《金融工程学》第章电子教案

第八章期权定价的数法

主要内容二叉树期权定价模型

蒙特卡罗模拟

有限差分方法

第八章期权定价的数法

二叉树模型的基本方法

第八章期权定价的数法

无套利定价法构造投资组合包括D份股票多头和1份看涨期权空头

当SuD–ƒu=Sd

D–ƒd，则组合为无风险组合SuD–ƒuSdD–ƒd第八章期权定价的数法

无套利定价法（续）组合在T

时刻价值为

SuD–ƒu组合现值应为：(SuD–ƒu)e–rT组合现值的另外一个表达式为：SD–f因此：ƒ=SD–(SuD–ƒu

)e–rT

第八章期权定价的数法

无套利定价法（续）将代入上式就可得到：

其中第八章期权定价的数法

风险中性定价法在风险中性世界里：（1）所有可交易证券的期望收益都是无风险利率；（2）未来现金流可以用其期望值按无风险利率贴现。在风险中性的条件下,参数值满足条件：同样可以推得：第八章期权定价的数法

证券价格的树型结构第八章期权定价的数法

倒推定价法得到每个结点的资产价格之后，就可以在二叉树模型中采用倒推定价法，从树型结构图的末端T时刻开始往回倒推，为期权定价值得注意的是，如果是美式期权，就要在树型结构的每一个结点上，比较在本时刻提前执行期权和继续再持有时间，到下一个时刻再执行期权，选择其中较大者作为本结点的期权价值。第八章期权定价的数法

举例说明假设标的资产为不付红利股票,其当前市场价为50元,波动率为每年40%，无风险连续复利年利率为10%，该股票5个月期的美式看跌期权协议价格为50元，求该期权的价值。利用倒退定价法，可以推算出初始结点处的期权价值为4.48元。第八章期权定价的数法

