2020高中数学 第三章 直线与方程 1 两条直线的交点坐标练习（含解析）2

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE10-学必求其心得，业必贵于专精第25课时两条直线的交点坐标对应学生用书P69知识点一两条直线的交点问题1．直线x＋2y－2＝0与直线2x＋y－3＝0的交点坐标是（)A．（4,1）B．（1，4)C．eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(4，3），\f(1,3)））D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1,3），\f（4,3）))答案C解析由方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＋2y－2＝0，，2x＋y－3＝0，)）得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f（4，3），,y＝\f(1,3）。））即直线x＋2y－2＝0与直线2x＋y－3＝0的交点坐标是eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(4，3)，\f（1，3)）)．2．如果直线l1：4ax＋y＋2＝0与直线l2：(1－3a）x＋y－2＝0相交，交点纵坐标为8，则a的值为()A．eq\f（5，27)B．－eq\f（5，27）C．－eq\f(2,9)D．eq\f（2，9)答案A解析由方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4ax＋y＋2＝0，，1－3ax＋y－2＝0，))解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f（4，1－7a),，y＝\f（－2a－2，1－7a），）)由题意知eq\f(－2a－2，1－7a）＝8，即a＝eq\f（5，27)．知识点二直线过定点问题3．无论k为何值，直线(k＋2)x＋（1－k）y－4k－5＝0都过一个定点，则该定点为()A．（1,3）B．（－1,3)C．（3，1）D．（3，－1）答案D解析直线方程可化为(2x＋y－5）＋k（x－y－4）＝0，此直线过直线2x＋y－5＝0和直线x－y－4＝0的交点．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－5＝0,,x－y－4＝0,）)解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝－1.)）因此所求定点为(3，－1）．故选D．4．若非零数a，b满足3a＝2b（a＋1），且直线eq\f(2x,a）＋eq\f(y，2b）＝1恒过一定点，则定点坐标为（）A．eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2），3））B．(1，3）C．（－3，－2）D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1，3)，2))答案A解析∵非零数a，b满足3a＝2b(a＋1)，∴eq\f（1，2b)＝eq\f(1，3)＋eq\f（1，3a）．∵eq\f（2x，a)＋eq\f(y，2b)＝1,∴eq\f（2x,a)＋eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1，3）＋\f(1,3a））)·y＝1，∴6x＋（a＋1)y＝3a,∴（6x＋y)＋a（y－3)＝0．令y－3＝0，且6x＋y＝0，∴x＝－eq\f(1,2），y＝3，∴定点坐标为eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f(1,2),3））．知识点三对称问题5．若直线l1：y＝k（x－4）与直线l2关于点(2，1）对称，则直线l2恒过定点()A．(0，4）B．（0,2）C．（－2，4）D．（4，－2）答案B解析直线l1：y＝k（x－4）经过定点（4，0），其关于点（2，1）对称的点为(0，2）．又直线l1：y＝k(x－4）与直线l2关于点（2,1）对称，故直线l2恒过定点（0，2）．6．求点P（－4,2)关于直线l：2x－y＋1＝0的对称点P′的坐标．解解法一:设点P′(x，y),由PP′⊥l及PP′的中点在l上得方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f（y－2，x＋4）·2＝－1，,2·\f(x－4,2)－\f(y＋2,2）＋1＝0，））即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＋2y＝0,，2x－y－8＝0,）)解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(16,5),，y＝－\f(8,5）。))∴P′eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（16,5)，－\f(8，5)))．解法二：设点P′(x，y)，PP′⊥l于M，∵PP′的方程为（x＋4)＋2（y－2）＝0，即x＋2y＝0,∴解方程组eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＋2y＝0,,2x－y＋1＝0，）)得PP′与l的交点Meq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f(2，5）,\f（1，5））），由中点坐标公式得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（\f(－4＋x，2）＝－\f(2,5），,\f(2＋y,2)＝\f(1,5），))得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝\f（16，5），，y＝－\f（8，5）。））故P′eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(16，5)，－\f(8,5）))．对应学生用书P69一、选择题1．设A＝｛(x,y)|x＋y－4＝0},B＝{（x，y)|2x－y－5＝0｝，则集合A∩B＝(）A．{1,3}B．{（1，3）｝C．