2023年新高考数学大一轮复习真题源大题分类讲义之专题15 利用导数求参数的取值范围（解析版）

15.利用导数求参数的取值范围一．根据不等式恒成立求参数的取值范围【例1】（2020年·新课标Ⅰ）已知函数.（1）当时，讨论的单调性；（2）当时，，求实数的取值范围.【解析】（1）当时，，，由于，故单调递增，注意到，故当时，单调递减，当时，单调递增.（2）由得，，其中，①.当x=0时，不等式为：，显然成立，符合题意；②.当时，分离参数a得，，记，，令，则，，故单调递增，，故函数单调递增，，由可得：恒成立，故当时，，单调递增；当时，，单调递减；因此，,综上可得，实数a的取值范围是.【方法技巧】利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1），；（2），；（3），；（4），.二．根据不等式能成立求参数的取值范围【例2】（2014年·新课标Ⅰ）设函数，曲线处的切线斜率为0.（1）求；（2）若存在使得，求的取值范围.【解析】（1），由题设知，解得.（2）的定义域为，由（1）知，，（ⅰ）若，则，故当时，，在单调递增，所以，存在，使得的充要条件为，即，所以.（ⅱ）若，则，故当时，；当时，，在单调递减，在单调递增.所以，存在，使得的充要条件为，而，所以不合题意.（ⅲ）若，则.综上，的取值范围是.【方法技巧】“恒成立”与“存在性”问题可看作一类问题，一般都可通过求相关函数的最值来解决，如：当f(x)在x∈D上存在最大值和最小值时，若f(x)≥g(a)对于x∈D恒成立，应求f(x)在x∈D上的最小值，将原条件转化为g(a)≤f(x)min；若f(x)≤g(a)对于x∈D恒成立，应求f(x)在x∈D上的最大值，将原条件转化为g(a)≥f(x)max；若存在x∈D，使得f(x)≥g(a)成立，应求f(x)在x∈D上的最大值，将原条件转化为g(a)≤f(x)max；若存在x∈D，使得f(x)≤g(a)成立，应求f(x)在x∈D上的最小值，将原条件转化为g(a)≥f(x)min.三．根据函数零点的个数求参数的取值范围【例3】（2020年·新课标Ⅲ）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若有三个零点，求的取值范围．【解析】（1）由题，，当时，恒成立，所以在上单调递增；当时，令，得，令，得，令，得或，所以在上单调递减，在，上单调递增.（2）由（1）知，有三个零点，则，且，即，解得，当时，，且，所以在上有唯一一个零点，同理，，所以在上有唯一一个零点，又在上有唯一一个零点，所以有三个零点，综上可知的取值范围为.【方法技巧】已知零点求参数的取值范围：①结合图象与单调性，分析函数的极值点，②依据零点确定极值的范围，③对于参数选择恰当的分类标准进行讨论。【演练提高】1.（四川省泸州市2022届高三第二次教学质量诊断）已知函数.（1）求证：；（2）若函数无零点，求a的取值范围.【解析】（1），则当时，，当时，，故在上为增函数，在上减函数，故即.（2），故，当时，在定义域上无零点;当时，，故，所以当时，，当时，，故在上为增函数，在上减函数，因为函数无零点，故，即；当时，因为，所以，即，所以在定义域上无零点.综上，的取值范围是.2.（山东省济宁市2022届高三一模数学（3月））已知函数（且）.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围.【解析】（1）当时，，，所以，，所以曲线在点处的切线方程为，即.（2）因为①当时，与恒成立矛盾，不合题意.②当时，，在上单调递减.因为，，所以，使得，即.所以，当时，，单调递增；当时，，单调递减.所以.因为，所以.所以，即，解得.因为，所以设，.则，所以在上单调递增.所以，即.所以.3.（2022届高三数学新高考原创试题）已知函数.（1）讨论的导函数零点的个数；（2）若的最小值为e，求a的取值范围.【解析】（1），令，则，故在上单调递增，而，当时，无解；当时，由，，故有一个在上的解；当时，由，故的解为1；当时，由，，故有一个在上的解；综上，当或时，导函数只有一个零点.当或时，导函数有两个零点.（2）当时，，则函数在处取得最小值.当时，由（1）知：在上单调递增，则必存在正数使得.若则，在上，则，在上，则，在上，则，所以在和上单调递增，在上单调递减，又，不合题意.若则，在上，则在上单调递增，又，不合题意.若则，在上，则，在上，则，在上，则，所以在和上单调递增，在上单调递减，则，解得，即.综上，.4.（四川省名校联盟2021-2022学年高三下学期2月大联考）已知函数的图象经过坐标原点，且．（1）当时，讨论的单调性；（2）若，，求的取值范围．【解析】（1）由题意，得，因为，所以．当时，，的定义域为，．当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增．（2）若，即，等价于，即等价于．设，则，当时，，则在上单调递减，因为当且时，，，由，得，所以当时，恒成立．因此，，即，即当时，，即恒成立．，因为，所以在上单调递增，又因为，且，所以当时，，即，解得，故的取值范围是．5.（北京师范大学附属实验中学2022届高三下学期摸底）设函数.（1）若曲线在点处的切线斜率为1，求实数的值；（2）求的单调区间；（3）若，为整数，且当时，恒成立，求的最大值.【解析】（1）由已知条件得，在点处的切线斜率为，即，（2）的定义域为,，若，则，则在上单调递增；若，由得，由得，则单调递增区间为，单调递减区间为；（3）由得，整理得，当时，，即令，则.令，由（2）知，函数在上单调递增，其中，，∵由零点存在性定理可知在上存在唯一的零点，即，∴在上，在上，∴在上，在上，∴在上单调递减，在上单调递增，∴在上的最小值为，又∵，∴，即，∴，且为整数，∴的最大值.6.（“四省八校”2022届高三下学期开学考试）己知函数.（1）当时，求的单调区间.（2）存在，使得成立，求整数的最小值.【解析】（1）当时，，该函数的定义域为，则，当且仅当时，等号成立，故函数的增区间为，无单减区间.（2）存在，使得成立，即，令，其中，则，，令，则，令，对任意的恒成立，故函数在上为增函数，则，即对任意的恒成立，则函数为增函数.因为，，所以存在，使得，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，所以，，，设，则，令，则对任意的恒成立，故函数在上为增函数，则，即对任意的恒成立，故函数在为增函数，故，即，即，因为为整数，所以整数的最小值为.7.（广东省梅县东山中学、广州五中、珠海二中、佛山三中四校2022届高三下学期第二次联考）已知函数．（1）当时，求的单调区间；（2）若，不等式恒成立，求实数a的取值范围．【解析】（1），∵，所以是的一个零点．又令，，则，，时，∴在，单调递减；在单调递增（2）不等式在R上恒成立，即不等式恒成立．令，则等价于不等式恒成立，①若，不等式（*）显然成立，此时②若时，不等式（*）等价于设，当时，，令，则，，∵，∴在上单调递减，在单调递增，∴∴，在单调递增，∴综上所述，满足题意的实数a的取值范围为．8.（2022年高三数学新高考测评卷（猜题卷三））已知函数，e为自然对数的底数.（1）求函数的极值；（2）若关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围.【解析】（1）∵，∴，（点拨：导函数中含有参数，需要注意对参数分类讨论）当时，，单调递增，函数无极值.当时，令，得，得，易知当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以的极小值为，无极大值.综上，当时，无极值；当时，的极小值为，无极大值.（2）解法一