续为了构造二二叉树，我我们把期权权有效期分分为五段，，每段一个个月（等于于0.0833年））。可以算算出：第八章期期权定价价的数法美式看跌期期权二叉树树第八章期期权定价价的数法二叉树方法法的一般定定价过程以无收益证证券的美式式看跌期权权为例。把把该期权有有效期划分分成N个长度为的的小区间，，令表示在时间间时时第j个结点处的的美式看跌跌期权的价价值，同时用表表示结结点处处的的证券价格格，可得：后，假定期权不不被提前执执行，则在在风险中性性条件下：：第八章期期权定价价的数法支付连续红红利率资产产的期权定定价当标的资产产支付连续续收益率为为q的红利时，，在风险中中性条件下下，证券价价格的增长长率应该为为r-q，因此：其中第八章期期权定价价的数法支付已知红红利率资产产的期权定定价如果时时刻在除除权日之前前，则结点点处证券价价格仍为：：如果时时刻在除除权日之后后，则结点点处证券价价格相应调调整为：对在期权有有效期内有有多个已知知红利率的的情况，第八章期期权定价价的数法已知红利额额假设红利数数额已知且且波动率为为常数时的的二叉树图图第八章期期权定价价的数法已知红利额额把证券价格格分为两个个部分：一一部分是不不确定的，，其价值用用表表示，而另另一部分是是期权有效效期内所有有未来红利利的现值，假设在期权有有效期内只有有一次红利。第八章期期权定价的数数法利率是时间依依赖的情形第八章期期权定价的数数法P=0.5的二叉树图第八章期期权定价的数数法三叉树图第八章期期权定价的数数法三叉树图:一一些参数第八章期期权定价的数数法控制方差技术术控制方差技术术是数值方法法的一个辅助助技术，可以以应用在二叉叉树模型、蒙蒙特卡罗模拟拟和有限差分分方法上。其其基本原理为为：期权A和期权B的性质相似，，我们可以得得到期权B的解析定价公公式，而只能能得到期权A的数值方法解解。第八章期期权定价的数数法适应性网状模模型在使用三叉树树图为美式期期权定价时，，当资产价格格接近执行价价格时和接近近到期时，用用高密度的树树图来取代原原先低密度的的树图。即在在树图中那些些提前执行可可能性较大的的部分，将一一个时间步长长进一步细分，，如分为，，每个个小步长仍然然采用相同的的三叉树定价价过程，这样样使得树图更更好地反映了了实际情形，，从而大大提提高了定价的的效率和精确确程度。第八章期期权定价的数数法隐含树图通过构建一个个与目前市场场上的期权价价格信息相一一致的资产价价格树图，从从而得到市场场对标的资产产价格未来概概率分布的看看法。其具体体方法是在二二叉树图中，，通过前一时时刻每个结点点的期权价格格向前推出（（注意不是倒倒推）下一时时刻每个结点点的资产价格格和相应概率率。第八章期期权定价的数数法二叉树定价模模型的深入理理解二叉树图模型型的基本出发发点在于：假假设资产价格格的运动是由由大量的小幅幅度二值运动动构成，用离离散的随机游游走模型模拟拟资产价格的的连续运动可可能遵循的路路径。同时二二叉树模型与与风险中性定定价原理相一一致，即模型型中的收益率率和贴现率均均为无风险收收益率，资产产价格向上运运动和向下运运动的实际概概率并没有进进入二叉树模模型，模型中中隐含导出的的概率是风险险中性世界中中的概率，从从而为期权定定价。实际上上，当二叉树树模型相继两两步之间的时时间长度趋于于零的时候，，该模型将会会收敛到连续续的对数正态态分布模型，，即布莱克－－舒尔斯偏微微分方程。第八章期期权定价的数数法蒙特卡罗模拟拟蒙特卡罗模拟拟是一种通过过模拟标的资资产价格的随随机运动路径径得到期权价价值期望值的的数值方法，，也是一种应应用十分广泛泛的期权定价价方法基本过程：蒙蒙特卡罗模拟拟要用到风险险中性定价原原理，其基本本思路是：由由于大部分期期权价值实际际上都可以归归结为期权到到期回报的期期望值的折现现，因此，尽尽可能地模拟拟风险中性世世界中标的资资产价格的多多种运动路径径，计算每种种路径结果下下的期权回报报均值，之后后贴现可以得得到期权价值值。第八章期期权定价的数数法蒙特卡罗模拟拟的技术实现现在风险中性世世界中，为了模拟的路路径，我们把把期权的有效效期分为N个长度为△t时间段，则上上式的近似方方程为或第八章期期权定价的数数法举例说明假设无红利的的股票价格运运动服从式（（8.12）），年预期收收益率为14％，收益波波动率为每年年20％，时时间步长为0.01年，，则根据式（（8.12））有通过不断从标标准正态分布布样本中抽取取的值，，代入上式，，我们可以得得到股票价格格运动的一条条路径。