【班海精品课件】冀教版（新）九下-30.4 二次函数的应用 第三课时

30.4二次函数的应用第3课时一键发布配套作业&AI智能精细批改（任务-发布任务-选择章节）目录课前导入新课精讲学以致用课堂小结课前导入情景导入我们去商场买衣服时，售货员一般都鼓励顾客多买，这样可以给顾客打折或降价，相应的每件的利润就少了，但是老板的收入会受到影响吗？怎样调整价格才能让利益最大化呢？通过本课的学习，我们就可以解决这些问题.班海——老师智慧教学好帮手班海，老师们都在免费用的数学作业精细批改微信小程序！感谢您下载使用【班海】教学资源！为什么他们都在用班海？一键发布作业，系统自动精细批改（错在哪？为何错？怎么改？），从此告别批改作业难帮助学生查漏补缺，培养规范答题好习惯，提升数学解题能力快速查看作业批改详情，全班学习情况尽在掌握多个班级可自由切换管理，学生再多也能轻松当老师无需下载，不占内存，操作便捷，永久免费！扫码一键发布数学作业AI智能精细批改(任务-发布任务-选择题目)新课精讲探索新知1知识点用二次函数表示实际问题

根据实际问题列二次函数的关系式，一般要经历以下几个步骤：(1)确定自变量与因变量代表的实际意义；(2)找到自变量与因变量之间的等量关系，根据等量关系

列出方程或等式．(3)将方程或等式整理成二次函数的一般形式．探索新知如图，已知边长为1的正方形ABCD，在BC边上有一动点E，连接AE，作EF⊥AE，交CD边于点F.(1)CF的长可能等于

吗？(2)点E在什么位置时，

CF的长为？

例1ADFCEB探索新知设BE＝x，CF＝y.∵∠BAE＝∠CEF，∴Rt△ABE∽Rt△ECF.∴∴y＝－x2＋x＝－(x－)2＋.解：探索新知∵y最大＝，∴CF的长不可能等于.(2)设－x2＋x＝即16x2－16x＋3＝0.解得x1＝，x2＝∴当BE的长为或时，均有CF的长为.典题精讲当路况良好时，在干燥的路面上，某种汽车的刹车距离s(m)与车速v(km/h)之间的关系如下表：1v(km/h)…406080100120…s(m)…24.27.21115.6…典题精讲(1)在平面直角坐标系中描出每对(v，s)所对应的点，并用平滑的曲线顺次连接各点.解：(1)如图．典题精讲(2)利用图像验证刹车距离众s(m)与车速v(km/h)是否具有

如下关系：解：分别令v＝40km/h，60km/h，80km/h，100km/h，

120km/h，由

分别可得s＝2m，4.2m，7.2m，11m，15.6m.∴刹车距离s(m)与车速v(km/h)

具有

的关系．典题精讲(3)求s＝9m时的车速v.解：令s＝9m，则

解得v1＝－100(km/h)(舍去)，v2＝90(km/h)．∴当s＝9m时，车速v＝90km/h.典题精讲某电商销售一款夏季时装，进价40元/件，售价110元/件，每天销售20件，每销售一件需缴纳电商平台推广费用a元(a>0)．未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动，即从第1天起每天的单价均比前一天降1元．通过市场调研发现，该时装单价每降1元，每天销量增加4件．在这30天内，要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t(t为正整数)的增大而增大，a的取值范围应为_____________．20＜a＜6探索新知2知识点利用二次函数的最值解实际问题

利用二次函数解决实际生活中的利润问题，一般运用“总利润＝每件商品所获利润×销售件数”或“总利润＝总售价－总成本”建立利润与销售单价之间的二次函数关系式，求其图象的顶点坐标，获取最值．探索新知

例2某旅馆有客房120间，每间房的日租金为160元时，每天都客满.

