2018年文科数学全国三卷真题及答案

2018年数学试题文(全国卷3)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求的.)TOC\o"1-5"\h\z已知集合A={xIx-1三0},B={0,1,2},则AIB=()A.{0}B.{1}C.{1,2}D.{0,1,2}(1+i)(2-i)=()A.-3—iB.-3+iC.3—iD.3+i中国古建筑借助樺卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫棒头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是棒头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()4.若sina=4.若sina=，则cos2a=3则不用现金支若某群体中的成员只用现金支付的概率为，既用现金支付也用非现金支付的概率为付的概率为()则不用现金支TOC\o"1-5"\h\zA.B.C.D.函数f(x)=tanX的最小正周期为()1+tan2xA.—B.—C.兀D.2兀42下列函数中，其图像与函数y=lnx的图像关于直线x=1对称的是()A.y=ln(1-x)B.y=ln(2-x)C.y=ln(1+x)D.y=ln(2+x)

8.直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A,B两点，点P在圆(x-2)2+y2=2上，则AABP面积的取值范围是()A.[A.[2,6〕B.【4,8〕C.[V2,3何D.[2逅,3运]已知双曲线C：兰-22=1(a>0,b>0)的离心率为，则点(4,0)到C的渐近线的a2b2距离为()A.72B.2C.D.2r22AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若AABC的面积为血+b2—c2，则c=4()A.B.巴C.色A.B.巴C.色D.巴34612.设A，BC，D是同一个半径为4的球的球面上四点，AABC为等边三角形且其面积为"3，则三棱锥D-ABC体积的最大值为()A.12爲B.A.12爲B.1^-'3C.24杼D.54^3二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）TOC\o"1-5"\h\z13.已知向量a=（1,2）,b=（2,-2）,c=（1,分.若c〃（2a+b），则X=.14．某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是2x+y+3三0,15.若变量x,y满足约束条件卜-2y+4三0,则z=x+-y的最大值是.x一2W0.'16.已知函数f（x）=In（1-x2-x）+1,f（a）=4，则f（-a）=.三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~31题为必考题，每个试考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分。17．（12分）等比数列｛a｝中，a=1，a=4a．n153⑴求｛a｝的通项公式；n⑵记S为｛a｝的前n项和.若S=63，求m.nnm18．（12分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间（单位:min）绘制了如下茎叶图:

第一种生产方式第二种生产方式si655689976210I2234566S776543328144521100g0⑴根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高并说明理由；⑵求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表:超过m不超过m第一种生产方式第二种生产方式⑶根据⑵中的列表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异附：K2(ad一be附：K2(ad一be)2(a+b)(e+d)(a+e)(b+d)P(K2三k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.82819．（12分）如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是匚口上异于C，D的点.⑴证明：平面AMD丄平面BMC；⑵在线段AM上是否存在点P，使得MC〃平面PBD说明理由.

