控制工程基础 第三章时间特性分析法课件

第三章时间特性分析法控制系统都是在时间域内进行工作的。因此，时间特性分析法是这些方法中最常用、又是比较精确的方法，它是通过拉普拉斯反变换求出系统输出量的表达式，从而提供了时间响应的全部信息；主要分析一阶和二阶系统的时间响应，最后介绍高阶系统的时间响应；系统的分析主要是分析系统的稳定性、稳态精度和瞬态响应的性能指标这三个方面。时间特性法是分析系统的方法之一，而分析的基础，是确定系统的数学模型。分析系统的方法，还有频率特性法和根轨迹法。第一节时间响应与典型输入信号1、时间响应的概念

控制系统在典型输入信号的作用下，输出量随时间变化的函数关系称为系统的时间响应。描述系统的微分方程的解就是该系统时间响应的数学表达式。时间响应可分为瞬态响应与稳态响应。1）、瞬态响应系统在某一输入信号的作用下，系统的输出量从初始状态到稳定状态的响应过程称为瞬态响应。2）、稳态响应

在某一输入信号的作用后，时间趋于无穷大时系统的输出状态称为稳态响应。图3-1表示某一系统在单位阶跃信号作用下的时间响应的形式。二、典型输入信号控制系统的动态特性可以通过在输入信号作用下，系统的瞬态响应来评价的。系统的瞬态响应不仅取决于系统本身的特性，还与外加输入信号的形式有关。选取输入信号应当考虑以下几个方面，输入信号应当具有典型性，能够反映系统工作的大部分实际情况，输入信号的形式，应当尽可能简单，便于分析处理，输入信号能使系统在最恶劣的情况下工作。在时域分析中，经常采用的典型输入信号有下面几种，其中阶跃信号使用得最为广泛。1.阶跃信号阶跃信号如图3-2(a)所示，其函数表达式为当R=1时，叫做单位阶跃函数，记为1(t)。单位阶跃函数的拉氏变换为在t=0处的阶跃信号，相当于一个数值为常值的信号，在t≥0突然加到系统上。2.斜坡信号（或速度信号）

斜坡信号如图3-2(b)所示，其函数表达式斜坡函数的拉氏变换为当R=1时，叫做单位斜坡函数。这种信号相当于控制系统中加一个按恒速变化的信号，其速度为R。4.脉冲信号脉冲信号如图3-2(d)所示，其数学表达式为单位脉冲函数的拉氏变换为其中，脉冲宽度为h,脉冲面积为1。若对实际脉冲的宽度取趋于零的极限，则为理想单位脉冲函数，记为(t),评价控制系统动态性能的好坏，常以时间域的几个特征量来表示的。由于实际的控制系统总具有储能元件，所以当系统受到输入信号或扰动信号的作用时，系统不可能立刻产生反应，而表现出一定的瞬态响应过程，这种瞬态响应过程，往往以衰减振荡的形式出现。为了评价控制系统对单位阶跃输入的瞬态响应特征，通常采用下列一些性能指标。见图3-3。1.延迟时间td响应曲线第一次达到稳态值的50%所需的时间，叫延迟时间。2.上升时间tr响应曲线从稳态值的10%上升到90%，或从0上升到100%所需的时间都叫做上升时间。对于过阻尼系统（>1）,通常采用10%~90%的上升时间；对于欠阻尼系统（0<<1）,通常采用0~100%的上升时间。3.峰值时间tp响应曲线超过其稳态值而达到第一个峰值所需的时间叫做峰值时间。4.最大超调量Mp和最大百分比超调量Mp%从1开始计算的响应曲线的最大超调量值叫做最大超调量Mp。通常采用百分比表示最大超调量Mp%，定义为：单位阶跃响应曲线偏离稳态值的最大差值与稳态值之比的百分值，即5.调整时间ts在响应曲线的稳态线上，用稳态值的百分数作一个允许误差范围，响应曲线第一次达到并永远保持在这一允许误差范围内所需要的时间，叫做调整时间。调整时间与控制系统的时间常数有关。允许误差的百分比选多大，取决于设计要求，通常取±5%或±2%。调整时间是评价一个系统响应速度快慢的指标。其中，y(∞)代表阶跃响应的终值，即稳态值。最大超调量Mp的数值，直接说明了系统的相对稳定性。对于一、二阶系统，确定这些指标是容易的，但对于高阶系统则是困难的。在一定条件下，可以把高阶系统近似作为低阶（一般为二阶）系统来研究。这样，下面重点研究一、二阶系统的瞬态响应情况。第二节一阶系统的瞬态响应

