2022-2023学年辽宁省协作校高二年级上册学期期中考试数学试题【含答案】

2022-2023学年辽宁省协作校高二上学期期中数学试题一、单选题1．下列命题中正确的是（

）．A．若直线的倾斜角为，则直线的斜率为B．若直线的斜率为，则此直线的倾斜角为C．平行于x轴的直线的倾斜角为D．若直线的斜率不存在，则此直线的倾斜角为D【分析】根据倾斜角和斜率的概念进行分析可得答案.【详解】对于A，当时，直线的斜率不存在，故A不正确；对于B，当时，斜率为，倾斜角为，故B不正确；对于C，平行于x轴的直线的倾斜角为，故C不正确；对于D，若直线的斜率不存在，则此直线的倾斜角为是正确的.故选：D2．在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线x2=2y的焦点为F，准线为，则点F到准线的距离为（

）A． B．1 C．2 D．4B由抛物线的标准方程可知，即可求解.【详解】因为抛物线x2=2y，所以，即，所以焦点F到准线的距离为1，故选：B3．圆被轴所截得的弦长为（

）A． B． C． D．D【分析】取，得到，解方程得到答案.【详解】，取，则，解得，，弦长为.故选：D.4．已知空间的一组基底，若与共线，则的值为（

）．A．2 B． C．1 D．0D【分析】根据与共线，由，即可求解.【详解】因为与共线，空间的一组基底，所以，所以解得，所以x＋y＝0.故选：D.5．直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等边三角形，AA1＝AB，M是A1C1的中点，则AM与平面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．B【分析】取的中点，以为原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，即可根据线面角的向量公式求出．【详解】如图所示，取的中点，以为原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，不妨设，则，所以，平面的一个法向量为设AM与平面所成角为，向量与所成的角为，所以，即AM与平面所成角的正弦值为．故选：B．6．“”是“直线：与直线：垂直”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件A【分析】求出两直线垂直的充要条件后再根据充分必要条件的定义判断．【详解】若，则，解得或.所以由可以得到，反之则不然，故“”是“”的充分不必要条件.故选：A.7．已知双曲线的左右焦点分别为，，O为坐标原点，点P为双曲线C中第一象限上的一点，的平分线与x轴交于Q，若，则双曲线的离心率范围为（

）A． B． C． D．B【分析】根据角平分线的性质得出，，利用三角形的三边关系以及双曲线的性质即可求解.【详解】设双曲线的半焦距为，离心率为，由，则，，因为是的平分线，所以,又因为，所以，所以，解得，即，所以双曲线的离心率取值范围为.故选：B8．如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱、的中点，则点到平面的距离等于（

）A． B． C． D．D【分析】建立空间直角坐标系，找到平面的法向量，利用向量法求点到平面的距离求解即可.【详解】以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，.设平面的法向量为，则，即令，得.又，点到平面的距离，故选.本题用向量法求点到平面的距离，我们也可以用等体积法求点到平面的距离，当然也可以找到这个垂线段，然后放在直角三角形中去求.二、多选题9．（多选题）下面四个结论正确的是（

）A．空间向量，若，则B．若对空间中任意一点，有，则四点共面C．已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底D．任意向量满足ABC【分析】对于A，根据数量积的性质判断，对于B，利用空间向量共面定理判断，对于C，利用基底的定义判断，对于D，利用数量积的定义分析判断【详解】对于：空间向量，若，则，故正确；对于B：若对空间中任意一点，有，由于，则四点共面，故B正确；对于C：已知是空间的一组基底，若，则两向量之间不共线，故也是空间的一组基底，故C正确；对于D：任意向量满足，由于是一个数值，也是一个数值，则说明和存在倍数关系，由于是任意向量，不一定存在倍数关系，故D错误．故选：ABC．10．已知椭圆的左､右焦点分别为，为椭圆上不同于左右顶点的任意一点，则下列说法正确的是（

）A．的周长为 B．面积的最大值为C．的取值范围为 D．的取值范围为BCD【分析】计算周长得到6，A错误，，B正确，，根据定义域得到范围，C正确，，得到值域，得到答案.【详解】根据题意：，，，的周长为，A错误；面积的为，当在上下顶点时等号成立，B正确；设，则，，故，C正确；，设，，则，故的取值范围为，D正确.故选：BCD.11．已知直线和圆，则下列说法正确的是（

