2020高中数学 第一章 空间几何体 12 球的体积和表面积学案（含解析）2

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE20-学必求其心得，业必贵于专精1。3。2球的体积和知识导图学法指导1.球心和球的半径是球的灵魂，抓住了球心就抓住了球的位置，知道了球的半径就可求出球的体积和表面积．2．在许多有关球的问题中,要画出实际空间图形比较困难，但我们可以通过构造多面体或取球的截面，把球的问题转化为多面体或平面图形的问题来解决．高考导航高考考查球的题型有：(1)计算球的表面积或体积；(2)求球与其他简单几何体的组合体的表面积或体积．常以选择题或填空题的形式出现，难度较低，分值5分.知识点球的表面积与体积公式1。一个关键掌握好球的表面积公式S球＝4πR2，球的体积公式V球＝eq\f（4,3）πR3是计算球的表面积和体积的关键,半径与球心是确定球的条件．掌握好公式,球的体积与表面积计算的相关题目也就迎刃而解了．2．两个结论（1）两个球的体积之比等于这两个球的半径之比的立方．(2）两个球的表面积之比等于这两个球的半径之比的平方．[小试身手]1．判断下列命题是否正确。(正确的打“√"，错误的打“×")(1）两个球的半径之比为1：3,则其表面积之比为1：9.（）(2)经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径．()答案：（1）√（2）√2．如果两个球的体积之比为8：27，那么两个球的表面积之比为（）A．8：27B．2:3C．4：9D．2：9解析：eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(4,3）πr3）)：eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(4,3）πR3)）＝8：27,∴r:R＝2：3，∴S1：S2＝4：9。答案：C3．一条直线被一个半径为13的球截得的线段长为24,则球心到直线的距离为（)A．13B．12C．5D．24解析：如图所示,d＝eq\r(132－122)＝5。答案:C4．一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3,则此球的表面积为________．解析：长方体外接球直径长等于长方体对角线长，即2R＝eq\r(12＋22＋32）＝eq\r(14)，所以球的表面积S＝4πR2＝14π。答案：14π类型一球的体积与表面积例1（1）球的体积是eq\f(32π,3），则此球的表面积是(）A．12πB．16πC.eq\f（16π,3)D。eq\f(64π,3）（2）圆柱形玻璃容器内盛有高度为12cm的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球（如图所示)，则球的半径是________cm.【解析】(1）设球的半径为R，则由已知得eq\f（4，3）πR3＝eq\f（32π，3），解得R＝2。故球的表面积S表＝4πR2＝16π.(2)设球半径为rcm,则由3V球＋V水＝V圆柱可得3×eq\f（4,3）πr3＋πr2×12＝πr2×6r,解得r＝6。故球的半径是6cm.【答案】（1）B（2）6，利用球的体积公式先求半径R，再利用球的表面积公式求解．

方法归纳计算球的表面积和体积的关键都是确定球的半径，注意把握表面积公式S球＝4πR2中系数的特征及半径的平方．必要时需逆用表面积公式得到球的半径关于表面积的关系式．同时还应注意体积公式V球＝eq\f(4，3)πR3中系数的特征及半径的立方．注意:计算与球有关的组合体的表面积与体积时要恰当地分割与拼接，避免重叠．,跟踪训练1(1）把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大为原来的()A．2倍B．2eq\r(2)倍C.eq\r（2）倍D．3eq\r（2)倍(2)一个半球的表面积为1，则相对应的此球的半径应为(）A.eq\f（1，3π)B.eq\r(3π)C。eq\f（\r（3π)，3π）D.eq\f(\r(3，3π),3π）解析：（1）设改变前、后球的半径分别是r，r′，则由条件可知4πr′2＝2×4πr2。∴r′＝eq\r(2）r，V′＝eq\f(4πr′3,3)＝2eq\r（2）×eq\f（4πr3,3）.（2)S表＝πr2＋2πr2＝1，∴r＝eq\f（\r（3π)，3π）.答案：（1）B（2）C先根据球的表面积的关系，得出半径之比，再求出体积之比．类型二球的截面问题例2（1）一平面截一球得到直径为2eq\r（5)cm的圆面，球心到这个圆面的距离是2cm，则该球的体积是（）A．12πcm3B．36πcm3C．64eq\r（6）πcm3D．108πcm3（2)已知球的两平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且距离为1，则这个球的表面积为________．【解析】(1)设球心为O，截面圆的圆心为O1,如图所示，连接OO1,则OO1垂直于截面圆O1。在Rt△OO1A中，O1A＝eq\r（5)cm，OO1＝2cm，∴球的半径R＝OA＝eq\r（22＋\r(5）2)＝3(cm)，∴球的体积V＝eq\f(4,3）×π×33＝36π（cm3）．（2）如图所示，设以r1为半径，O1为圆心的截面圆的面积为5π，以r2为半径，O2为圆心的截面圆的面积为8π，球的半径为R,OO2＝x，则O1O2＝1。在Rt△OO2A中,OA＝R，OO2＝x,O2A＝r2，则req\o\al（2，2）＝R2－x2,∴πreq\o\al（2，2）＝π(R2－x2)＝8π，即R2－x2＝8①。