经市场调查发现，如果每间客房的日租金增加10元，那么客房每

天出租数会减少6间．不考虑其他因素，旅馆将每间客房的日租金

提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？最高总收入是多少？探索新知设每间客房的日租金提高10x元，则每天客房出租数会减少6x间.设客房日租金总收入为

y元，则

y=(160+10x)(120-6x)=-60(x-2)2+19440.∵x≥0，且120-6x>0，∴0≤x<20.当x=2时，y最大=19

440.这时每间客房的日租金为160+10×2=180(元).因此，每间客房的日租金提高到180元时，客房总收人最高，最高收入为19440元.解：探索新知例3一玩具厂去年生产某种玩具，成本为10元/件，出厂价为12元/件，年销售量

为2万件．今年计划通过适当增加成本来提高产品的档次，以拓展市场，若今

年这种玩具每件的成本比去年每件的成本增加0.7x倍，今年这种玩具每件的出

厂价比去年每件的出厂价相应提高0.5x倍，则预计今年年销售量将比去年年销

售量增加x倍(0＜x≤1)．

(1)用含x的代数式表示：今年生产的这种玩具每件的成本为___元，今年生产的

这种玩具每件的出厂价为____元；

(2)求今年这种玩具每件的利润y(元)与x之间的函数关系式；

(3)设今年这种玩具的年销售利润为W万元，求当x为何值时，今年的年销售利

润最大，最大年销售利润是多少万元？探索新知

由题意知今年这种玩具每件的成本是去年的(1＋0.7x)倍，每件的

出厂价是去年每件的出厂价的(1＋0.5x)倍，今年的年销售量是去

年年销售量的(1＋x)倍．解：(1)(10＋7x)；(12＋6x)

(2)y＝(12＋6x)－(10＋7x)＝2－x，

即y与x的函数关系式为

y＝2－x.

(3)W＝2(1＋x)(2－x)＝－2x2＋2x＋4＝－2(x-5)2＋4.5，∵0＜x≤1，∴当x＝0.5时，W有最大值．W最大值＝4.5.

答：当x＝0.5时，今年的年销售利润最大，最大年销

售利润为4.5万元．导引：探索新知总

结

本题利用建模思想求解，由今年与去年这种玩具的成本价、出厂价、销售量的倍数关系可以得到今年这种玩具的成本价、出厂价、销售量的表达式，再由“总利润＝每件商品所获利润×销售件数”可得二次函数的表达式，进而求出其最大值．典题精讲1某旅行社在五一期间接团去外地旅游，经计算，收益y(元)与旅行团人数x(人)满足表达式y＝－x2＋100x＋28400，要使收益最大，则此旅行团应有(

)A．30人

B．40人

C．50人

D．55人C典题精讲某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了

促销，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期

可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件售

价x元，每星期的销售量为y件．(1)求y与x之间的函数表达式．(2)当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润

是多少元？(3)若该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少

要销售该款童装多少件？典题精讲(1)y＝300＋30(60－x)＝－30x＋2100.(2)设每星期的销售利润为W元，

则W＝(x－40)(－30x＋2100)

＝－30(x－55)2＋6750.∴当x＝55时，W取最大值为6750.∴每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大，

最大利润为6750元．解：典题精讲(3)由题意得(x－40)(－30x＋2100)≥6480，

解得52≤x≤58.

当x＝52时，销售量为300＋30×8＝540(件)，

当x＝58时，销售量为300＋30×2＝360(件)，∴该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，

每星期至少要销售该款童装360件．易错提醒草莓是云南多地盛产的一种水果，今年某水果销售店在草莓销售旺季，试销售成本为每千克20元的草莓，规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克40元，经试销发现，销售量y(kg)与销售单价x(元)符合一次函数关系，如图是y与x的函数关系图象．易错提醒(1)求y与x的函数表达式；(2)设该水果销售店试销草莓获得的利润为W元，求W的最大值．易错点：将销售额当销售利润而致错易错提醒(1)设y与x的函数表达式为y＝kx＋b，根据题意，得解得∴y与x的函数表达式为y＝－2x＋340(20≤x≤40)．解：k＝－2，b＝340.20k＋b＝300，30k＋b＝280.易错提醒(2)由已知得W＝(x－20)(－2x＋340)＝－2x2＋380x－6800＝－2(x－95)2＋11250，∵－2<0，∴当x≤95时，W随x的增大而增大．∵20≤x≤40，∴当x＝40时，W最大，最大值为－2×(40－95)2＋11250＝5200.学以致用小试牛刀1在一幅长60cm，宽40cm的矩形油画的四周镶一条金色

纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整幅挂图

的面积是

ycm2，设金色纸边的宽度为x

cm，那么

y关

于x的函数表达式是(

)A．y＝(60＋2x)(40＋2x)B．y＝(60＋x)(40＋x)C．y＝(60＋2x)(40＋x)D．y＝(60＋x)(40＋2x)A2心理学家发现：学生对概念的接受能力y与提出概念的时间

x(min)之间是二次函数关系，当提出概念13min时，学生对

概念的接受能力最大，为59.9；当提出概念30min时，学生

对概念的接受能力就剩下31，则

y与x满足的二次函数表达

式为(

)A．y＝－(x－13)2＋59.9B．y＝－0.1x2＋2.6x＋31C．y＝0.1x2－2.6x＋76.8D．y＝－0.1x2＋2.6x＋43D小试牛刀小试牛刀随着地铁和共享单车的发展，“地铁＋单车”已成为很多市民出行的

选择，李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A，B，

C，D，E中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点

与文化宫距离为x(单位：km)，乘坐地铁的时间y1(单位：min)是关于

x的一次函数，其关系如下表：地铁站ABCDEx/km891011.513y1/min1820222528小试牛刀解：(1)求y1关于x的函数表达式；(2)李华骑单车的时间(单位：min)也受x的影响，其关系

可用y2＝

x2－11x＋78来描述，请问：李华应选择在

哪一站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间

最短？并求出最短时间．(1)设y1＝kx＋b，将(8，18)，(9，20)的坐标代入，

得

解得

故y1关于x的函数表达式为y1＝2x＋2.小试牛刀(2)设李华从文化宫回到家所需的时间为y(单位：min)，

则

y＝y1＋y2＝2x＋2＋

x2－11x＋78＝

x2－9x＋80，∴当x＝9时，y有最小值，ymin＝

＝39.5.答：李华应选择在B站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时

间最短，最短时间为39.5min.小试牛刀某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降

价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．

(1)求该种水果每次降价的百分率；

(2)从第一次降价的第1天算起，第x天(x为整数)的售价、销量及

储存和损耗费用的相关信息如下表所示．已知该种水果的进价

为4.1元/斤，设销售该水果第x天的利润为y元，求y与x

(1≤x＜15)之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？小试牛刀时间x/天1≤x＜99≤x＜15x≥15售价/(元/斤)第1次降价

后的价格第2次降价

后的价格

销量/斤80－3x120－x

储存和损耗

费用/元40＋3x3x2－64x＋400

(3)在(2)的条件下，若要使第15天的利润比(2)中最大利润最多少127.5元，则第15天在第14天的价格基础上最多可降多少元？小试牛刀(1)设该种水果每次降价的百分率是x，

由题意得10(1－x)2＝8.1，

解得x＝10%或x＝190%(舍去)．

答：该种水果每次降价的百分率是10%.(2)当1≤x＜9时，第一次降价后的价格为10×(1－10%)＝9(元/斤)，∴y＝(9－4.1)(80－3x)－(40＋3x)＝－17.7x＋352.∵－17.7＜0，∴y随x的增大而减小，∴当x＝1时，y有最大值，y最大值＝－17.7×1＋352＝334.3.

当9≤x＜15时，第2次降价后的价格为8.1元/斤，解：小试牛刀∴y＝(8.1－4.1)(120－x)－(3x2－64x＋400)

＝－3x2＋60x＋80＝－3(x－10)2＋380，∵－3＜0，∴当9≤x≤10时，y随x的增大而增大，

当10＜x＜15时，y随x的增大而减小．∴当x＝10时，y有最大值，y最大值＝380.∵334.3＜380，∴当x＝10时，y取最大值．

综上所述，y与x(1≤x＜15)之间的函数关系式为y＝

第10天时销售利润最大．(3)设第15天在第14天的价格基础上降a元，

由题意得380－127.5≤(4－a)×(120－15)－(3×152－64×15＋400)，解得a≤0.5.

答：第15天在第14天的价格基础上最多可降0.5元．小试牛刀5九年级(3)班数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商品在第x天(1≤x≤90，且x为整数)的售价与销售量的相关信息如图和下表所示．已知商品的进价为30元/件，设该商品的售价为y(单位：元/件)，每天的销售量为p(单位：件)，每天的销售利润为w(单位：元)．(1)求出w与x的函数表达式．(2)问销售该商品第几天时，当天的销售

利润最大？并求出最大利润．(3)该商品在销售过程中，共有多少天每

天的销售利润不低于5600元？请直接写出结果．时间x/天1306090每天的销售量p/件1981408020小试牛刀解：(1)当1≤x≤50时，设商品的售价y与时间x的函数表达式为y

＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)，

根据题意，得∴