【教学设计】导数打印

导数在研究函数中的综合应用教学案例三、经典案例本文从以下五个方面，介绍“导数”在函数解题中的优势。1、只用“一点点”，便可求切线。无论是“在”还是“过”。利用导数求曲线的切线方程都十分方便和快捷。例1：已知函数（1）直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标。（2）如果曲线的某一切线与直线垂直，求切点坐标和切线方程。解：（1）设切点坐标为（）切线斜率为切线方程为：切线过（0,0）∴，所以切点为切线方程为：（2）设切点坐标由题设知切线斜率为4∴∴切点为（1，-14）或（-1，-18）∴切线方程为：或2、颠覆了函数的单调性的传统判别方法，为求函数的最值、单调区间铺平了前进的道路。函数的单调性的传统判别法是用函数单调性的定义进行判断，但当函数为非基本初等函数时，“定号”就会很困难。此时采用“导数”知识来判别，只需考虑的符号，而相对于次数降低了，“定号”相对就简单了。例2、已知函数（1）求的单调区间（2）求在区间上的最小值解：（1）∵由＞0得＞k-1＜0得＜k-1∴单调递减区间为（－∞，k-1）单调递增区间为（k-1,+∞）（2）当k-1≤0即k≤1时函数在[0,1]上单调递增∴在[0,1]上的最小值为=－k当0＜k-1＜1即1＜k＜2时在单调递减，在上单调递增∴在[0,1]上的最小值为当k－1≥1即k≥2时在[0,1]上单调递减∴在[0,1]上的最小值为3、“超越”了“数形结合”。“数形结合”也是函数解题的有效的思想和方法。但当函数解析式比较复杂或是抽象函数时，作出函数的图象并不容易。此时若应用“导数”加以解决便可避开艰难的作图过程，实现“纯代数化”。例3、已知∈R,函数（1）当=2时，求函数的单调递增区间（2）若函数在（-1，1）上单调递增，求a的取值范围。解：（1）当=2时令=0得当时＞0∴的单调递增区间为（2）∵[]在（-1，1）上单调递增∴[]≥0对任意（-1，1）恒成立又∵＞0∴≥0对任意（-1，1）恒成立≥对任意（-1，1）恒成立令（此函数图象不易作出）令＞0恒成立∴在（-1，1）上单调递减∴的取值范围为[，+∞）4、将不等式“投射”到函数上，使不等式的证明更具操作性。不等式的证明历来就是高中数学的难点，利用导数来证明不等式就是利用不等式与函数间的联系，将不等式的部分“投射”到函数上，直接或等价变形后，结合不等式的结构特征，构造相应的函数，通过导数的运算判断出函数的单调性或利用导数的运算来求出函数的最值，将不等式的证明转化为函数问题，即转化为比较函数值的大小，或者函数值在给定区间上的恒成立等，这使得不等式的证明更易操作。例4、已知函数（为常数）曲线在点（1，）处的切线与轴平行（1）求的值（2）求的单调区间（3）设，其中为的导数函数，证明：对于任意＞0，＜1+（1）解：由=得=（0，+∞）由于曲线在（1，）处的切线与轴平行所以所以=1（2）解：由（1）得=（0，+∞）令=（0，+∞）当（0，1）时＞0（1，+∞）时＜0＞0当（0，1）时＞0当（1，+∞）时＜0所以的单调递增区间为（0，1）单调递减区间为（1，+∞）（3）证明：=（0，+∞）因此，对任意＞0＜1+等价于＜由（2）知=（0，+∞）（0，+∞）因此当时＞0单调递增当时＜0单调递减所以的最大值为故≤又设=-（+1）=-1=-当（0，+∞）时,＞0单调递增＞=0故当（0，+∞）时=-（+1）＞0即＞1所以≤＜()因此对任意＞0，＜四、案例总结教学总结：据学生的实际情况，设计问题从基础入手，抓住“核心”知识，逐步加深难度，本专题课围绕“核心”知识点及重要数学方法来进行教学设计。通过检测、学生自我纠错、同学之间相互交流探讨，引导学生思考讨论，锻炼学生独立解决问题的能力和合作学习的能力，形成自已的数学思想方法，更触发了学生积极思考、勤奋探索的动力，开发学生的智慧源泉，以培养学生能力为主。设计中遇到的问题及解决办法：在设计的过程中，由于导数在函数中的应用较广泛，如何在有限的时间内使学生高效率的掌握这些知识，形成基本能力成为设计的难点，为了解决上