq\o（CF,\s\up15(→))；eq\o(CE，\s\up15(→）)＋eq\o(BC，\s\up15(→))＝eq\o（BC，\s\up15（→)）＋eq\o(CE,\s\up15(→)）＝eq\o（BE,\s\up15(→）)≠eq\o（CF，\s\up15（→）)；eq\o（CA,\s\up15(→））－eq\o(CD，\s\up15（→）)＝eq\o(DA，\s\up15(→））≠eq\o（CF，\s\up15(→））；eq\o（AB，\s\up15(→））＋eq\o（AE，\s\up15(→）)＝eq\o（AD,\s\up15（→)）≠eq\o（CF，\s\up15(→）).知识点二向量的减法运算3.化简eq\o（OP，\s\up15（→))－eq\o（QP,\s\up15（→）)＋eq\o（PS,\s\up15（→））＋eq\o（SP，\s\up15（→）)的结果等于(）A。eq\o(QP,\s\up15（→)) B.eq\o（OQ,\s\up15（→))C。eq\o(SP,\s\up15（→)） D.eq\o（SQ,\s\up15(→))答案B解析eq\o（OP,\s\up15(→)）－eq\o（QP,\s\up15(→）)＋eq\o(PS，\s\up15(→)）＋eq\o(SP，\s\up15(→))＝eq\o(OP,\s\up15(→))＋eq\o（PQ,\s\up15（→)）＝eq\o（OQ，\s\up15(→）），故选B.4．给出下列各式:①eq\o(AB,\s\up15（→）)＋eq\o(CA，\s\up15（→)）＋eq\o（BC，\s\up15（→））；②eq\o（AB,\s\up15(→）)－eq\o(CD，\s\up15(→））＋eq\o(BD,\s\up15(→）)－eq\o(AC,\s\up15(→））；③eq\o（AD,\s\up15（→））－eq\o(OD,\s\up15（→））－eq\o(AO，\s\up15（→))；④eq\o(NQ，\s\up15（→))－eq\o（MP,\s\up15（→)）＋eq\o（QP,\s\up15（→)）＋eq\o（MN,\s\up15（→）)。对这些式子进行化简，则其化简结果为0的式子的个数是()A．4B．3C．2D．1答案A解析①eq\o（AB,\s\up15（→)）＋eq\o（CA，\s\up15(→）)＋eq\o（BC，\s\up15（→））＝eq\o（AC，\s\up15（→）)＋eq\o（CA，\s\up15(→））＝0;②eq\o（AB，\s\up15（→))－eq\o(CD,\s\up15（→))＋eq\o（BD,\s\up15（→））－eq\o(AC,\s\up15（→)）＝eq\o（AB，\s\up15(→))＋eq\o（BD，\s\up15（→））－（eq\o（AC，\s\up15（→））＋eq\o（CD,\s\up15（→）））＝eq\o（AD，\s\up15(→））－eq\o(AD,\s\up15（→））＝0;③eq\o(AD,\s\up15(→））－eq\o(OD,\s\up15(→)）－eq\o(AO，\s\up15(→）)＝eq\o（AD,\s\up15（→)）＋eq\o(DO,\s\up15（→))＋eq\o（OA，\s\up15（→））＝eq\o（AO，\s\up15（→））＋eq\o（OA,\s\up15(→））＝0；④eq\o（NQ,\s\up15(→）)－eq\o（MP,\s\up15(→))＋eq\o（QP，\s\up15（→)）＋eq\o（MN,\s\up15(→）)＝eq\o（NQ,\s\up15（→)）＋eq\o（QP,\s\up15（→))＋eq\o(MN，\s\up15（→））－eq\o(MP,\s\up15（→））＝eq\o（NP,\s\up15(→))＋eq\o(PN，\s\up15（→））＝0。5．化简:（1)eq\o（OA,\s\up15(→））－eq\o(OD，\s\up15（→）)＋eq\o(AD，\s\up15(→))；(2)eq\o（AB，\s\up15(→））＋eq\o（DA，\s\up15（→)）＋eq\o(BD，\s\up15（→））－eq\o（BC,\s\up15(→））－eq\o（CA,\s\up15(→)）。解（1）eq\o（OA，\s\up15(→）)－eq\o(OD，\s\up15(→))＋eq\o(AD，\s\up15(→）)＝eq\o(OA，\s\up15(→）)＋eq\o（AD，\s\up15(→)）－eq\o(OD，\s\up15(→))＝eq\o（OD，\s\up15（→)）－eq\o（OD，\s\up15（→))＝0.