惯性环节的传递函数为

(3-1)一、一阶系统的数学模型能用一阶微分方程描述的系统称为一阶系统。一阶系统的典型环节是惯性环节。这种系统可看作积分环节被反馈通道包围而成，见图3-4。给一阶系统输入阶跃信号，根据式（3-1）进行拉氏反变换，求出微分方程的解y(t)即为一阶系统的单位阶跃响应。单位阶跃信号的拉氏变换为二.一阶系统的单位阶跃响应

此式代入（3-1）式，可得输出信号拉氏变换为(3-2)将（3-2）式展开成部分分式，可得(3-3)

1.在响应曲线上，找到稳态值的63.2%的A点，并向时间轴t作垂线，与其交点值，即为时间常数T。2.由t=0那一点O（即原点）作响应曲线的切线，与稳态值交于A´点。由A´点向时间轴t作垂线，与其交点值即为时间常数T。此种方法可由下式得到证明。（3-5）当t=3T时间时，响应已达到稳态值的95%，当t=4T时，达到98.2%。因而一阶系统的调整时间ts=(3~4)T，以此来评定响应时间的长短。时间常数T可通过响应曲线求得，可由下述两种方法确定：(3-5)式即为斜率值，由OA´T即可知上述求时间常数的求法是正确的。三．一阶系统的单位斜坡响应单位斜坡函数的拉氏变换为

代入（3-1）式，可得输出信号拉氏变换为（3-6）展开成部分分式

（3-7）取（3-7）式的拉氏反变换，可得（3-8）四.一阶系统的单位脉冲响应单位脉冲函数的拉氏变换为这时式（3-2）为（3-10）取其拉氏反变换得（3-11）时间响应曲线如图3-7所示。除前面分析之外，还有两点值得提出：

1.当输入信号不为单位值时，输入信号的拉氏变换分别为：

阶跃输入

斜坡输入

脉冲输入

对应于不同输入时的响应分别如下列各式阶跃输入

斜坡输入

脉冲输入

例3-1已知某一单位反馈系统的开环传递函数为试求系统的单位阶跃响应。解：首先求出系统的闭环传递函数

因此，闭环传递函数仍为惯性环节，由（3-12）式可知

因此，单位阶跃响应表达式为

响应曲线如图3-8所示。例3-2两个系统的传递函数分别为系统2

系统1试比较两个系统响应的快慢。解：系统响应的快慢主要指标是调整时间的大小，一阶系统的调整时间是由时间常数T决定的。系统1的时间常数系统2的时间常数由于T1<T2，因此系统1的响应速度快。达到稳态值的时间，如以±2％来算，系统1的调整时间t1s=4T1=8(s),而系统2的调整时间为t2s=4T2=24(s)，因此系统1比系统2快3倍。例3-4已知控制系统的微分方程为试用Laplace变换法，求该系统的单位脉冲响应g(t)和单位阶跃响应h(t)，并讨论二者的关系。解：由传递函数的定义和系统的微分方程，可得系统的传递函数为系统的单位脉冲响应为系统的单位阶跃响应为比较g(t)和h(t)，有或由此可以得出结论：系统对某种输入（单位阶跃）的导数（单位脉冲）的响应等于系统对该输入的响应（h(t)）的导数（）；系统对某种输入（单位脉冲）的积分（单位阶跃）的响应等于系统对该输入的响应（g(t)）的积分（）。对于任意线性系统而言，若一个输入A是另一个输入B的导函数，则输入A所引起的输出就是输入B所引起输出的导函数；同样的，若一个输入A是另一个输入B的积分，则输入A所引起的输出就是输入B所引起输出的积分，但是，如果积分是不定积分，则还需要确定积分常数。一个系统能用二阶微分方程描述或是系统的传递函数分母多项式s的最高幂次为2的系统，称为二阶系统。无论哪一种物理形式的二阶系统，最后传递函数都可以变为下述的标准形式第三节二阶系统的瞬态响应一、二阶系统的数学模型（3-12）式中为阻尼比、n为无阻尼自然频率（rad/s）。二阶系统的瞬态响应的性能完全由与n确定,因此，与n为二阶系统的重要参量。当输入为单位阶跃信号时，代入到（3-12）式，可得到二、二阶系统的阶跃响应（3-13）对上式进行拉氏反变换，可得二阶系统的单位阶跃响应。从式（3-12）可求得二阶系统的特征方程（3-14）它的两个根，即为二阶系统的闭环极点：

