2020高中数学 第一章 统计 1.8 最小二乘估计学案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE16-学必求其心得，业必贵于专精1。8最小二乘估计[航向标·学习目标]1．在探索多种方法确定线性回归直线的过程中，体会最小二乘的思想方法．2．能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程．［读教材·自主学习］1．最小二乘法：如果有n个点:(x1，y1），（x2，y2)，…，(xn,yn)，可以用下面的表达式来刻画这些点与直线y＝a＋bx的接近程度：eq\o(□,\s\up3（01））[y1－(a＋bx1)］2＋［y2－（a＋bx2）]2＋…＋[yn－（a＋bxn）]2.使得上式达到最小值的直线y＝a＋bx就是我们所要求的直线,这种方法称为eq\o(□,\s\up3(02)）最小二乘法．2．线性回归方程：如果用eq\o(x,\s\up6（－))表示eq\f(x1＋x2＋…＋xn,n），用eq\o（y,\s\up6（－））表示eq\f(y1＋y2＋…＋yn,n),则可以求得b＝eq\f(x1－\o（x，\s\up6（－))y1－\o（y，\s\up6(－)）＋x2－\o（x,\s\up6（－））y2－\o(y，\s\up6（－)）＋…＋xn－\o（x，\s\up6（－）)yn－\o(y,\s\up6（－)），x1－\o（x,\s\up6（－)）2＋x2－\o（x,\s\up6（－）)2＋…＋xn－\o(x,\s\up6(－))2）＝eq\o（□，\s\up3（03）)eq\f（x1y1＋x2y2＋…＋xnyn－n\o（x，\s\up6（－））\o（y，\s\up6(－）），x\o\al（2,1）＋x\o\al(2，2）＋…＋x\o\al(2,n）－n\o(x，\s\up6（－）)2）。a＝eq\o(y，\s\up6(－）)－beq\o(x，\s\up6(－))。这样得到的直线方程称为线性回归方程，a，b是线性回归方程的系数．［看名师·疑难剖析]1．求线性回归方程的步骤(1）列表xi，yi，xiyi.（2）计算eq\o（x，\s\up6(－)）,eq\o(y,\s\up6(－))，eq\i\su(i＝1，n，x）eq\o\al(2,i），eq\i\su(i＝1,n，x）iyi。（3)代入公式b＝eq\f（\i\su（i＝1，n,x)iyi－n\o(x，\s\up6(－）)\o(y,\s\up6(－）)，\i\su（i＝1,n，x）\o\al(2，i)－n\o（x，\s\up6（－))2)，a＝eq\o(y，\s\up6（－）)－beq\o(x，\s\up6（－))求出b，a.(4)写出直线方程：eq\o（y，\s\up6(^))＝bx＋a.2．线性回归方程系数公式的推导过程首先将［y1－（a＋bx1）］2＋［y2－（a＋bx2）］2＋…＋［yn－(a＋bxn)］2化成关于未知数a的一元二次多项式形式：na2＋2n(beq\o（x,\s\up6（－）)－eq\o(y，\s\up6(－))）a＋[(y1－bx1）2＋(y2－bx2）2＋…＋(yn－bxn)2]＝n[a＋（beq\o(x，\s\up6（－））－eq\o(y,\s\up6（－）））]2－n(beq\o（x，\s\up6(－))－eq\o(y，\s\up6（－))）2＋［(y1－bx1）2＋（y2－bx2）2＋…＋(yn－bxn）2]因此当a＝eq\o（y,\s\up6（－））－beq\o(x,\s\up6（－))时，上式取得最小值，将这个关系代入上式,整理成关于未知数b的一元二次多项式的形式：[y1－（a＋bx1）]2＋［y2－（a＋bx2)］2＋…＋[yn－(a＋bxn）]2＝［（y1－eq\o（y,\s\up6(－))）－b(x1－eq\o(x,\s\up6(－）））]2＋［(y2－eq\o（y,\s\up6(－)))－b(x2－eq\o(x,\s\up6(－）))］2＋…＋[（yn－eq\o(y，\s\up6(－）))－b(xn－eq\o（x，\s\up6(－））)]2＝b2［(x1－eq\o（x,\s\up6（－)))2＋（x2－eq\o（x，\s\up6（－)））2＋…＋(xn－eq\o(x，\s\up6（－）))2］－2b[(x1－eq\o(x，\s\up6(－）））(y1－eq\o(y,\s\up6（－)））＋（x2－eq\o(x,\s\up6(－））)（y2－eq\o（y，\s\up6(－)))＋…＋(xn－eq\o(x，\s\up6（－）)）（yn－eq\o(y,\s\up6（－)))]＋［（y1－eq\o(y,\s\up6（－）))2＋(y2－eq\o(y,\s\up6(－）））2＋…＋（yn－eq\o（y,\s\up6（－)））2］，因此,当b＝eq\f（x1－\o(x，\s\