（2)eq\o（AB,\s\up15（→)）＋eq\o（DA，\s\up15（→)）＋eq\o（BD，\s\up15(→））－eq\o(BC,\s\up15（→))－eq\o(CA,\s\up15（→））＝eq\o（AB，\s\up15（→)）＋eq\o（DA，\s\up15(→））＋eq\o(BD，\s\up15（→）)＋eq\o（CB，\s\up15(→））＋eq\o(AC,\s\up15(→)）＝(eq\o（AB,\s\up15（→））＋eq\o(BD,\s\up15(→)))＋(eq\o(AC，\s\up15（→)）＋eq\o(CB,\s\up15(→)））＋Deq\o(A，\s\up15(→）)＝eq\o（AD，\s\up15(→))＋eq\o（AB,\s\up15(→）)＋eq\o(DA,\s\up15(→))＝eq\o（AD,\s\up15(→））＋eq\o（DA，\s\up15（→））＋eq\o(AB,\s\up15(→))＝0＋eq\o（AB，\s\up15(→））＝eq\o(AB，\s\up15（→))。知识点三向量减法的应用6．如图所示，O是四边形ABCD内任一点,试根据图中给出的向量,确定a,b，c，d的方向(用箭头表示），使a＋b＝eq\o（AB,\s\up15（→））,c－d＝eq\o(DC，\s\up15(→）)，并画出b－c和a＋d.解如下图．7．已知a,b是两个非零向量，且|a｜＝｜b|＝|a－b｜，求eq\f(|a＋b|，|a－b|）。解设eq\o(OA,\s\up15（→）)＝a，eq\o（OB,\s\up15（→))＝b，则eq\o（BA，\s\up15（→））＝eq\o(OA，\s\up15（→)）－eq\o(OB,\s\up15(→))＝a－b。∵|a|＝｜b|＝|a－b|,∴BA＝OA＝OB。∴△OAB为正三角形．设其边长为1，则|a－b｜＝｜eq\o(BA，\s\up15（→)）|＝1，|a＋b｜＝2×eq\f(\r(3)，2）＝eq\r（3).∴eq\f（｜a＋b|，|a－b|)＝eq\f（\r（3），1）＝eq\r（3)。易错点忽略差向量的方向致误8．在五边形ABCDE中，设eq\o（AB,\s\up15（→))＝a，eq\o（AE，\s\up15（→))＝b，eq\o(BC,\s\up15（→）)＝c，eq\o（ED,\s\up15(→))＝d，用a，b,c，d表示eq\o（CD，\s\up15（→)）。易错分析作向量减法时特别要注意差向量的方向，有公共起点的向量作差，应由减数的终点指向被减数的终点．本题易计算为eq\o（CD，\s\up15(→））＝eq\o(AC，\s\up15(→）)－eq\o(AD，\s\up15（→）)＝a＋c－b－d致误．正解由五边形ABCDE可得，eq\o（CD,\s\up15(→))＝eq\o(AD，\s\up15（→））－eq\o(AC，\s\up15（→)）＝（eq\o(AE,\s\up15（→））＋eq\o（ED,\s\up15（→）))－（eq\o（AB，\s\up15(→）)＋eq\o(BC,\s\up15(→)）)＝(b＋d）－(a＋c）＝－a－c＋b＋d。一、选择题1．若非零向量a,b互为相反向量，则下列说法错误的是（)A．a∥b B．a≠bC．｜a｜≠|b｜ D．b＝－a答案C解析a，b互为相反向量，则a，b长度相等方向相反，从而a∥b，|a｜＝|b|,b＝－a都是正确的．2．四边形ABCD中,设eq\o(AB，\s\up15（→)）＝a，eq\o(AD，\s\up15(→))＝b，eq\o（BC，\s\up15(→))＝c,则eq\o(DC，\s\up15（→）)＝()A．a－b＋c B．b－(a＋c)C．a＋b＋c D．b－a＋c答案A解析eq\o（DC，\s\up15（→)）＝eq\o(DB,\s\up15(→)）＋eq\o(BC，\s\up15（→）)＝eq\o(AB，\s\up15（→））－eq\o(AD,\s\up15(→))＋eq\o（BC，\s\up15(→））＝a－b＋c。3．若|eq\o(AB,\s\up15（→))|＝5，｜eq\o（AC,\s\up15（→）)｜＝8，则｜eq\o（BC,\s\up15（→)）|的取值范围是()A．［3，8] B．(3，8)C．[3，13] D．（3,13)答案C解析∵｜eq\o（BC,\s\up15（→)）|＝｜eq\o(AC，\s\up15（→)）－eq\o(AB,\s\up15（→)）｜且｜｜eq\o（AC，\s\up15（→）)|－|eq\o（AB，\s\up15（→）)|｜≤｜eq\o（AC，\s\up15(→)）－eq\o(AB,\s\up15(→)）｜≤|eq\o（AC,\s\up15(→））｜＋｜eq\o（AB,\s\up15（→)）|,∴3≤｜eq\o（AC,\s\up15（→））－eq\o(AB,\s\up15(→））｜≤13,∴3≤｜eq\o(BC，\s\up15(→）)｜≤13,故选C。