（3-15）对式（3-13）进行分解得

下面分别对二阶系统在=1，>1以及0<<1三种情况下的瞬态响应进行讨论，假设初始状态为零。

(一)重根时，

=1，s1,2=-n临界阻尼情况

（3-16）式变为：

（3-16）（3-17）对上式进行分部分式，可得对（3-18）式拉氏反变换，得到（3-18）（3-19）响应曲线为一指数曲线形式。它单调上升、无超调、无振荡、无稳态误差。(二)两个不等的负实根时，

>1，过阻尼情况

(3-16)式可以写成部分分式为

(3-20)求上式的拉氏反变换，得

(3-21)系统包含两类瞬态衰减分量，响应为指数函数曲线形式。单调上升，无振荡，过渡过程时间长，无稳态误差。（三）一对共轭复根时，0<<1，欠阻尼情况

由于<1，（3-12）式得，s1,2=-

n±jd

式中

，称为阻尼自然频率（rad／s）这时，采用部分分式法，式（3-10）变为

(3-22)上式的拉氏反变换为

(3-23)无稳态误差；呈现衰减振荡过程，振荡频率是阻尼自然频率d；其振幅衰减的快慢由

和n决定；振荡幅值随减小而加大。频率n和d的物理意义：

n是无阻尼（=0）时二阶系统等幅振荡的振荡频率，因此称为无阻尼自然频率；而是欠阻尼（0<<1）时衰减振荡的振荡频率，因此称为阻尼自然频率；Td=2/d称为阻尼振荡周期。显然n

<d,且随着的增大，d的值相应地减小。y(t)=1-cosnt（t≥0）(3-24)s1,2=±jn，将=0代入式（3-15）可得（四）一对复根时，=0，零阻尼情况

二阶系统在无阻尼时瞬态响应是等幅振荡，振荡频率为n

。稳定边界（五）一对正实部虚根时，<0，负阻尼情况

极点实部大于零，响应发散，系统不稳定几点结论：1、二阶系统的阻尼比决定了其振荡特性：<0时，阶跃响应发散，系统不稳定；=0时，出现等幅振荡0<

<1时，有振荡，愈小，振荡愈严重，但响应愈快，

≥1时，无振荡、无超调，过渡过程长；2、一定时，n越大，瞬态响应分量衰减越迅速，→系统能够更快达到稳态值，响应的快速性越好。3、工程中除了一些不允许产生振荡的应用外，通常采用欠阻尼系统，且阻尼比通常选择在0.4~0.8之间，以保证系统的快速性同时又不至于产生过大的振荡三、二阶系统的单位斜坡响应（3-25）按前面分析单位阶跃响应的同样方法，可以得到一个随动系统，其输入端以一个连续等速信号给定时，其响应就属斜坡响应。当输入单位斜坡信号时，（一）0<<1斜坡响应为

（3-26）（三）>1斜坡响应为

响应曲线如图3-11所示。（3-28）（二）

=1斜坡响应为

(3-27)四.二阶系统的单位脉冲响应当输入单位脉冲信号时，X(s)=1,（3-29）（一）0<<1脉冲响应为

（3-30）（二）=1脉冲响应为

(3-31)（三）>1脉冲响应为

(3-32)响应曲线如图3-12。表3-1输入信号幅值不为单位值时，响应表达式表3-1输入信号幅值不为单位值时，响应表达式表3-1输入信号幅值不为单位值时，响应表达式五.二阶系统阶跃响应与极点的关系

