多元复合函数微分法

高等院校非数学类本科数学课程——多元微积分学大学数学（三）脚本编写：彭亚新课件制作：彭亚新第五讲多元复合函数微分法主讲教师：彭亚新多元复合函数微分法共35页，您现在浏览的是第1页!章多元函数微分学第五节多元复合函数微分法熟悉多元函数全导数的概念和计算方法。熟练掌握复合函数的链导法则。能熟练地、准确地计算二、三元复合函数的导数。了解全微分形式不变性。本节教学要求：多元复合函数微分法共35页，您现在浏览的是第2页!请点击第五节多元复合函数微分法一.全导数三.全微分形式不变性二.链导法则多元复合函数微分法共35页，您现在浏览的是第3页!多元函数经复合运算后,一般仍是多元函数,但也可能成为一元函数.按前面关于多元函数的讨论方法,复合函数求导法则的研究可从复合后成为一元函数的情况开始.这就是全导数问题.一.全导数多元复合函数微分法共35页，您现在浏览的是第4页!例解你能由此猜想到多元函数的复合函数求导法则吗？+多元复合函数微分法共35页，您现在浏览的是第5页!(全导数公式)定理多元复合函数微分法共35页，您现在浏览的是第6页!(全导数公式)现在证明定理定理多元复合函数微分法共35页，您现在浏览的是第7页!由可导,故必连续,从而时,定理获证为什么取绝对值?多元复合函数微分法共35页，您现在浏览的是第8页!设以下函数满足定理的条件,写出二元和三元函数的全导数公式:请同学自己写例多元复合函数微分法共35页，您现在浏览的是第9页!你做对了吗?多元复合函数微分法共35页，您现在浏览的是第10页!假设所有出现的函数求导运算均成立,试想一下如何求下面函数的导数：多元复合函数微分法共35页，您现在浏览的是第11页!从上面的作法可以看出,将复合的多元函求函数偏导数.全导数公式求导,在具体求导过程中实质上是数中其余的变量看成常数,对某一个变量运用你能由此得出多元复合函数的求导法则吗?多元复合函数微分法共35页，您现在浏览的是第12页!定理设在点对应点可微,则复合函数在点处可导,且处均可导,且在m个n元函数

一个m元函数

一个n元函数该定理可视为全导数定理的推广:看成常数,运用全导数公式,将求导记号作相应改变即可证明该定理.将诸多元复合函数微分法共35页，您现在浏览的是第13页!设求例解多元复合函数微分法共35页，您现在浏览的是第14页!设求令则关于u的一元函数例解多元复合函数微分法共35页，您现在浏览的是第15页!设其中求令则例解多元复合函数微分法共35页，您现在浏览的是第16页!设函数均可微,求gg例解多元复合函数微分法共35页，您现在浏览的是第17页!对二元函数来说,在可微的条件下,f的全微分总可写为：不论x和y是自变量还是中间变量,详细的推导过程请同学自己看书.多元复合函数微分法共35页，您现在浏览的是第18页!设应用全微分形式不变性求与比较,得例解多元复合函数微分法共35页，您现在浏览的是第19页!下面看另一种解法.例解多元复合函数微分法共35页，您现在浏览的是第20页!将例中的情形进行一般性的描述由此可推至一般的情况多元复合函数微分法共35页，您现在浏览的是第21页!+全导数公式图示多元复合函数微分法共35页，您现在浏览的是第22页!从而由一元函数导数导定义,取的极限:给x

以增量,相应地有证多元复合函数微分法共35页，您现在浏览的是第23页!设,求令则例解多元复合函数微分法共35页，您现在浏览的是第24页!开始对答案多元复合函数微分法共35页，您现在浏览的是第25页!一般多元复合函数的求导法则二.链导法则多元复合函数微分法共35页，您现在浏览的是第26页!将y看成常数将x看成常数分别将x,y看成常数,按全导数公式求导,而在具体运算时,实质上又是求多元函数的偏导数.多元复合函数微分法共35页，您现在浏览的是第27页!定理设在点对应点可微,则复合函数在点处可导,且处均可导,且在m个n元函数

一个m元函数

一个n元函数多元复合函数微分法共35页，您现在浏览的是第28页!设满足定理的条件,则有例多元复合函数微分法共35页，您现在浏览的是第29页!设求例解多元复合函数微分法共35页，您现在浏览的是第30页!设求自己做例解多元复合函数微分法共35页，您现在浏览的是第31页!设函数均可微,求gg例解多元复合函数微分法共35页，您现在浏览的是第32页!记得吗?一元函数的微分有一个重要性质：一阶微分形式不变性对函数不论u是自变量还是中间变量,在可微的条件下,均有三.全微分形式不变性多元复合函数微分法共35页，您现在浏览的是第