2020高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 双曲线 .2 双曲线的简单性质训练 2-1

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE11-学必求其心得，业必贵于专精3.2双曲线的简单性质［A组基础巩固］1．若双曲线eq\f(x2，a2）－eq\f（y2，3）＝1(a〉0)的离心率为2，则a等于(）A．2 B.eq\r(3）C。eq\f(3,2） D．1解析:∵c2＝a2＋3，∴eq\f（c2，a2)＝eq\f(a2＋3，a2)＝4，得a＝1。答案：D2．已知双曲线eq\f(x2，a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0）的一个焦点为F(2，0)，且双曲线的渐近线与圆（x－2）2＋y2＝3相切,则双曲线的方程为(）A.eq\f（x2，9)－eq\f（y2，13)＝1 B。eq\f（x2,13)－eq\f（y2,9)＝1C。eq\f（x2，3)－y2＝1 D．x2－eq\f（y2，3)＝1解析：利用渐近线与圆相切以及焦点坐标，列出方程组求解．由双曲线的渐近线y＝±eq\f(b,a)x与圆（x－2)2＋y2＝3相切可知eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（\a\vs4\al(\f(|±\f(b，a)×2|，\r（1＋\f(b,a）2)）＝\r(3），,c＝2，,a2＋b2＝c2，）)）解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（a＝1，,b＝\r(3).))故所求双曲线的方程为x2－eq\f（y2，3）＝1.答案：D3．已知双曲线eq\f(x2，a2)－eq\f(y2,b2）＝1(a>0，b〉0）的左、右焦点分别为F1,F2，过点F2作与x轴垂直的直线与双曲线的一个交点为P，且∠F1PF2＝2∠PF1F2，则该双曲线的离心率为（）A.eq\r(2)－1 B.eq\r(2）＋1C.eq\r(2) D.eq\r(3)解析：由题设知∠F1PF2＋∠PF1F2＝90°.又∠F1PF2＝2∠PF1F2，所以∠PF1F2＝30°。不妨设P（c，d）（d〉0),则｜PF2｜＝d,｜PF1｜＝2d，|F1F2|＝eq\r（3)d。从而2a＝｜PF1｜－｜PF2|＝2d－d＝d，2c＝|F1F2｜＝eq\r（3)d,故e＝eq\f(2c，2a)＝eq\f(\r（3）d，d）＝eq\r(3)。答案：D4．若双曲线经过点(6,eq\r(3）)，且渐近线方程是y＝±eq\f(1，3)x，则这条双曲线的方程是（）A.eq\f（x2，36)－eq\f(y2,9)＝1 B。eq\f（x2,81）－eq\f(y2,9)＝1C。eq\f(x2,9）－y2＝1 D。eq\f（x2,18）－eq\f(y2,3）＝1解析：设双曲线的方程为y2－eq\f(x2，9)＝λ(λ≠0），将(6，eq\r(3）)代入该方程可得λ的值．答案：C5．已知双曲线eq\f（x2,4）－y2＝1，则其渐近线方程是________，离心率e＝________.解析：因为a2＝4，b2＝1,所以c2＝5.即a＝2，c＝eq\r(5).e＝eq\f(\r（5),2).将eq\f（x2，4)－y2＝1中右边的“1”换为“0”，可解出渐近线方程．答案：y＝±eq\f（1,2)xeq\f(\r(5),2)6．已知直线l与双曲线C:x2－y2＝2的两条渐近线分别交于A，B两点，若AB的中点在该双曲线上，O为坐标原点，则△AOB的面积为__________．解析:由题意得双曲线的渐近线方程为y＝±x,设A(x1，x1)，B(x2,－x2)，则AB的中点坐标为eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(x1＋x2,2),\f(x1－x2，2))），∴eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（x1＋x2,2))）2－eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（x1－x2,2)）)2＝2，即x1x2＝2，∴S△AOB＝eq\f（1,2)|OA|·｜OB|＝eq\f(1,2）｜eq\r（2）x1|·|eq\r(2）x2|＝x1x2＝2。答案:27．已知双曲线eq\f（x2,a2)－eq\f（y2，b2)＝1（a〉0，b〉0）的一条渐近线方程是y＝eq\r(3)x,它的一个焦点与抛物线y2＝16x的焦点相同，则双曲线的方程为________．解析:由双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0,b〉0）的一条渐近线方程为y＝eq\r(3）x得eq\f（b，a）＝eq\r（3），∴b＝eq\r（3）a.∵抛物线y2＝16x的焦点为F(4，0），∴c＝4。又∵c2＝a2＋b2，∴16＝a2＋(eq\r（3)a）2，∴a2＝4，b2＝12。∴所求双曲线的方程为eq\f(x2,4）－eq\f（y2，12)＝1。