前面分析可知，二阶系统的阶跃响应形式与系统阻尼比关系极为密切，同时，又知道阻尼比取值不同，直接影响到二阶系统的传递函数的极点。其关系见表3-2。而极点与响应形式的关系可见表3-3。表3-2阻尼比与极点的关系表3-3极点与阶跃响应的关系若系统的所有特征根si（i=1，2，…，n）均具有负实部，即Re[si]<0，则其系统会趋于稳定，这种系统称为稳定系统。若系统存在具有正实部的特征根si，即Re[si]>0，则其系统会产生振荡，这种系统称为不稳定系统。若系统有一个特征根的实部为0，而其余特征根的实部均为负数，系统最终会变成一等幅振荡，这种系统称为临界稳定系统。往往也将临界稳定系统看成不稳定系统。

小结系统特征根的实部决定了系统的稳定与否。若系统特征根的实部全部都小于0，则系统稳定；若系统特征根的实部不全小于0，则系统不稳定。若系统传递函数的所有极点均分布在[s]平面的左半平面内，则系统稳定；若系统传递函数在[s]平面的右半平面内存在极点，则系统不稳定。对于稳定系统，实部Re[si]绝对值的大小决定了系统趋于稳定的快慢。Re[si]绝对值越大，则它所对应的自由响应项衰减得越快，系统达到稳定的时间越短。系统特征根的虚部Im[si]的分布情况在很大程度上决定了系统自由响应的振荡情况，决定了系统的响应在规定时间内接近稳态响应的情况，这影响着系统响应的准确性。通过上面对二阶系统瞬态响应的研究，可以看出，系统的特征参量阻尼比和无阻尼自然频率n对其瞬态响应具有重要的影响。下面进一步分析和n与瞬态响应指标的关系，以便指出设计和调整二阶系统的方向，除了那些不允许产生振荡的控制系统外，通常允许控制系统具有适度的振动特性，以求能有较短的调整时间。因此，系统经常工作在欠阻尼状态。下面就二阶系统，当0<<1时，推导瞬态响应各项特征指标的计算公式。六.二阶系统瞬态响应的性能指标计算1.上升时间tr

根据式（3-23），令y(t)=1，即可得上升时间tr，即（3-33）由于≠0，为使式（3-33）成立，必须即（3-34）式中在（3-34）中，角的意义，可见图3-13。当=0时，

=/2；当=1时，

=0。由（3-34）可知，当阻尼比一定时，若要求上升时间tr较短，需要使系统具有较高的无阻尼自然频率n。

令上式为零，整理可得即d

tp=n(n=0，1，2，.......k)因为峰值时间对应于第一次峰值超调量，所以（3-35）因阻尼振荡周期Td=2/d,故峰值时间tp等于阻尼振荡频率周期的一半。从式（3-35）可以看出，当一定时，n越大，tp越小，反应越快，当n一定时，越小，tp也越小。2.峰值时间tp

根据（3-23）式，将y(t)对时间求导，并令其等于零，可求得峰值时间tp即3.最大百分比超调量Mp%最大百分比超调量发生在峰值时间tp处，所以按定义由图3-13可知上式表明，最大百分比超调量Mp%只是阻尼比的函数，而与无阻尼自然频率n无关，越小，Mp%越大，当=0时，Mp%=100%，而当增大到=1时，Mp%=0。所以因此（3-36）Mp%与的关系常以曲线形式给出，见图3-14。4.调整时间ts为确定调整时间ts简单起见,常用二阶系统单位阶跃响应的包络线代替响应曲线。如图3-15所示。曲线是该阶跃响应的包络线。包络线的时间常数为。瞬态响应的衰减速度，取决于时间常数的数值。

