2020高中数学 第一章 立体几何初步 1.22 平面与平面垂直练习（含解析）2

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE14-学必求其心得，业必贵于专精第2课时平面与平面垂直对应学生用书P35知识点一面面垂直的判定1．下列命题不正确的是()A．若l⊥m，l⊥α，m⊥β，则α⊥βB．若l⊥m，l⊂α，m⊂β,则α⊥βC．若α⊥γ，β∥γ,则α⊥βD．若l∥m，l⊥α，m⊂β，则α⊥β答案B解析借助于长方体模型找出错误的选项．如图所示的长方体，AB⊥B1C1，AB⊂平面AC，B1C1⊂平面A1C1,但是平面AC∥平面A1C1，所以B不正确．2．给出以下四种说法：①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行；②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面；③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行；④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直．其中正确的个数是()A．4B．3C．2D．1答案B解析根据空间中线面平行、垂直的有关性质与判定易知③错误，①②④正确，故选B．3．如图所示，PA⊥平面ABC，PA＝eq\r（2）,AB＝1，BC＝eq\r（3),AC＝2，求证：平面PBC⊥平面PAB．证明∵PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC,又∵AB＝1,BC＝eq\r(3）,AC＝2，∴AB2＋BC2＝AC2，∴BC⊥AB，又AB∩PA＝A，∴BC⊥平面PAB，又BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAB．知识点二面面垂直的性质4．下列命题正确的是()①经过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直；②如果一条直线和两个垂直平面中的一个垂直,它必和另一个平行;③过不在平面内的一条直线可作无数个平面与已知平面垂直;④如果两个平面互相垂直，经过一个平面内一点与另一平面垂直的直线在第一个平面内．A．①③B．②③C．②③④D．④答案D解析①不正确，过平面外一点可作一条直线与平面垂直，过该直线的任何一个平面都与已知平面垂直;②不正确，若α⊥β，a⊥α，则a⊂β或a∥β；③不正确，当平面外的直线是平面的垂线时,能作无数个平面与已知平面垂直，否则只能作一个；④正确．故选D．5．如图，在三棱锥V－ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形,AC⊥BC且AC＝BC＝eq\r（2)，O，M分别为AB，VA的中点．(1)求证:VB∥平面MOC；(2）求证：平面MOC⊥平面VAB；(3）求三棱锥V－ABC的体积．解（1)证明：∵O，M分别为AB，VA的中点，∴OM∥VB．∵VB⊄平面MOC，OM⊂平面MOC，∴VB∥平面MOC．(2）证明：∵AC＝BC，O为AB的中点，∴OC⊥AB．又∵平面VAB⊥平面ABC,且平面VAB∩平面ABC＝AB,OC⊂平面ABC，∴OC⊥平面VAB．∵OC⊂平面MOC，∴平面MOC⊥平面VAB．(3）在等腰直角△ACB中,AC＝BC＝eq\r（2)，∴AB＝2,OC＝1，∴S△VAB＝eq\f(\r(3),4）AB2＝eq\r(3)．∵OC⊥平面VAB，∴VC－VAB＝eq\f（1，3）OC·S△VAB＝eq\f(1,3）×1×eq\r(3)＝eq\f(\r(3），3),∴VV－ABC＝VC－VAB＝eq\f(\r(3），3）．对应学生用书P35一、选择题1．已知直线a,b与平面α，β，γ，下列能使α⊥β成立的条件是()A．α⊥γ，β⊥γB．α∩β＝a，b⊥a，b⊂βC．a∥β，a∥αD．a∥α，a⊥β答案D解析由a∥α，知α内必有直线l与a平行，而a⊥β,∴l⊥β，∴α⊥β．2．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是（）A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④答案D解析①应是一个平面内两条相交直线与另一平面平行则两平面平行，③垂直于同一直线的两条直线平行,相交，或异面．3．下列命题中错误的是(）A．如果α⊥β，那么α内所有直线都垂直于平面βB．如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于平面βC．