在Rt△OO1B中，OB＝R,OO1＝x＋1，O1B＝r1，则req\o\al（2，1)＝R2－(x＋1）2，∴πreq\o\al(2，1)＝π［R2－（x＋1）2]＝5π,即R2－（x＋1）2＝5②.由①②得x＝1，R＝3。∴球的表面积为S＝4πR2＝4π×32＝36π。【答案】(1）B（2）36π（1）作经过球心和截面圆圆心的轴截面；（2）作截面图时，注意两个截面在圆心的同一侧，构成两个直角三角形，再求解．方法归纳球的截面问题的解题方法对于球的截面问题,常画出过球心的截面圆，将空间几何问题转化为平面中圆的有关问题解决．球的半径R，球心到截面的距离d,截面圆的半径r恰好构成直角三角形，利用三个量之间的关系d2＝R2－r2，可知二求一．跟踪训练2球面上有三个点A，B,C，其中AB＝18，BC＝24，AC＝30，且球心到平面ABC的距离为球半径的一半,那么这个球的半径为（）A．20B．30C．10eq\r（3）D．15eq\r(3)解析:平面ABC截球所得的截面是一个圆面，A,B，C三点在这个圆面的圆上,∵AB＝18，BC＝24，AC＝30，∴AC2＝AB2＋BC2，∴AC为这个圆的直径．设AC的中点为M，球心为O,球的半径为R,则M为截面圆的圆心，MA为其半径，在Rt△OMA中，∠OMA＝90°,OM＝eq\f（1,2)R，MA＝eq\f（1,2)AC＝eq\f（1,2)×30＝15，OA＝R,由勾股定理得(eq\f(1，2)R)2＋152＝R2，解得R＝10eq\r(3)。答案:C先证明三角形ABC是直角三角形，AC是斜边，设AC的中点为M,则M为截面圆的圆心,MA为其半径,求出MA，找到OM与球半径的关系,利用勾股定理求出球半径即可．，类型三内切球与外接球问题例3已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点．若三棱锥O－ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为（)A．36πB．64πC．144πD．256π【解析】如图，设球的半径为R，因为∠AOB＝90°，所以S△AOB＝eq\f（1，2）R2。因为VO－ABC＝VC－AOB，而△AOB面积为定值，所以当点C到平面AOB的距离最大时，VO－ABC最大，所以当C为与球的大圆面AOB垂直的直径的端点时,体积VO－ABC最大为eq\f(1，3）×eq\f（1,2)R2×R＝36,所以R＝6。所以球O的表面积S＝4πR2＝4π×62＝144π。故选C.【答案】C解题时要认真分析图形，明确切点、接点的位置，作出合适的辅助图形，确定有关元素间的位置和数量关系．方法归纳（1）处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时,要注意球心的位置与几何体的关系．一般情况下,由于球的对称性，球心总在几何体的特殊位置，比如中心、对角线的中点等．(2)解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切点"或“接点”作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算．跟踪训练3已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为(）A．πB.eq\f(3π,4)C.eq\f(π，2）D。eq\f（π，4）解析：如图所示，由题可知球心在圆柱的中心处，球的半径R＝1，圆柱的高h＝1，则圆柱上、下底面圆的半径r＝eq\r（12－\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1,2）)）2)＝eq\f(\r（3）,2)，则圆柱的体积V＝πr2h＝eq\f(3π,4）。故选B。答案：B先确定圆柱上、下底面圆的半径,然后再求该圆柱的体积。1.3。2[基础巩固］（25分钟，60分）一、选择题（每小题5分，共25分)1．已知两个球的半径之比为1：3，那么这两个球的表面积之比为()A．1：9B．1:27C．1：3D．1：1解析:设两球的半径分别为r1，r2,表面积分别为S1，S2，∵r1:r2＝1：3,∴S1：S2＝4πreq\o\al(2,1)：4πreq\o\al(2，2)＝req\o\al(2,1）：req\o\al（2，2）＝1：9。故选A.答案：A2．［2019·安徽省合肥市检测］平面α截球O所得截面圆的半径为1,球心O到平面α的距离为eq\r（2)，则此球的体积为（)A.eq\r（6)πB．4eq\r（3）πC．4eq\r(6)πD．6eq\r(3)π解析:球的半径R＝eq\r（12＋\r（2）2）＝eq\r(3)，所以球的体积V＝eq\f(4，3)π×(eq\r(3）)3＝4eq\r(3)π.答案：B3．两球的体积之和是12π,它们的大圆周长之和是6π，则大球与小球的半径之差是（)A．1B．2C．3D．4解析：设大球半径为R，小球半径为r,所以eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（\f(4,3)πR3＋\f(4，3)πr3＝12π，，2πR＋2πr＝6π，)）得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（R＝2，r＝1）),所以R－r＝2－1＝1.答案：A4．已知一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是（）A．8πB．6πC．4πD．