若响应曲线进入到稳态值的±5%的范围时，由图3-15可得解出n

ts，即为当较小时，由上式得（3-37）如果响应曲线进入到稳态值的±2%的范围里，用同样方法，可导出(3-38)由此可见，n大，ts就小；当n一定时，ts与成反比。这与tp、tr和的关系正好相反。通常值是根据最大百分比超调量Mp%来确定，所以调整时间ts可以根据无阻尼自然频率n来确定。这样，在不改变最大百分比超调量Mp%的情况下，通过调整无阻尼自然频率n，可以改变瞬态响应的时间。5.振荡周期Td及振荡次数N或而振荡次数为当时将二阶系统的特征参量、n与瞬态响应各项指标间的关系归纳如下：(1)二阶系统的瞬态响应特性由系统的阻尼比和无阻尼自然频率n共同决定，欲使二阶系统具有满意的瞬态响应性能指标，必须综合考虑和n的影响，选取合适的和n。当时由上述分析计算可知，影响单位阶跃响应各项性能指标的是二阶系统的阻尼比和无阻尼自然频率n这两个重要参数。(2)若保持不变而增大n，对超调量Mp无影响，可以减小峰值时间tp、延迟时间td和调整时间ts，既可以提高系统的快速性。所以增大系统的无阻尼自然频率n对提高系统性能是有利的。(3)若保持n不变而增大值，则会使最大百分比超调量Mp%减小，增加相对稳定性，减弱系统的振荡性能。在<0.7时，随着的增大，Mp%减小；而在>0.7时，随着的增大，tr、ts均增大。系统的快速性变差。(4)综合考虑系统的相对稳定性和快速性，通常取=0.4~0.8，这时系统的最大百分比超调量Mp%在25%到2.5%之间。若<0.4，系统超调严重，相对稳定性差；若>0.8，则系统反应迟钝，灵敏性差。当=0.707时，超调量Mp%和调整时间均ts较小，故称=0.707为最佳阻尼比。例3-4某一位置随动系统的方块图如图3-16，当输入为单位阶跃信号时，试计算k=200时的性能指标，当k减小到13.5或增大到1500时,对系统有什么影响。解：系统的闭环传递函数为由上式当k=1500时,k=13.5时，按上面同样的方法计算,其性能指标如表3-4所示。表3-4k值改变时，二阶位置随动系统性能指标不同k值时的单位阶跃响应曲线如图3-17例3-5设单位反馈闭环二阶系统的单位阶跃响应曲线如图3-18。试确定其开环传递函数。查阅图3-14Mp%与关系曲线，可得解：由图3-18可见由（3-35）式因为，系统的闭环传递函数为单位反馈时的开环传递函数为例3-6如图3-19(a)所示的一个机械振动系统。当有2N的阶跃输入力作用于系统时，系统中的质量块m按图3-19(b)的规律运动，试根据这个响应曲线，确定质量m、粘性阻尼系数B与弹性刚度k值。解：此系统的传递函数前面已经推导过，即为由于所以