up6（－)）y1－\o（y，\s\up6（－))＋x2－\o(x，\s\up6（－））y2－\o（y,\s\up6（－)）＋…＋xn－\o(x，\s\up6（－))yn－\o（y，\s\up6(－）），x1－\o（x,\s\up6(－）)2＋x2－\o（x,\s\up6（－））2＋…＋xn－\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(x1y1＋x2y2＋…＋xnyn－n\o(x，\s\up6（－))\o（y,\s\up6(－））,x\o\al(2,1）＋x\o\al(2，2)＋…＋x\o\al(2,n)－n\o(x，\s\up6（－））2)＝eq\f（\i\su（i＝1,n,x）iyi－n\o(x,\s\up6(－））\o（y,\s\up6(－）),\i\su（i＝1，n,x）\o\al（2，i）－n\o(x，\s\up6（－））2）时点(x1，y1)(x2，y2）…(xn,yn)与直线y＝a＋bx最接近（注意并不是点到直线距离之和最小）．a，b的意义是：以a为基数，x每增加一个单位，y相应的平均增加b个单位．考点一线性回归方程的概念例1设有一个线性回归方程为y＝4－2x，则变量x增加2个单位时()A．y平均增加1.5个单位 B．y平均减少1.5个单位C．y平均增加4个单位 D．y平均减少4个单位[解析］该题考查线性回归方程的两个变量之间的线性关系问题．由回归直线方程y＝4－2x，知斜率为－2,所以变量x每增加1个单位，y平均减少2个单位，故当变量x增加2个单位时,y平均减少4个单位,所以选D。[答案]D类题通法根据线性回归方程可获得对两个变量之间整体关系的了解，对于已知的变量x，可以相应估计出变量y的值.eq\a\vs4\al（)eq\a\vs4\al(［变式训练1])工人月工资(元)依劳动生产率（千元)变化的线性回归方程为y＝50＋80x，下列判断正确的是()A．劳动生产率为1000元时,工资为130元B．劳动生产率提高1000元时，工资平均提高80元C．劳动生产率提高1000元时，工资平均提高130元D．当月工资为210元时，劳动生产率为2000元答案B解析线性回归方程y＝a＋bx中b的意义是当x增加一个单位时，y的值平均变化b个单位,这是一个平均变化率．线性回归方程只能用于预测变量的值。考点二求线性回归方程例2每立方米混凝土的水泥用量x(单位：kg）与28天后混凝土的抗压强度y（单位:kg/cm2)之间的关系有如下数据：x150160170180190200210220230240250260y56.958。361.664。668。171。374。177.480.282。686。489。7求两变量间的回归直线方程．［分析］由题目可获取以下主要信息:①两变量具有线性相关关系；②由两变量的对应数据求回归直线方程．解答本题要先列出相应的表格，有了表格中的那些相关数据，回归方程中的系数就都容易求出了．［解］列表如下:i123456xi150160170180190200yi56。958.361。664.668。171.3xiyi8535932810472116281293914260i789101112xi210220230240250260yi74。177.480。282.686。489.7xiyi155611702818446198242160023322eq\o(x，\s\up6(－)）＝205，eq\o（y,\s\up6（－))＝72.6,eq\i\su（i＝1,12，x）eq\o\al（2，i）＝518600，eq\i\su(i＝1,12,y）eq\o\al（2,i）＝64572。94,eq\i\su(i＝1，12,x）iyi＝182943∴b＝eq\f（182943－12×205×72.6，518600－12×2052)＝eq\f（4347，14300）≈0.304,a＝eq\o（y，\s\up6（－））－beq\o（x,\s\up6(－）)＝72.6－0。304×205＝10.28。于是所求的回归方程是eq\o(y，\s\up6(^））＝0.304x＋10。28。类题通法用公式求回归方程的一般步骤是:①列表xi，yi，xiyi.②计算eq\o（x，\s\up6（－）），eq\o（y,\s\up6(－))，eq\i\su（i＝1，n，x)eq\o\al（2，i）,eq\i\su(i＝1,n，y）eq\o\al(2，i)，eq\i\su(i＝1,n，x)iyi。③代入公式计算b、a的值．④写出回归直线方程．eq\a\vs4\al（［变式训练2])为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下:父亲身高x（cm）174176176176178儿子身高y（cm)175175176177177则y对x的线性回归方程为(）A．y＝x－1 B．