20．（12分）已知斜率为k的直线1与椭圆C送++二1交于A，B两点•线段AB的中点为M（】，m）（m〉。）・⑴证明：k<--;2uuruturuur0■证明：2FP二FA+FBuuuruuuruuur⑵设F为C的右焦点，P为C上一点，且FP+FA+FB=21．（12分）已知函数f（x）=3二.ex⑴求由线y=f（x）在点（0,-1）处的切线方程;⑵证明：当a三1时，f（x）+e三0.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分22．［选修4—4：坐标系与参数方程］（10分）在平面直角坐标系xOy中，OO的参数方程为F―汽（9为参数）,Iy=sin9过点C,-<2）且倾斜角为a的直线l与0O交于A,B两点.⑴求a的取值范围；⑵求AB中点P的轨迹的参数方程.23．［选修4—5：不等式选讲］（10分）设函数f（x）=|2x+1+|x-1|.⑴画出y=f（x）的图像；⑵当x丘［0,+8）,f（X）Wax+b,求a+b的最小值参考答案一、选择题1.答案：C解答：A二｛xIx—1>0｝二｛xIx>1｝,B二｛0,1,2｝，二AIB二｛1,2｝.故选C.答案：D解答：(1+i)(2—i)—2+i—i2—3+i，选D.答案：A解答：根据题意，A选项符号题意;答案：B27解答：cos2a—1一2sin2a—1一§—9•故选B.答案：B解答：由题意P—1—0.45—0.15—0.4.故选B.答案：C解答：sinxtanxcosxsinxcosx1.f(x)————sinxcosx—sin2x,1+tan2xsin2xsin2x+cos2x21+cos2x2兀•••f(x)的周期T—亍—兀•故选C.答案：B解答：f(x)关于x=1对称，则f(x)=f(2—x)—ln(2—x).故选B.答案：A解答：由直线x+y+2—0得A(—2,0),B(0,—2)，二IAB1=\；22+22—2\2，圆2+2(x—2)2+y2=2的圆心为(2,0)圆心到直线x+y+2—0的距离为=2^2,1+1•••点P到直线x+y+2—0的距离的取值范围为2迈—迈<d<2^2+迈，即__.1<2<d<3巨，二S—IABIdg[2,6].AABP2答案：D解答：当x—0时，y—2，可以排除A、B选项；又因为y'——4x3+2x——4x（x+才）（x—才），则f'（x）>0的解集为（-叫-耳）U（0，¥），f（x）单调递增区间为（—O—¥），（°，¥）;f'（x）<0的解222迈集为（—亍，°）U（丁，+Q，f（x）单调递减区间为（一丁，°），（丁,+Q•结合图象,可知D选项正确.答案：D解答：cb由题意e=—=J2，则一-1，故渐近线方程为x土y—0，则点（4,0）到渐近线的距离aa为d-竺-2•迈■故选D.答案:C解答：SAABC=丄absinC,故tanC=1,^2a2+SAABC=丄absinC,故tanC=1,^24二4二2abcosC，又SAABCC=—.故选C.4答案:B解答：如图，AABC为等边三角形，点0为A,B,C,D外接球的球心，G为AABC的重心，由S=9J3，得AB=6，取BC的中点H，二AH=AB-sin60o=3爲，二AG=-AH=2爲,AABC3•••球心0到面ABC的距离为d="2-(2j3)2=2，二三棱锥D-ABC体积最大值V=1xV=1x9爲x(2+4)=18朽.D-ABC3二、填空题113.答案：2解答：解答：rr2a+b=(4,2)，rr1■/c//(2a+b),.・.1x2—九x4=0，解得X=-.214．答案：分层抽样解答：由题意，不同龄段客户对其服务的评价有较大差异，故采取分层抽样法.15．答案：3解答：由图可知在直线x―2y+4=0和x=2的交点(2,3)处取得最大值，故z=2+3x3=3.

16.答案：16.答案：—2解答：f(—x)—lnC+x2+x11(xGR)f(x)+f(—x)=ln(*1+x2—x)+1+ln(1+x2+x)+1—ln(1+x2—x2)+2=2,f(a)+f(—a)—2，二f(—a)——2.三、解答题17.答案:(1)a—2n-1或a—(—2)n-1；(2)6.nna解答：（1）设数列｛a｝的公比为q，二q2—4，二q—±2.na3..a—2n—1c或a—(—2)n—1.nn由(1)知，S—「亍—2n—1或S—1：(-；)"—1n1—2n1+23—2m—2m—1—63或S—m3—63(舍)，解答：x—84x—74.7（1）第一种生产方式的平均数为x1—84，第二种生产方式平均数为x2—74"x>x，所以第一种生产方式完成任务的平均时间大于第二种，.•.第二种生产方式的12效率更高.