）A．存在，使得直线与圆相切B．若直线与圆交于两点，则的最小值为C．对任意，圆上恒有4个点到直线的距离为D．当时，对任意，曲线恒过直线与圆的交点BCD【分析】根据直线经过的定点在圆内，可判断A不正确；根据圆心到直线的距离的最大值求出的最小值，可判断B正确；根据圆心到直线的距离，可判断C正确；将曲线的方程化为，可判断D正确.【详解】对于A，因为直线过定点，且，即定点在圆内，所以不存在，使得直线与圆相切，故A不正确；对于B，因为圆心到直线的距离的最大值为，所以的最小值为，故B正确；对于C，因为圆心到直线的距离，所以，所以对任意，圆上恒有4个点到直线的距离为，故C正确；对于D，当时，直线，曲线，即就是过直线与圆的交点的曲线方程，故D正确.故选：BCD.12．已知是椭圆长轴上的两个顶点，点是椭圆上异于的任意一点，点与点关于轴对称，则下列四个命题中正确的是（

）A．直线与的斜率之积为定值B．C．的外接圆半径的最大值为D．直线与的交点在双曲线上BCD【分析】由、是椭圆长轴上的两个顶点．设，在椭圆上，，，直接求解直线与的斜率之积，可得定值；在根据向量坐标的运算即可判断；当在短轴顶点时，可得△的外接圆半径的最大值为；设出，求解直线与的交点，满足双曲线，从而可以判断．【详解】设，则、是椭圆长轴上的两个顶点．，则，故不正确．由，，，故正确．当在短轴顶点时，，，，由正弦定理：，可得△的外接圆半径的最大值；故正确．点与点关于轴对称，设，，直线的方程为：直线的方程为：②两式相乘：可得，由代入化简可得，即直线与的交点在双曲线上；故正确．故选：．本题考查圆锥曲线的性质和应用，考查平面向量数量积的坐标表示，考查正弦定理，考查设而不求的思想，考查运算能力，属于中档题．三、填空题13．已知向量为平面的法向量，点在内，点在外，则点P到平面的距离为______．##【分析】根据给定条件，利用点到平面距离的向量求法计算作答.【详解】依题意，，而平面的法向量为，所以点P到平面的距离.故14．在平面直角坐标系中，若圆和圆关于直线对称，则直线的方程为________.【分析】直线为两个圆心的中垂线，分别求圆心，利用点斜式求解即可.【详解】若圆和圆关于直线对称，则直线为两个圆心的中垂线，的圆心为，的圆心为.，中点为可得直线为，整理得.故答案为.15．已知抛物线的焦点为，过作直线交抛物线于两点，点，若直线的斜率分别为，则______．【分析】设，与抛物线方程联立可得，利用两点连线斜率公式可化简得到，代入韦达定理的结论即可得到结果.【详解】由抛物线方程知：，则可设，，，由得：，；.故答案为.16．如图，多面体ABCDEF中，面ABCD为正方形，DE⊥平面ABCD，CF∥DE，且AB=DE=2，CF=1，G为棱BC的中点，H为棱DE上的动点，有下列结论：①当H为DE的中点时，GH∥平面ABE；②存在点H，使得GH⊥AE；③三棱锥B−GHF的体积为定值；④三棱锥E−BCF的外接球的表面积为．其中正确的结论序号为________．（填写所有正确结论的序号）①③④【分析】根据线面平行的判定定理，以及线线垂直的判定，结合棱锥体积的计算公式，以及棱锥外接球半径的求解，对每一项进行逐一求解和分析即可.【详解】对①：当H为DE的中点时，取中点为，连接，如下所示：因为分别为的中点，故可得//，，根据已知条件可知：//，故//，故四边形为平行四边形，则//，又面面，故//面，故①正确；对②：因为面面，故，又四边形为矩形，故，则两两垂直，以为坐标原点，建立空间直角坐标系如下所示：则，设，，若GH⊥AE，则，即，解得，不满足题意，故②错误；对③：，因为均为定点，故为定值，又//面面，故//面，又点在上运动，故点到面的距离是定值，故三棱锥的体积为定值，则③正确；对④：取△的外心为，过作平面的垂线，则三棱锥的外接球的球心一定在上因为面，面面，则，又，面，故面,又面，则//，故在同一个平面，则过作，连接如图所示.在△中，容易知，则由余弦定理可得，故，则由正弦定理可得；设三棱锥的外接球半径为，则，在△中，，，又，故由勾股定理可知：，即，解得：，则该棱锥外接球的表面积，故④正确.故①③④.本题考察线面平行的证明，线线垂直的判定，以及三棱锥体积的计算和外接球半径的求解，属综合困难题.四、解答题17．已知的顶点，AC边上的高BD所在直线方程为．AC边上的中线BE所在直线方程为．(1)求点B的坐标；(2)求点C的坐标及BC边所在直线方程．(1)；(2)；.【分析】（1）解直线BD与直线BE的方程组成的方程组，即可得点B的坐标.