正余弦定理应用小结

正余弦理用小结一三形的角求长题例1、△ABC中，已：AB=2，CA=

，别边AB、、CA取DE、F，△DEF是等三形如。∠FEC=，α为值，DEF的长短并出短的。图分析：要求最短边的长，需建立边长关于α的目标函数。解设△的边长显∠°∠B=60°故EC=xα因为∠DEC=∠DEF+∠EDB+∠B,所以EDB=.在△中由正弦定理得

所以，为BE+EC=BC，所以所以

，当，注：在三角形中，已知两角一边求其它边，自然应联想到正弦定.二判三形形：给三形的角系判此角的状例2：在ABC中，知sinAcossin，么ABC一定（）A直角三角形

B等腰三角形．等腰直角三角形

D．三形解法：由

sinAcossinC

＝sin(A＋B)＝A＋cosAsinB，/

22即AcosB－AB＝，得sin(－)＝，得A．选(B)．解法：由题意，得cos＝

CcA2

222，再由余弦定理，得cosB＝．22∴＝，＝b，ab故选B)2a评：断角形，常两典方：统化角再判(如法1)，⑵统化边再断(如法2)．二正弦理三形实应利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识，例析如下：（.测问例3如所示，为了测河的宽度，在一岸边选定A、B两点，望对岸标记物C，测∠∠CD的宽度。分析：求河的宽度，就是求ABC在边

C上的高，而在河的一边，已测出AB长∠、∠CBA，个三角形可确定。

A

图

D

B解析：由正余弦定理得ACABsinACB

，∴AC=AB=120m又∵

S

ABC

11AB22

，解得CD=60m点评：虽然此题计算简单，但是意义重大，属“过河求河宽问”。（）险题例某艇测得灯塔在它的东15°的方向，此舰艇以海/小时的速度向正东前进，分钟后又测得灯塔在它的东30°北。若此灯塔周围10海内有暗礁，问此艇继续向东航行有无触礁的危险？解析：如图舰艇在A点处观测到灯塔在东15°的方向上舰艇航行半小时后到达B点测得S在东30°的方向上。在△ABC中，知AB=30×0.5=15，∠ABS=150°，∠，由正弦定理得

北西15°°东ABBS=AB=15点作SC⊥直线AB足

南

图为，则。这表明航线离灯塔的距离为海里，而灯塔周围10海内有暗礁，故继续航行有触礁的危险。点评：有关斜三角形的实际问题，其解题的一般步骤是确理解题意，分清已知与所求其理解应用题中的有关词和术语示图将知条件在图形中标出；/

12221222（3分析与所研究问题有关的一个或几个三角形，通过合理运用正弦定理和余弦定理求解。（）击题例5如图3甲船在A处乙船在A处南偏东45°方向，距A有9n并以20nmile/h的度沿南偏西15°方向航行，若甲船28nmile/h的度航行，应沿什么方向，用多少h能快追上乙船？解析：设用t，甲船能追上乙船，在处相遇。

A

北

°在△中AC=28t，，

B设∠ABC=，∠。∴α=180°－－。据余弦定理

°

2

AB

2

2

ABcos

，

C)2

，

图128tt

－3），解得t=

39，（）4∴

34

3=21mile。4根据正弦定理，得

3532114

，又∵，∴为锐角，β=arcsin

555，又＜＜，∴＜，141414∴甲船沿南偏东

4

－

514

3的方向用以追上乙船。4点：海题涉到三形知，题的∠ABC、边已，两未，但们是行距，于船航速已，以这边均时关这根余定，列关的一二方，出的值三正弦理律法结1、要正确区分两个定理的不同用，围绕三角形面积公式及三角形外接圆直径展开三角形问题的求解。2、两个定理可以实现将“边、混合”的等式转化成“边或角的单一”等式。3、记住一些结论：

A,,均为正角；