2020高中数学 第章 导数及其应用 .2.1 常数与幂函数的导数 .2.2 导数公式表学案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE9-学必求其心得，业必贵于专精3.2.1常数与幂函数的导数学习目标核心素养1。能根据定义求函数y＝C，y＝x，y＝x2，y＝eq\f（1，x)的导数.2。能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．（重点、难点)通过利用基本初等函数的导数公式求简单函数的导数的学习，提升学生的数学运算素养.1．常数与幂函数的导数原函数导函数f(x)＝Cf′(x)＝0f（x)＝xf′(x）＝1f（x)＝x2f′(x）＝2xf（x)＝eq\f（1，x）f′(x)＝－eq\f（1,x2）2。基本初等函数的导数公式表原函数导函数f（x）＝C(C为常数）f′（x)＝0f(x)＝xuf′(x)＝uxu－1（x＞0，u≠0）f（x)＝sinxf′(x)＝cosxf（x）＝cosxf′(x）＝－sinxf(x)＝axf′(x）＝axlna（a＞0，a≠1）f(x）＝exf′（x)＝exf(x）＝logaxf′(x)＝eq\f(1,xlna）(a＞0，a≠1，x＞0)f(x)＝lnxf′(x)＝eq\f（1,x)1．下列结论：①（sinx)′＝cosx；②（xeq\s\up8（eq\f（5,3）))′＝xeq\s\up8(eq\f(2,3）)；③（log3x）′＝eq\f(1,3lnx）;④（lnx）′＝eq\f（1,x）。其中正确的有（)A．0个B．1个C．2个D．3个C［∵②(xeq\s\up8（eq\f(5，3)））′＝eq\f(5,3）xeq\s\up8（eq\f（2,3))；③(log3x)＝eq\f(1，xln3）；∴②③错误,故选C。]2．若函数f（x)＝eq\r（x），则f′（1)等于（)A．0 B．－eq\f(1,2）C．eq\f（1,2) D．1C［∵f′（x）＝(eq\r（x））′＝(xeq\s\up8(eq\f(1,2））)′＝eq\f（1,2）xeq\s\up8(eq\f(1,2)）eq\s\up8（－1）＝eq\f（1，2\r(x）)，∴f′（1)＝eq\f（1,2），故选C.］3．曲线y＝sinx在eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(π,4)，\f（\r（2），2）））处的切线方程为________．4eq\r（2）x－8y＋eq\r（2）（4－π)＝0[∵k＝(sinx）′｜eq\s\do5(x＝eq\f(π，4））＝coseq\f（π,4）＝eq\f(\r(2)，2），∴切线方程为y－eq\f（\r（2)，2)＝eq\f（\r（2),2）eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4）)），即4eq\r（2）x－8y＋eq\r(2）(4－π）＝0.]利用导数公式求函数的导数【例1】求下列函数的导数．（1)y＝x12;(2)y＝eq\f(1,x4）；(3）y＝eq\r(5，x3)；（4)y＝2sineq\f（x，2)coseq\f（x，2)；（5)y＝logeq\f(1,2）x。[思路探究］先将解析式化为基本初等函数的形式，再利用公式求导．[解]（1)y′＝（x12）′＝12x12－1＝12x11。（2)y′＝(x－4）′＝－4x－4－1＝－4x－5＝－eq\f（4，x5).（3）y′＝（eq\r（5，x3))′＝(xeq\s\up8（eq\f(3，5)））′＝eq\f(3,5）xeq\s\up8(eq\f(3,5）－1）＝eq\f（3,5)xeq\s\up8（－eq\f(2,5))＝eq\f（3，5\r（5，x2)）。(4)∵y＝2sineq\f（x，2)coseq\f(x，2）＝sinx，∴y′＝cosx.(5)y′＝（logeq\f(1,2)x）′＝eq\f（1，xln\f（1，2)）＝－eq\f(1,xln2).用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度。解题时根据所给函数的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式。提醒：若题目中所给出的函数解析式不符合导数公式,需通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式化成指数幂的形式求导.导数公式的综合应用[探究问题］1．若y＝c，y＝x和y＝x2都表示路程关于时间的函数，则其导数的物理意义是什么？提示：若y＝c表示路程关于时间的函数，则y′＝0可以解释为某物体的速度始终为0，即物体一直处于静止状态；若y＝x表示路程关于时间的函数，则y′＝1可以解释为某物体做速度为1的匀速运动；若y＝x2表示路程关于时间的函数,则y′＝2x可以解释为某物体做变速运动,它在x时刻的瞬时速度为2x。