（2）求出直线AC的方程，与直线BE的方程联立求出点E的坐标，再利用中点坐标公式求出点C的坐标，进而求出直线BC方程作答.【详解】（1）依题意，点B是直线BD与直线BE的交点，由解得，所以点B的坐标是.（2）因，则设直线AC的方程为，而点，则，解得，直线AC：，由解得，于是得边AC的中点，因此点C的坐标为，直线BC的方程为，即，所以点C的坐标为，BC边所在直线方程.18．如图，已知直四棱柱中，底面是菱形，，，是的中点，是的中点.(1)求异面直线和所成角的余弦值；(2)求直线与平面所成角的正弦值.(1)(2)【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量法结合空间向量的数量积运算即可求解；（2）由（1）中的坐标系先求出平面的法向量，再结合空间向量的数量积运算即可求解.【详解】（1）解：连结，使.因为底面是菱形，所以，以为原点，的方向为轴､轴的正方向，以四棱柱上下底面的中心连线指向上底面的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示.设，由，底面是菱形，所以.所以，，，，是的中点，是的中点，，，设异面直线和所成角为，则.异面直线和所成角的余弦值为.（2）解：由（1）可得，设平面的法向量为，则，令，得，由（1）知设直线与平面所成角为，则.直线与平面所成角的正弦值为.19．已知圆C的圆心C在直线上，且与直线相切于点．(1)求圆C的方程；(2)若过点的直线l被圆C截得的弦AB长为6，求直线l的方程．(1)；(2)或.【分析】（1）求出直线PC的方程，再与直线联立求出圆心坐标即可求解作答.（2）求出圆心C到直线l的距离，设出直线l的方程，借助点到直线距离公式计算作答.【详解】（1）设与直线垂直的直线方程为，依题意，点在直线上，即有，解得，于是得圆心C所在直线：，由解得，则圆心，半径，所以圆C的方程为.（2）因直线l被圆C截得的弦AB长为6，则圆心C到直线l的距离，当直线l的斜率不存在时，直线l：，圆心C到此直线的距离为2，则直线l：，当直线l的斜率存在时，设直线，即，圆心C到此直线的距离，解得，于是有，所以直线l的方程为或.20．如图在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中，，，为的中点．(1)求证：平面；(2)求二面角的正弦值；(3)线段上是否存在，使得它到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．(1)证明见解析(2)(3)存在，【分析】（1）先证得，再由侧面底面证得平面即可；（2）建立空间直角坐标系，求出平面以及平面的法向量，由向量夹角公式求得余弦，再计算正弦即可；（3）设出点，由点面距离的向量求法解出即可求出的值.【详解】（1），为的中点，，侧面底面，侧面底面，平面，平面；（2）底面为直角梯形，其中，，，，又平面，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，易得平面的法向量，，，设平面的法向量，则，取，得，设二面角夹角为，则，则，二面角的正弦值为；（3）设线段上存在，使得它到平面的距离为，，到平面的距离，解得或(舍去)，则，则．21．已知O为坐标原点，过点的圆M与直线相切，设圆心M的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)过点的直线交曲线C于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点，求线段AB的长．(1)曲线的方程为；(2)线段AB的长为6.【分析】（1）根据题意得到，化简得到答案.（2）设直线方程为，联立方程根据韦达定理得到根与系数的关系，根据垂直关系结合中点坐标公式得到，再计算弦长得到答案.【详解】（1）设点为曲线C上任意一点，因为圆M过点且与直线相切，所以与点M到直线的距离相等，故，整理得，所以曲线的方程为；（2）过点的斜率为0的直线与抛物线只有1个交点，不满足要求，过点的斜率不存在的直线为，直线与抛物线的交点为，，此时线段AB的垂直平分线为，不满足要求，所以直线斜率存在且不为，设直线方程为，，由得，，方程的判别式，设，，则，设线段中点，，，因为线段AB的垂直平分线交x轴于点，所以直线与直线垂直，故，.，所以线段AB的长为6.22．已知