K2二na—bc)2二4°心15—5X5)2二10>6.6353)•••有(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)20x20x20x3)•••有的把握认为两种生产方式的效率有差异.19．解答：(1)t正方形ABCD丄半圆面CMD,•AD丄半圆面CMD，二AD丄平面MCD.CM在平面MCD内，AD丄CM，又M是半圆弧CD上异于C,D的点，•CM丄MD.又ADIDM=D，•CM丄平面ADM，:CM在平面BCM内，•平面BCM丄平面ADM.(2)线段AM上存在点P且P为AM中点，证明如下：连接BD,AC交于点O，连接PD,PB,PO；在矩形ABCD中，O是AC中点，P是AM的中点；•OP//•OP//MC，tOP在平面PDB内，MC不在平面PDB内，•mc//平面PDB.20．解答：(1)设直线1方程为y=kx+t，设A(x,y),B(x,y),1122y=kx+1<x2y2联立消y得(4k2+3)x2+8ktx+4t2—12=0,—+二=1TOC\o"1-5"\h\zI43则A=64k2t2—4(412—12)(3+4k2)>0,得4k2+3>12…①，—8kt6t且x+x==2,y+y=k(x+x)+2t==2m,123+4k2512123+4k2'■/m>0，二t>0且k<0.3+4k2且t=…②.—4k由①②得4k由①②得4k2+3>(3+4k2)216k2■/k<0，二k<■/k<0，二k<—-.2uuruuruurr(2)FP+FA+FB=0uuruuurrFP+2FM=0,■/M(1护),F(1,0)P的坐标为(1,—2m).由于P在椭圆上，•••4+警=1，二m=I,M(1,—|),=1，y—y两式相减可得x—x12x+xT”，y+y12又叮x又叮x2=2，人+y2，二k=—1,3直线1方程为y—4=—(x—1),即y=—x+4,x2y2+-消去y得28x消去y得28x2—56x+1二0x1,214土3^21142+y22+y22=35IFAI+IFB1=(x-1)2+y2+uur,33IFP1=\：(1-1)2+(-2-0)2=2，uuuruuuruuur/.IFAI+IFB1=21FPI.21．解答:(1)由题意：f(x)=ax2+x-1得ex(2ax+1)e(2ax+1)ex-(ax2+x-1)ex-ax2+2ax-x+2(ex)2ex2f'(0)=-=2，即曲线y=f(x)在点(0,-1)处的切线斜率为2,二y-(-1)=2(x—0)，即2x—y—1=0；2)证明：由题意：原不等式等价于：ex+1+ax2+x-1>0恒成立；令g(x)=ex+1+ax2+x-1，/.g'(x)=ex+1+2ax+1,g''(x)=ex+1+2a,■/a>1，二g''(x)>0恒成立，/.g'(x)在(-a,+8)上单调递增，g'(x)在(―叫+8)上存在唯一x使g'(x)=0,00ex0+1+2ax0+1=0，即ex0+1=-2ax0一1，且g(x)在(-8,x0)上单调递减，在(x0,+8)上单调递增，•••g(x)>g(x0)-又g(x)=ex0+1+ax2+x-1=ax2+(1-2a)x-2=(ax+1)(x-2)，00000000g)=e1-a—1,va>1,二0We-a—1<e—1，二xW-—,二g(x)>0,得证.

a0a0综上所述：当a>1时，f(x)+e>0.

22．解答：fx二cos0(1)eO的参数方程为fQ，二eO的普通方程为x2+y2=1，当a=90。时,[y二sm6直线：l:x=0与eO有两个交点，当az90。时，设直线l的方程为y二xtana-迈，由直线l与eO有两个交点有10+0f21<1，得tan2a>1，二tana>1或tana<—1,二1+tan2a45°<a<90。或90°<a<135。，综上aG(45。,135。).x2+y2=1①有x2+(kx—yl2)2=1，整理⑵点P坐标为(xx2+y2=1①有x2+(kx—yl2)2=1，整理丸③x—1+k2

y=三④1+k2方程为y=戲-迈，A(x1,y1)丸③x—1+k2

y=三④1+k2得(1+k2)x2—2屁