答案:eq\f（x2，4）－eq\f(y2，12)＝18．根据下列条件求双曲线的标准方程．（1）过点P(3，－eq\r(5)），离心率为eq\r(2)；(2)与椭圆eq\f（x2，25)＋eq\f(y2,9)＝1的公共焦点，且离心率e＝eq\f（4,3）.解析：(1）若双曲线的焦点在x轴上,设双曲线的标准方程为eq\f（x2，a2）－eq\f（y2，b2)＝1（a〉0，b〉0）．∵e＝eq\r（2)，∴eq\f(c2,a2）＝2，即a2＝b2.①又双曲线过点P(3，－eq\r(5）），则eq\f(9,a2)－eq\f（5，b2)＝1,②由①②，得a2＝b2＝4，∴双曲线的标准方程为eq\f(x2,4)－eq\f（y2，4）＝1.若双曲线的焦点在y轴上，设双曲线的标准方程为eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2）＝1（a〉0，b>0）．同理a2＝b2，③eq\f（5,a2）－eq\f（9,b2)＝1，④由③④，得a2＝b2＝－4(舍去)．综上，双曲线的标准方程为eq\f（x2，4）－eq\f(y2，4）＝1.（2)椭圆eq\f（x2,25）＋eq\f（y2，9)＝1的焦点坐标为（－4,0）和(4,0），设双曲线的标准方程为eq\f(x2，a2)－eq\f(y2,b2）＝1（a〉0，b>0）,则c＝4，e＝eq\f（c，a)＝eq\f(4,3)，∴a＝3，b2＝c2－a2＝7，∴所求双曲线的标准方程为eq\f(x2，9）－eq\f（y2，7）＝1。9．设双曲线eq\f(x2,9）－eq\f(y2,16）＝1的右顶点为A，右焦点为F。过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,求△AFB的面积．解析：双曲线eq\f(x2，9）－eq\f(y2，16）＝1的右顶点为A（3，0）,右焦点F（5,0）,一条渐近线为y＝－eq\f(4，3）x，则BF所在直线为y＝－eq\f(4，3）(x－5）,由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（y＝－\f（4，3)x－5，\f（x2，9)－\f(y2,16)＝1）），得B（eq\f（17，5)，eq\f(32,15))，∴S△AFB＝eq\f(1，2)·|AF｜·|yB｜＝eq\f(32，15）.[B组能力提升］1．已知双曲线C：eq\f(x2,9)－eq\f(y2，4)＝1的两条渐近线分别是l1,l2，点M是双曲线C上一点，若点M到渐近线l1的距离是3,则点M到渐近线l2的距离是()A.eq\f（12，13） B．1C.eq\f(36,13) D．3解析：双曲线C:eq\f(x2,9)－eq\f（y2,4）＝1的渐近线方程为2x±3y＝0，设M（x1，y1)为双曲线C上一点,则eq\f（x\o\al(2,1)，9）－eq\f(y\o\al(2,1)，4）＝1，即4xeq\o\al（2,1）－9yeq\o\al（2,1)＝36，点M到两条渐近线的距离之积为eq\f(|2x1－3y1｜，\r(22＋32))·eq\f(|2x1＋3y1|,\r（22＋32）)＝eq\f(｜4x\o\al（2，1)－9y\o\al（2,1)|,13）＝eq\f(36,13）为常数，所以当点M到渐近线l1的距离是3时，点M到渐近线l2的距离是eq\f（36，13)÷3＝eq\f（12，13),选A.答案:A2．已知等边三角形ABC中，D，E分别是CA,CB的中点，以A，B为焦点且过D，E的椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则下列关于e1，e2的关系式不正确的是()A．e2＋e1＝2 B．e2－e1＝2C．e2e1＝2 D。eq\f(e2，e1）>2解析：设三角形的边长为2.由题意,可求得椭圆的离心率e1＝eq\f（2,\r(3）＋1），双曲线的离心率e2＝eq\f(2，\r(3)－1)，所以e1＋e2＝2eq\r（3）,e1e2＝2,e2－e1＝2，eq\f(e2，e1）＝2＋eq\r(3)>2。故选A。答案：A3．设双曲线eq\f（x2，a2)－eq\f（y2，b2)＝1（a〉0，b〉0）的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点．若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为________．解析：根据两条直线垂直的条件，求出a，b之间的关系,进一步求出渐近线的斜率．由题设易知A1(－a，0）,A2(a,0），Beq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(c，\f（b2,a)）），Ceq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（c，－\f（b2,a))）.∵A1B⊥A2C，∴eq\f(\f(b2，a)，c＋a）·eq\f（－\f(b2,a),c－a)＝－1，整理得a＝ B.∵渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x,即y＝±x,∴渐近线的斜率为±1。