由此响应曲线可得到稳态响应为：因此由图3-19的响应曲线得到由峰值时间得

所以又因为所以由得到第四节高阶系统的瞬态响应求高阶系统的瞬态响应，意味着求解高阶微分方程，其数学运算是十分复杂的。如能抓住主要矛盾，忽略次要因素，就可以使问题大大简化。本节中，将通过对高阶系统瞬态响应一般形式的分析，建立闭环主导极点的概念，并利用这一概念对高阶系统作近似处理。高阶系统的闭环传递函数为n≥m（3-39）为确定系统的零点、极点，将上式分子分母分解成因式形式，则上式变为（3-40）高阶系统的单位阶跃响应式中-z1、-z2.......-zm为系统闭环传递函数的零点；-p1、-p2.......-pn为系统闭环传递函数的极点。瞬态响应分析的前提是系统为稳定系统，全部极点都在s平面的左半部。如果全部极点都不相同（实际系统通常是这样的），对于单位阶跃输入信号，式（3-40）可以写成（3-41）式中ai是极点s=-pi点的留数。若所有极点都是不同的实数极点，则有（3-42）如果Y(s)的n个极点中除包含有实数极点外，还包含成对的共轭复数极点，且一对共轭复数极点可以形成一个s的二次项，这样式（3-41）可以写成（3-43）（3-44）取上式的拉氏反变换，可以得到单位阶跃响应为（3-45）式中q+2r=n,如果闭环极点是互不相同的，可将上式展成下面的部分分式a,aj为Y(s)在极点s=0和s=-pj处的留数；bk、ck是与Y(s)在极点处的留数有关的常数。1、高阶系统的单位阶跃响应由一阶和二阶系统的响应函数叠加而成。2、如果所有闭环极点都在s平面的左半平面，则随着时间t→∞，y(∞)=a，系统是稳定的。3、极点的性质决定瞬态分量的类型实数极点→非周期瞬态分量共轭复数极点→阻尼振荡瞬态分量极点距虚轴的距离决定了其所对应的暂态分量衰减的快慢，距离越远衰减越快；（衰减系数pj、knk）1、系统零点影响各极点处的留数的大小（即各个瞬态分量的相对强度），如果在某一极点附近存在零点，则其对应的瞬态分量的强度将变小。一对靠得很近的零点和极点其瞬态响应分量可以忽略。系统零点分布对时域响应的影响2、通常如果闭环零点和极点的距离比其模值小一个数量级，则该极点和零点构成一对偶极子，可以对消。闭环主导极点在高阶系统的闭环极点中，如果距虚轴最近的闭环极点，其周围没有零点，而且其他闭环极点与该极点的实部之比超过五倍以上，则这种极点称为闭环主导极点。高阶系统，如果能够找到主导极点，就可以忽略其它远离虚轴的极点和偶极子的影响，近似为一阶或二阶系统进行处理。例：精确解近似解三阶系统→二阶系统高阶系统响应曲线的一些例子示于图3-20中。这些响应曲线都是由一些振荡曲线和负指数衰减曲线叠加而成。其稳态项由输入量X(s)的极点决定，而响应曲线的类型和形状，决定于闭环极点和零点。闭环极点决定了响应曲线的类型和衰减速度，闭环零点则影响瞬态响应曲线幅度的大小。第五节时间特性的计算机求解可以利用MATLAB语言求解系统的时间响应，下面通过例题来说明计算机的编程。1.一阶系统的时间响应求解系统的单位阶跃响应程序如下：....]....]例3-7求解一阶系统的单位阶跃响应。解：当T=2时num=[1]；den=[21]；titple(‘StepResponse’)step(num,den)则响应曲线为图3-21的响应曲线例3-8当取不同的T值时，响应程序和曲线为T=[2:2:12]；figure(1)holdonfort=Tnum=[1]；den=[t1]；step(num,den)endtitple(‘StepResponse’)holdoff图3-22例3-8响应曲线2.二阶系统的单位阶跃响应典型二阶系统为其单位阶跃响应的程序为

例3-9求的单位阶跃响应。程序和响应曲线为num=[4]；den=[11.64]；titple(‘StepResponse’)step(num,den)图3-23例3-9响应曲线例3-10求典型二阶系统为试绘制出当分别为0.1,0.2,......,1.0,2.0时的单位阶跃响应。解：MATLAB的程序为wn=6;kosi=[0.1:0.1:1.0,2.0];figure(1)holdonforkos=kosinum=wn.^2;den=[1,2*kos*wn,wn^2];step(num,den)endtitle('StepResponse')holdoff

执行后得如图3-24所示的单位阶跃响应曲线图3-24典型二阶系统的单位阶跃响应曲线3.其它输入信号的时间响应(1)单位脉冲输入的时间响应....]....](2)单位斜坡输入的时间响应....]....]单位斜坡输入的时间响应是和单位阶跃输入的时间响应程序在的项中在den=[]最后加一个“0”即可。其它如单位阶跃输入。4.高阶系统的阶跃响应和性能指标计算例3-11已知一个单位反馈控制系统的开环传递函数为试绘制单位阶跃响应曲线并计算其性能指标。对于高于二阶的系统，求其响应和性能指标是较困难的。应用MATLAB语言求解则较方便，下面举例说明。解：程序如下：num=[63];den=[11-2