2．指数函数与对数函数的导数公式各具有什么特点?［提示］（1）指数函数的导数等于指数函数本身乘以底数的自然对数，y＝ex的导数是y＝ax(a>0，a≠1）导数的特例．(2）对数函数的导数等于x与底数的自然对数乘积的倒数，y＝lnx的导数是y＝logax(a＞0，a≠1，x＞0）导数的特例．【例2】已知点P(－1，1)，点Q（2,4）是曲线y＝x2上两点，是否存在与直线PQ垂直的切线，若有，求出切线方程；若没有，说明理由．[思路探究］先求导数,再根据导数的几何意义求解．[解]因为y′＝(x2)′＝2x，假设存在与直线PQ垂直的切线．设切点坐标为（x0,y0），由PQ的斜率为k＝eq\f（4－1，2＋1）＝1，又切线与PQ垂直，所以2x0＝－1，即x0＝－eq\f(1,2），所以切点坐标为eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f（1，2），\f(1,4)）).所以所求切线方程为y－eq\f(1,4)＝(－1)eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(x＋\f（1，2)))，即4x＋4y＋1＝0.1．（变结论）若本例条件不变，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．［解］因为y′＝(x2)′＝2x，设切点为M(x0，y0)，则y′｜eq\s\do5(x＝x0）＝2x0。又因为PQ的斜率为k＝eq\f（4－1,2＋1）＝1,而切线平行于PQ，所以k＝2x0＝1，即x0＝eq\f(1，2)。所以切点为Meq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1，2），\f（1,4)))，所以所求切线方程为y－eq\f（1，4）＝x－eq\f（1,2），即4x－4y－1＝0。2．（变条件）若函数改为y＝lnx，试求与直线PQ平行的切线方程．［解］设切点为（a，b),因为kPQ＝1,则由f′（a）＝eq\f（1，a）＝1，得a＝1，故b＝ln1＝0，则与直线PQ平行的切线方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用:1切点处的导数是切线的斜率.2切点在切线上.3切点又在曲线上这三个条件联立方程解决。1．思考辨析（1)若函数f（x）＝log2π，则f′（x）＝eq\f(1,πln2).（)(2）若函数f(x)＝3x，则f′（x)＝x·3x－1。(）(3)若函数f(x）＝eq\f(4,x），则f′(x)＝eq\f(4,x2).(）[提示](1)×π为常数．(2）×f′(x)＝3xln3。（3)×f′（x）＝－eq\f(4，x2).2．函数f（x)＝eq\r（x）,则f′(3)等于()A．eq\f(\r（3),6) B．0C．eq\f（1，2\r（x)) D．eq\f(\r（3),2)A［∵f′（x)＝eq\f(1,2\r（x）),∴f′(3)＝eq\f(1,2\r(3））＝eq\f(\r（3)，6).］3．设函数f(x）＝logax，f′(1)＝－1，则a＝________。eq\f(1,e）［∵f′（x)＝eq\f（1，xlna)，∴f′(1）＝eq\f(1，lna)＝－1，∴a＝eq\f(1，e).]4．过曲线y＝sinx上的点Peq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（π,6）,\f(1，2)）)的切线方程为________．6eq\r(3）x－12y－eq\r（3）π＋6＝0[曲线y＝sinx在点Peq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（π，6),\f(1，2)））处的切线斜率为k＝y′|eq\s\do5（x＝\f（π，6）)＝coseq\f（π,6）＝eq\f(\r(3），2).所以切线方程为y－eq\f（1，2)＝eq\f(\r(3），2)eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(x－\f(π，6）)),即6eq\r(3)x－12y－eq\r(3)π＋6＝0。]5．求下列函数的导数：（1)y＝coseq\f（π,6);(2)y＝eq\f(1,x5)；（3)y＝eq\f（x2，\r(x))；(4)y＝lgx;(5）y＝5x；(6）y＝coseq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(π,2）－x)).[解］(1）y′＝0.(2）∵y＝eq\f（1,x5）＝x－5,∴y′＝(x－5)′＝－5x－6＝－eq\f（5,x6)。（3）∵y＝eq\f（x2，\r(x））＝xeq\s\u