{(3，1）｝D．∅答案C解析由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－4＝0，,2x－y－5＝0，））得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝3，，y＝1，))故A∩B＝｛(3,1）}．2．过两直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程为()A．19x－9y＝0B．9x＋19y＝0C．19x－3y＝0D．3x＋19y＝0答案D解析过两直线交点的直线系方程为x－3y＋4＋λ(2x＋y＋5）＝0，代入原点坐标，求得λ＝－eq\f（4,5）,故所求直线方程为x－3y＋4－eq\f（4，5)（2x＋y＋5)＝0,即3x＋19y＝0．3．直线xcosθ＋ysinθ＋a＝0与xsinθ－ycosθ＋b＝0的位置关系是（)A．平行B．垂直C．斜交D．与a，b，θ的值有关答案B解析当cosθ＝0或sinθ＝0时，这两条直线中，有一条斜率为0,另一条斜率不存在，两条直线垂直，当cosθ和sinθ都不等于0时，这两条直线的斜率分别为－eq\f（1，tanθ)和tanθ,显然，斜率之积等于－1，故两直线垂直．综上，两条直线一定是垂直的关系,故选B．4．当a为任意实数时，直线（a－1)x－y＋2a＋1＝0恒过的定点是(）A．(2，3)B．(－2，3)C．eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(1，－\f（1,2)))D．（－2，0)答案B解析直线方程可化为（x＋2)a－x－y＋1＝0，由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2＝0，，－x－y＋1＝0,)）解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝－2,，y＝3.)）故选B．5．若直线l1：y＝kx＋k＋2与直线l2:y＝－2x＋4的交点在第一象限内，则实数k的取值范围是(）A．k＞－eq\f（2，3）B．k＜2C．－eq\f（2,3）＜k＜2D．k＜－eq\f(2，3)或k＞2答案C解析由题意知,直线l1过定点P（－1，2)，斜率为k，直线l2与x轴、y轴分别交于点A（2,0）,B(0,4)，若直线l1与l2的交点在第一象限内，则l1必过线段AB上的点(不包括A，B）,因为kPA＝－eq\f(2,3），kPB＝2，所以－eq\f（2，3）＜k＜2．故选C．二、填空题6．已知A＝{（x，y）｜x＋y－2＝0｝，B＝｛（x，y)|x－2y＋4＝0｝，C＝{（x，y)|y＝3x＋b},若(A∩B)⊆C,则b＝________．答案2解析A∩B＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x,y\b\lc\|\rc\（\a\vs4\al\co1（\b\lc\{\rc\}（\a\vs4\al\co1(x＋y－2＝0，,x－2y＋4＝0）)））))＝｛(0，2)｝，把（0，2)代入y＝3x＋b,得b＝2．7．已知两点A（0，1），B（1，0),若直线y＝k(x＋1）与线段AB总有公共点，则k的取值范围是________．答案[0，1]解析y＝k(x＋1）是过定点P（－1，0）的直线，kPB＝0，kPA＝eq\f（1－0，0－－1）＝1，∴k的取值范围是[0，1］．8．直线l和两条直线l1：x－3y＋10＝0及l2:2x＋y－8＝0都相交,且这两个交点所成的线段的中点是P(0，1），则直线l的方程是________．答案x＋4y－4＝0解析由直线l和两直线l1，l2均有交点，知这两个交点必分别在l1,l2上，设两交点坐标分别为A(3y1－10，y1）,B（x2，－2x2＋8）．∵线段AB的中点是P（0，1)，∴eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x2＋3y1－10＝0，,－2x2＋y1＋8＝2，）)解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（y1＝2，，x2＝4。））∴A,B两点的坐标分别为A(－4,2）,B(4,0)，∴过A,B的直线方程为x＋4y－4＝0．三、解答题9．在平行四边形ABCD中,A(1，1)，B（7，3)，D(4,6)，点M是线段AB的中点，线段CM与BD交于点P．(1）求直线CM的方程；（2）求点P的坐标．解（1）设点C的坐标为(x，y)．在平行四边形ABCD中，因为AB∥CD，所以kCD＝kAB，则eq\f（y－6,x－4）＝eq\f(3－1,7－1）．又因为AD∥BC，所以kAD＝kBC,则eq\f(y－3,x－7）＝eq\f（6－1,4－1)．联立，解得x＝10，y＝8,所以C（10，8）．因为M为AB的中点,所以点M的坐标为（4，2)．因为C(10，8)，M(4,2)，所以直线CM的方程为x－y－2＝0．（2)因为B（7，3），D（4,6)，所以直线BD的方程为x＋y－10＝0．联立方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y－2＝0，，x＋y－10＝0，)）解得x＝6，y＝4，所以点P的坐标为(6，4）．10．某地A，B两村在一直角坐标系下的位置分别为A(1,2),B（4，0)，一条河所在直线的方程为l：x＋2y－10＝0．若在河边l上建一座供水站P，使分别到A，B两镇的管道之和最省，问供水站P应建在什么地方？解如图,作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于P，因为若P′（异于P)在直线l上，则:｜AP′｜＋｜BP′｜＝｜A′P′|＋|BP′｜〉|A′B|,因此供水站只能建在P处,才能使得所用管道最省．设A′（a，b）,则AA′的中点在l上，且AA′⊥l,即eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(\f（a＋1,2）＋2×\f(b＋2，2)－10＝0，，\f（b－2，a－1）·\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f（1，2）））＝－1。))解之得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（a＝3，,b＝6，))即A′(3，6