由得，，整理得.令，则，，当时，，单调递增，且当时，，不满足题意.当时，，满足题意.当时，令，则，∴函数在上单调递增，而，且当时，，∴在上存在唯一的，使得，即，（技巧：利用零点存在定理判断）∴在上单调递减，在上单调递增，∴，∴.令，则，∴函数在上单调递减，又，∴.又，∴.综上，实数a的取值范围为.（分类讨论后，注意整合结论）解法二

由得，，整理得.令，则，，当时，，单调递增，且当时，，不满足题意.当时，，满足题意.当时，得.（技巧：分离参数，构造函数）令，则，令，则，（点拨：一次求导之后，无法判断导函数的符号时，要构造函数，进行二次分析）∴单调递减，又，故当时，，即，单调递增，当时，，即，单调递减，∴，∴，得.综上，实数a的取值范围为.解法三

由得，，整理得.令，则，，当时，，单调递增，且当时，，不满足题意.当时，，满足题意.当时，由，得.现在证明当时，.∵，∴，令，则，易知单调递增，且，∴当时，，单调递减，当时，，单调递增，∴，∴恒成立，得恒成立.综上，实数a的取值范围为.9.（山西省吕梁市2022届高三下学期开年摸底联考）已知函数，.（1）若在点处的切线与在点处的切线互相平行，求实数的值；（2）若对，恒成立，求实数的取值范围.【解析】（1）由题意，函数，可得，所以，又由函数，可得，所以，因为在点处的切线与在点处的切线互相平行，可得，又因为，所以.（2）由得，即，即，设，则，，由，设，可得，所以时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，所以在上单调递增，所以对恒成立，即对恒成立，设，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，故，所以实数的取值范围为.10.（2022届高三数学新高考信息检测原创卷（三））已知函数（其中，为参数）.（1）求函数的单调区间；（2）若，函数有且仅有2个零点，求的取值范围.【解析】（1）函数的定义域为，对求导得.当时，，所以在上单调递增；当时，令，解得，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增.（2）当时，，.令，则（舍去），令，则，所以在上单调递增.又，，且函数在上的图象是连续不断的曲线，所以根据零点存在性定理，存在唯一，使得，并且当时，，当时，，所以当时，，函数单调递减；当时，函数单调递增，所以.因为函数有且只有2个零点，所以必须有，即.下面证明当时，函数有且只有2个零点.因为，，且在上单调递增且连续，所以在上有且只有1个零点.因为，令，则.因为，所以，，显然在上单调递增，所以，又，所以在上有且只有1个零点.综上，.11.已知函数为自然对数的底数．（1）当时，证明：函数只有一个零点；（2）若函数存在两个不同的极值点，求实数a的取值范围．【解析】（1）由题知，令，则.当时，，所以在上单调递减．又因为，所以在上单调递增，在上单调递减．所以，故函数只有一个零点．（2）由（1）知不合题意，则.若，因为当时，；当时，，又，所以.因为，设函数，则，，所以，即.所以存在，满足.所以当时，；当时，；当时，.此时存在两个极值点，符合题意．当时，因为时，，时，，所以.所以，即在上单调递减．所以无极值点，不合题意．综上可得，实数a的取值范围为.12.设函数．（1）当时，判断函数的单调性；（2）若对任意的正整数都有，求的最小值．【解析】（1）定义域为，，令，，，当时，恒成立，在上单调递增，当时，恒成立，在上单调递减；综上：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减；（2）由（1）可得，当时，在上单调递减，所以，时取“”，令，则，所以故的最小值为2.13.（2022届高三数学新高考信息检测原创卷（五））已知函数，.（1）讨论函数的单调性；（2）若函数在上恰有两个零点，求实数a的取值范围.【解析】（1）函数的定义域为，.令，解得或.当时，当时，，当时，；当时，当时，，当时，，当时，；当时，恒成立