4．在平面上有A，B，C三点，设m＝eq\o（AB,\s\up15（→))＋eq\o(BC，\s\up15(→）），n＝eq\o（AB,\s\up15（→)）－eq\o（BC，\s\up15(→))，若m与n的长度恰好相等，则有（）A．A，B，C三点必在一条直线上B．△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角C．△ABC必为直角三角形且∠B为直角D．△ABC必为等腰直角三角形答案C解析以eq\o(BA，\s\up15（→)），eq\o(BC，\s\up15（→)）为邻边作平行四边形,第四个顶点为D，则m＝eq\o（AB，\s\up15(→)）＋eq\o(BC，\s\up15（→)）＝eq\o(AC，\s\up15（→）),n＝eq\o（AB,\s\up15（→)）－eq\o(BC，\s\up15（→）)＝eq\o（AB,\s\up15（→）)－eq\o(AD,\s\up15（→）)＝eq\o(DB，\s\up15(→)）,由m，n的长度相等可知，两对角线相等,因此平行四边形一定是矩形．故选C.5．如图，已知eq\o(OA，\s\up15（→))＝a，eq\o（OB,\s\up15（→)）＝b,eq\o（OC,\s\up15(→）)＝c，eq\o（OD，\s\up15（→)）＝d，且四边形ABCD为平行四边形,则（）A．a＋b＋c＋d＝0 B．a－b＋c－d＝0C．a＋b－c＋d＝0 D．a－b－c＋d＝0答案B解析∵eq\o（BA,\s\up15(→））＋eq\o(DC，\s\up15（→）)＝0，∴eq\o（OA，\s\up15(→)）－eq\o(OB，\s\up15(→）)＋eq\o(OC，\s\up15(→)）－eq\o(OD，\s\up15(→）)＝0，即a－b＋c－d＝0.二、填空题6．在△ABC中，D是BC的中点，设eq\o(AB,\s\up15(→)）＝c，eq\o（AC，\s\up15(→））＝b，eq\o(BD,\s\up15(→))＝a，eq\o（AD,\s\up15（→））＝d，则d－a＝________，d＋a＝________。答案cb解析根据题意画出图形,如图，d－a＝eq\o(AD,\s\up15（→))－eq\o(BD，\s\up15（→）)＝eq\o(AD,\s\up15（→））＋eq\o（DB,\s\up15（→）)＝eq\o(AB,\s\up15(→))＝c;d＋a＝eq\o(AD，\s\up15（→))＋eq\o（BD,\s\up15(→)）＝eq\o(AD,\s\up15（→)）＋eq\o（DC,\s\up15（→)）＝eq\o（AC，\s\up15（→））＝b。7．已知eq\o（OA,\s\up15（→)）＝a，eq\o（OB，\s\up15(→))＝b，若｜eq\o(OA，\s\up15（→)）|＝12，|eq\o(OB，\s\up15（→)）|＝5，且∠AOB＝90°，则|a－b|的值为________．答案13解析a，b，a－b构成了一个直角三角形，则|a－b|＝eq\r(|a｜2＋｜b|2）＝eq\r(122＋52)＝13。8．若a≠0，b≠0，且|a｜＝|b｜＝｜a－b｜，则a与a＋b所在直线的夹角是________．答案30°解析设eq\o(OA,\s\up15(→))＝a，eq\o(OB,\s\up15（→）)＝b，以OA,OB为邻边作平行四边形OACB，如图所示，则a＋b＝eq\o(OC，\s\up15(→)),a－b＝eq\o(BA,\s\up15(→）)。∵｜a｜＝|b|＝|a－b|，∴｜eq\o(OA，\s\up15(→）)|＝｜eq\o(OB，\s\up15（→）)|＝｜eq\o（BA，\s\up15(→）)|，∴四边形OACB为菱形，△OAB是等边三角形，∴∠BOA＝60°。在菱形OACB中，对角线OC平分∠BOA，∴a与a＋b所在直线的夹角为30°.三、解答题9．如图，在▱ABCD中，eq\o(AB，\s\up15(→)）＝a,eq\o(AD，\s\up15（→))＝b。（1)当a，b满足什么条件时，a＋b与a－b所在的直线互相垂直?（2）a＋b与a－b有可能为相等向量吗？为什么？解（1）eq\o(AC，\s\up15（→）)＝eq\o（AB,\s\up15（→))＋eq\o(AD，\s\up15(→）)＝a＋b，eq\o(DB，\s\up15（→））＝eq\o(AB,\s\up15(→)）－eq\o（AD，\s\up