第八章期期权定价的数数法表：股票价格格模拟每步开始时的股票价格随机抽样值该时间步长中的股票价值变化20.0000.520.23620.2361.440.61120.847－0.86－0.32920.5181.460.62821.146－0.69－0.26220.883－0.74－0.280第八章期期权定价的数数法单个变量和多多个变量的蒙蒙特卡罗模拟拟蒙特卡罗模拟拟的优点之一一在于无论回回报结果依赖赖于标的变量量S所遵循的路径径还是仅仅取取决于S的最终价值，，都可以使用用这一方法。。同时，这个个过程也可以以扩展到那些些回报取决于于多个标的市市场变量的情情况。第八章期期权定价的数数法当回报仅仅取取决于到期时时S的最终价值时时可以直接用一一个大步（））（（假设初始时时刻为零时刻刻）来多次模模拟最终的资资产价格，得得到期权价值值：第八章期期权定价的数数法当回报依赖于于多个市场变变量时当存在多个标标的变量时，，每次模拟运运算中对每个个变量的路径径都必须进行行抽样，从样样本路径进行行的每次模拟拟运算可以得得出期权的终终值，假设期期权依赖于n个变量,，其离散形式式可以写成：：第八章期期权定价的数数法随机利率的蒙蒙特卡罗模拟拟如果期权模型型中的变量之之一本身就是是短期无风险险利率或是其其他与有关的的变量，例如如利率衍生产产品，则蒙特特卡罗模拟方方法与前类似似，只是要模模拟风险中性性世界中r的路径，每次次模拟时既要要计算r到期时终值相相应带来的期期权回报，又又要计算期权权有效期内r的平均值。最最后折现的时时候使用的贴贴现率是这个个平均值，用用数学符号表表示为：第八章期期权定价的数数法随机样本的产产生是服从标准正正态分布的一一个随机数。。大多数程序序语言都为抽抽取0到1之间的随机数数编制了程序序。如果只有有一个单变量量,则可以以通过下式获获得：其中是是0到1的相相互独立的随随机数。第八章期期权定价的数数法模拟运算次数数的确定如果对估计值值要求95％％的置信度，，则期权价值值应满足式中，为为运算次数，为为均值，是是标准差，，期权估计值值的标准误差差为：第八章期期权定价的数数法减少方差的技技巧对偶变量技术术控制方差技术术重点抽样法间隔抽样法样本矩匹配法法准随机序列抽抽样法树图取样法第八章期期权定价的数数法有限差分方法法在金融界，有限差分方法法越来越多地用用在期权定价价当中。其主主要思想是：：应用有限差差分方法将衍衍生证券所满满足的偏微分分方程转化化为为一一系系列列近近似似的的差差分分方方程程，，即即用用离离散散算算子子逼逼近近、、和和各各项项，，之之后后用用迭迭代代法法求求解解，，得到到期期权权价价值值。。第八八章章期期权权定定价价的的数数法法有限限差差分分方方法法的的格格点点图图第八八章章期期权权定定价价的的数数法法隐性性有有限限差差分分法法隐性性有有限限差差分分法法可可以以理理解解为为从从格格点点图图内内部部向向外外推推知知外外部部格格点点的的期期权权价价值值，如如图图所所示示：：第八八章章期期权权定定价价的的数数法法的近近似似对于于坐坐标标方方格格内内部部的的点点，，期期权权价价值值对对资资产产价价格格的的一一阶阶导导数数可可以以用用三三种种差差分分来来表表示示：：第八八章章期期权权定定价价的的数数法法的近近似似对于于点点处处的的，，我我们们则则采采取取前前向向差差分分近近似似以以使使时时刻刻的的值值和和时时刻刻的的值值相相关关联联：：第八八章章期期权权定定价价的的数数法法的近近似似这个个二二阶阶差差分分也也是是中中心心差差分分，，其其误误差差为为第八八章章期期权权定定价价的的数数法法差分分方方程程把以以上上三三个个近近似似代代入入布布莱莱克克－－舒舒尔尔斯斯偏偏微微分分方方程程，，整整理理得得到到：：其中中：：第八八章章期期权权定定价价的的数数法法边界界条条件件1.其中中2.3.第八八章章期期权权定定价价的的数数法法求解解期期权权价价值值用方方程程差差分分方方程程和和边边界界条条件件，，我我们们可可以以写写出出联联立立方方程程：：和，，，第八八章章期期权权定定价价的的数数法法显性性有有限限差差分分法法第八八章章期期权权定定价价的的数数法法显性性有有限限差差分分法法其中中第八八章章期期权权定定价价的的数数法法有限限差差分分方方法法和和树树图图方方法法的的比比较较分分析析有限限差差分分方方法法和和树树图图方方法法是是相相当当类类似似的的。。实实际际上上很很多多人人认认为为树树图图方方法法就就是是解解出出一一个个偏偏微微分分方方程程的的一一种种数数值值方方法法，，而而有有限限差差分分方方法法其其实实是是这这个个概概念念的的一一个个扩扩展展和和一一般般化化。。这这两两种种方方法法都都用用离离散散的的模模型型模模拟拟资资产产价价格格的的连连续续运运动动，，主主要要差差异异在在于于树树图图方方法法中中包包含含了了资资产产价价格格的的扩扩散散和和波