如果α不垂直于平面β,那么α内一定不存在直线垂直于平面βD．如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l，那么l⊥γ答案A解析若α⊥β，则α内必有垂直于β的直线，并非α内所有直线都垂直于β，A错误．4．如图所示，在立体图形D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是()A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC,且平面ADC⊥平面BDE答案C解析由AB＝BC，AD＝CD,E为AC的中点．∴BE⊥AC,DE⊥AC，又BE∩DE＝E，∴AC⊥平面BDE．∴平面ABC⊥平面BDE，平面ADC⊥平面BDE．5．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD∶BC∶AB＝2∶3∶4，E，F分别是AB，CD的中点，将四边形ADFE沿直线EF进行翻折．给出四个结论：①DF⊥BC；②BD⊥FC；③平面DBF⊥平面BFC；④平面DCF⊥平面BFC．在翻折的过程中，可能成立的结论是(）A．①③B．②③C．②④D．③④答案B解析对于①,因为BC∥AD，AD与DF相交不垂直，所以BC与DF不垂直，故①不可能成立；对于②，如图，设点D在平面BCF上的射影为点P，当BP⊥CF时，有BD⊥FC，而AD∶BC∶AB＝2∶3∶4可使条件满足，故②可能成立；对于③,当点P落在BF上时,DP⊂平面BDF，从而平面BDF⊥平面BCF，故③可能成立；对于④，因为点D的射影不可能在FC上，故④不可能成立．故选B．二、填空题6．如图，直线PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，则在平面PAB、平面PAD、平面PCD、平面PBC及平面ABCD中，互相垂直的有________对．答案5解析∵PA⊥面ABCD，∴面PAB⊥面ABCD,面APD⊥面ABCD．又∵AB⊥AD，∴面PAB⊥面PAD又∵BC⊥面PAB,CD⊥面PAD，∴面PAB⊥面PBC，面PAD⊥面PCD．7．已知:平面α⊥平面β，α∩β＝l，在l上取线段AB＝4,AC，BD分别在平面α和平面β内，且AC⊥AB，DB⊥AB,AC＝3，BD＝12，则CD＝________．答案13解析如图，连接AD．∵α⊥β，∴AC⊥β，DB⊥α，在Rt△ABD中，AD＝eq\r(AB2＋BD2）＝eq\r（42＋122)＝eq\r(160)．在Rt△CAD中,CD＝eq\r(AC2＋AD2）＝eq\r(32＋160）＝13．8．已知平面α,β，γ，直线l，m满足：α⊥γ,γ∩α＝m,γ∩β＝l，l⊥m,那么可推出的结论有________．（请将你认为正确的结论的序号都填上）①m⊥β；②l⊥α；③β⊥γ；④α⊥β．答案②④解析如图,由题意知l⊥α,α⊥β,而m⊥β,β⊥γ不一定成立．三、解答题9．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F,G分别是A1A,CD，BC的中点．求证：平面BEF⊥平面DGC1．证明取D1D中点H,连接EH,HF．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，∵E，H，F分别是A1A，D1D，DC的中点,∴EH⊥平面D1DCC1，EH⊥DC1．又HF⊥DC1，∴DC1⊥平面EHF．∴EF⊥DC1．连接AF,在△ADF和△DCG中，AD＝DC,∠ADF＝∠DCG＝90°．∵G是BC中点，∴DF＝GC．∴△ADF≌△DCG．∴∠DAF＝∠GDC．∵∠ADG＋∠GDC＝90°，∴∠DAF＋∠ADG＝90°．∴AF⊥DG．∵EA⊥平面ABCD,而DG⊂平面ABCD，∴EA⊥DG．又EA∩AF＝A,∴DG⊥平面EAF．∴EF⊥DG．∵DC1∩DG＝D，∴EF⊥平面DGC1．∵EF⊂平面BEF，∴平面BEF⊥平面DGC1．10．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形且∠DAB＝60°，侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD．（1)求证：AD⊥PB；(2)若E为BC边上的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论．解(1)证明：设G为AD的中点,连接PG,BG．∵△PAD是正三角形，得PG⊥AD,在菱形ABCD中,∠DAB＝60°,G为AD的中点，∴BG⊥AD．又BG∩PG＝G，∴AD⊥平面PBG．又PB⊂平面PBG，∴AD⊥PB．（2）当