π解析：设该正方体的棱长为a，内切球的半径为r,则a3＝8，∴a＝2，∴正方体的内切球直径为2，r＝1，∴内切球的表面积S＝4πr2＝4π.答案：C5．半径为eq\r(3，\f(36，π)）的球的体积与一个长、宽分别为6,4的长方体的体积相等,则长方体的表面积为（）A．44B．54C．88D．108解析：由题意知，球的半径R＝eq\r(3,\f(36，π)）,故球的体积为eq\f（4,3）πR3＝eq\f(4，3）π·eq\f（36,π）＝48，则长方体的高为48÷6÷4＝2，故长方体的表面积为2×(6×4＋4×2＋6×2）＝88。答案：C二、填空题（每小题5分，共15分)6．已知三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝3，底面ABC是边长为2的正三角形，三棱锥P－ABC的体积为________．解析:依题意有，三棱锥P－ABC的体积V＝eq\f（1,3）S△ABC·｜PA|＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3），4)×22×3＝eq\r（3）.答案：eq\r（3)7．把直径分别为6cm，8cm，10cm的三个铁球熔成一个大铁球，则这个大铁球的半径为________cm.解析:设大铁球的半径为Rcm，由eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4，3)π×eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（6，2))）3＋eq\f（4,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（8，2)））3＋eq\f(4，3）π×eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（10,2）))3，得R3＝216，得R＝6.答案：68．湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为6cm,深为1cm的空穴,则该球半径是________cm，表面积是________cm2.解析:设球心为O，OC是与冰面垂直的一条球半径，冰面截球得到的小圆圆心为D，AB为小圆D的一条直径，设球的半径为R，则OD＝（R－1）cm，则(R－1)2＋32＝R2，解之得R＝5cm，所以该球表面积为S＝4πR2＝4π×52＝100π(cm2)．答案：5100π三、解答题(每小题10分，共20分）9．若三个球的表面积之比为1：4：9,求这三个球的体积之比．解析：设三个球的半径分别为R1，R2，R3，∵三个球的表面积之比为1：4：9，∴4πReq\o\al(2，1):4πReq\o\al（2,2）：4πReq\o\al（2，3）＝1：4：9,即Req\o\al(2，1）:Req\o\al(2,2)：Req\o\al（2，3）＝1：4：9，∴R1：R2：R3＝1：2:3，∴V1：V2：V3＝eq\f（4，3)πReq\o\al(3,1）：eq\f(4，3)πReq\o\al(3,2）：eq\f(4,3）πReq\o\al(3，3）＝Req\o\al（3，1)：Req\o\al（3,2）：Req\o\al（3，3）＝1：8：27。10．已知球心O到过球面上三点A，B，C的截面的距离等于球半径的一半，且AB＝BC＝CA＝3cm,求球的体积．解析：如图所示，设过A，B，C三点的截面为圆O′，连接OO′,AO，AO′，因为AB＝BC＝CA＝3cm，所以O′为正三角形ABC的中心，且AO′＝eq\f（\r(3），3）AB＝eq\r（3)cm.设球的半径为R,则OO′＝eq\f(1,2）R.由球的截面性质，知△OO′A为直角三角形，所以AO′＝eq\r（OA2－OO′2)＝eq\r（R2－\f（1，4）R2）＝eq\f(\r(3),2)R，所以R＝2cm。所以V球＝eq\f（4，3）πR3＝eq\f(32,3）π(cm3)．［能力提升］（20分钟，40分）11．已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为()A．π B。eq\f(3π,4)C。eq\f(π,2) D。eq\f（π，4)解析：设圆柱的底面半径为r,球的半径为R,且R＝1，由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知，r，R及圆柱的高的一半构成直角三角形．∴r＝eq\r（12－\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1,2)))2）＝eq\f（\r(3)，2).∴圆柱的体积为V＝πr2h＝eq\f(3,4)π×1＝eq\f（3π,4）。故选B.答案:B12．长方体的共顶点的三个侧面面积分别为eq\r(3）、eq\r(5）、eq\r（15），则它的外接球的表面积为________．解析：设长方体的有公共顶点的三条棱的长分别为x、y、z，则由已知得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(xy＝\r（3），,yz＝\r(5),，zx＝\r（15)，））解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3),，y＝1，,z＝\r(5)))所以球的半径R＝eq\f(1，2）eq\r（x2＋y2＋z2）＝eq\f(3，2).所以S球＝4πR2＝9π。答案：9π13．有三个球，第一个球内切于正方体