y＝x＋1C．y＝88＋eq\f(1，2）x D．y＝176答案C解析本题考查线性回归方程的求法．设y对x的线性回归方程为y＝bx＋a,因为b＝eq\f（－2×－1＋0×－1＋0×0＋0×1＋2×1，－22＋22）＝eq\f(1，2）,a＝176－eq\f(1,2)×176＝88，所以y对x的线性回归方程为y＝eq\f(1，2）x＋88。选C.规范答题线性相关关系的判断及线性回归方程的求解[例]（12分）假设关于某设备使用年限x（年）和所支出的维修费用y(万元）有如下统计资料：x23456y2.23。85。56.57.0(1)请画出上表数据的散点图，判断它们是否具有线性相关关系;若线性相关,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；（2)试根据(1）求出的线性回归方程,预测使用年限为10年时，维修费用是多少？(一）精妙思路点拨（二）分层规范细解（1)eq\a\vs4\al(散点图）①如图所示：················2分由散点图可知，两变量之间具有相关关系，且为线性相关关系.4分下面用最小二乘法求线性回归方程：列表,计算i12345xi23456yi2。23.85。56。57.0xiyi4.411。422.032.542.0xeq\o\al(2，i）49162536eq\o(x，\s\up6（－)）＝4，eq\o（y,\s\up6(－))＝5，eq\a\vs4\al(\i\su（i＝1,5,x）\o\al(2,i)＝90，\i\su（i＝1,5，x）iyi＝112.3)②设所求回归方程为：y＝bx＋a，则由上表可得eq\a\vs4\al(b＝\f（\i\su（i＝1，5,x)iyi－5\o（x,\s\up6(－）)\o（y，\s\up6（－))，\i\su（i＝1,5，x）\o\al(2,i)－5\o(x,\s\up6(－))2)＝\f(112.3－5×4×5,90－5×42）＝\f(12。3,10）＝1。23）②，8分eq\a\vs4\al（a＝\o(y，\s\up6（－)）－b\o（x，\s\up6（－））＝5－1。23×4＝0.08.)②∴线性回归方程为y＝1.23x＋0。08.10分（2)把x＝10代入(1)中所求得的线性回归方程得:y＝1.23×10＋0。08＝12。38，11分即使用年限为10年时，维修费用eq\a\vs4\al（约是12。38万元)③。12分（三)来自一线的报告通过阅卷后分析，对解答本题的失分警示和解题启示总结如下：（注:此处的①②③见分层规范细解过程）(四)类题练笔掌握以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y和房屋的面积x的数据：房屋面积x（m2）80105110115135销售价格y(万元）18.42221.624.829.2（1）画出数据对应的散点图;(2)求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线;(3)试预测90m2解(1)根据表中所列数据可得散点图如下：由图可见两者之间是线性相关的．(2）列表,计算：i12345xi80105110115135yi18。42221。624。829.2xiyi14722310237628523942xeq\o\al(2,i）640011025121001322518225eq\o(x,\s\up6(－）)＝109，eq\o（y，\s\up6(－））＝23.2，eq\i\su（i＝1,5,x)eq\o\al（2,i)＝60975,eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝12952故可求得：b＝eq\f(\i\su（i＝1,5,x)iyi－5\o（x，\s\up6(－））\o(y，\s\up6(－）),\i\su(i＝1,5,x)\o\al（2,i）－5\o(x,\s\up6(－)）2)＝eq\f(12952－5×109×23。2,60975－5×1092)≈0.1962，a＝eq\o(y,\s\up6（－)）－beq\o（x,\s\up6（－))＝23.2－0.1962×109＝1.8142,所以,线性回归方程为y＝0.1962x＋1.8142，回归直线如（1）中图．(3)把x＝90代入上述回归方程y＝0。1962x＋1。8142,即y＝0。1962×90＋1.8142≈19。47,即这种90m2（五)解题设问画出散点图的作用是什么？________。答案判断数据是否线性相关1．设有一个回归方程为eq\o(y，\s\up6（^）)＝2－1.5x，则变量x增加一个单位时()A．y平均增加1。5个单位 B．y平均增加2个单位C．y平均减小1.5个单位 D．y平均减少2个单位答案C解析由相关系数的意义可知C正确．2．线性回归方程表示的直线