答案：±14．在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点，若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为________．解析：先求双曲线的渐近线方程,再结合图形求c的最大值．所求的c的最大值就是双曲线的一条渐近线x－y＝0与直线x－y＋1＝0的距离，此距离d＝eq\f（1，\r（2）)＝eq\f（\r（2），2）.答案:eq\f(\r（2),2）5．已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上,离心率为eq\r（2）,且过点（4，－eq\r(10))．（1）求双曲线方程；（2)若点M（3，m)在双曲线上，求证：MF1⊥MF2；（3）求△F1MF2的面积．解析：（1）∵e＝eq\r（2）,∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ（λ≠0）．∵过点(4，－eq\r（10）),∴16－10＝λ，即λ＝6.∴双曲线方程为x2－y2＝6.(2)证明：易知F1(－2eq\r(3），0)，F2（2eq\r(3），0）．∴kMF1＝eq\f（m,3＋2\r(3）），kMF2＝eq\f（m，3－2\r（3)）.∴kMF1·kMF2＝eq\f(m2，9－12）＝－eq\f(m2,3）。∵点（3，m）在双曲线上，∴9－m2＝6，m2＝3。故kMF1·kMF2＝－1.即MF1⊥MF2.（3)△F1MF2的底｜F1F2|＝4eq\r(3),F1F2上的高h＝｜m｜＝eq\r（3），∴S△F1MF2＝eq\f(1，2）×4eq\r（3）×eq\r(3)＝6。6．如图,已知椭圆的离心率为eq\f(\r（2),2），以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1,F2为顶点的三角形的周长为4(eq\r（2)＋1），一双曲线的顶点是该椭圆的焦点，且它的实轴长等于虚轴长，设P为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A，B和C,D,其中A,C在x轴的同一侧．(1)求椭圆和双曲线的标准方程．（2）是否存在题设中的点P,使得｜eq\o（AB,\s\up6（→）)|＋|eq\o(CD，\s\up6（→）)｜＝eq\f(3，4)eq\o（AB，\s\up6(→）)·eq\o（CD，\s\up6（→))？若存在，求出点P的坐标；若不存在,请说明理由．解析:（1)设椭圆的标准方程为eq\f(x2,a2）＋eq\f（y2,b2)＝1(a>b>0），半焦距为c.由题意，知椭圆的离心率为eq\f（c,a)＝eq\f(\r(2）,2)，得a＝eq\r（2)c.∵2a＋2c＝4(eq\r（2）＋1），∴a＝2eq\r（2），c＝2，∴b2＝a2－c2＝4，∴椭圆的标准方程为eq\f（x2,8)＋eq\f（y2，4）＝1,∴椭圆的焦点坐标为（±2，0）．∵双曲线为等轴双曲线，且顶点是椭圆eq\f（x2,8）＋eq\f(y2，4）＝1的焦点,∴该双曲线的标准方程为eq\f(x2,4)－eq\f（y2，4）＝1.（2）假设存在满足题意的点P。设P(x0，y0），则kPF1＝eq\f（y0,x0＋2）,kPF2＝eq\f（y0,x0－2),∵点P在双曲线eq\f(x2,4）－eq\f（y2,4)＝1上,∴kPF1·kPF2＝1.设PF1的方程为y＝k（x＋2），则PF2的方程为y＝eq\f（1,k)（x－2)，设A（x1，y1）,B（x2,y2），由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,8）＋\f（y2，4)＝1,y＝kx＋2））,得（2k2＋1）x2＋8k2x＋8k2－8＝0，故x1＋x2＝－eq\f（8k2，2k2＋1)，x1x2＝eq\f（8k2－8，2k2＋1)。∴｜eq\o(AB,\s\up6(→））|＝eq\r（1＋k2）·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r（1＋k2）·eq\r(\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f（8k2,2k2＋1）)）2－4×\f(8k2－8,2k2＋1）)＝eq\f(4\r(2)1＋k2，2k2＋1），同理｜eq\o（CD,\s\up6(→）)｜＝eq\f(4\r(2）\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1（1＋\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1,k））)2））,2\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1,k)）)2＋1）＝eq\f（4\r（2)k2＋1，2＋k2)，由题知|eq\o(AB，\s\up6（→））｜＋｜eq\o(CD,\s\up6(→))|＝eq\f（3，4）|eq\